Elementare und Analytische Geometrie

83 Pages·2012·0.52 MB·German

Mathematisches Institut
Elementare und Analytische Geometrie
Skript zur gleichnamigen Vorlesung von Professor Herbert
Koch im Sommersemester 2012
Clemens Kienzler, Herbert Koch
Stand vom 6. Juli 2012.
Die Vorlesung ist der zweite Teil des Moduls Elemente der Mathematik.
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung 2
1.1 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Grundlagen nach Euklid und Hilbert 3
2.1 I. Axiome der Inzidenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 II. Axiome der Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 III. Axiome der Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 IV: Das Parallelenaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Streckenarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 A¨hnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7 V: Archimedisches Axiom und Axiom der Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Kongruenz- und A¨hnlichkeitsabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Der Fl¨acheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Elementargeometrische Figuren 30
3.1 Das Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Das Poincar´e-Modell der hyperbolischen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Winkeldefekt und Fl¨acheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Eine analytische Behandlung des Poincar´e-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Kegelschnitte und Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Regelm¨assige Vielecke und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.8 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
Einfu¨hrung
1. Vorlesung am 3. April 2012
1 Einfu¨hrung
Unter den ersten Quellen sind der ¨agyptische Papyrus Rhind und der ¨agyptische Papyrus Mos-
kau, die Aufgaben zur Berechnung von Fl¨achen von Rechtecken, Dreiecken und Trapezen und
dem Volumen eines Pyramidenstumpfes enthalten. Motive kamen sicher vom Vermessen diverser
Objekte, der Verwaltung, der Konstruktion der Pyramiden und der Darstellung geometrischer
Objekte.
Beeindruckend ist die Vermessung des Erdumfangs durch Eratosthenes (um 275 - 194 v Chr. ).
InEuklids(360-280vChr.)ElementenfindetsichderVersuch,denabstrahiertenmathematisch-
geometrischen Inhalt systematisch und deduktiv zu ordnen.
Hilbert [4] greift die Frage nach den Grundlagen der Geometrie wieder auf und formuliert ein
Axiomensystem fu¨r die Geometrie, auf das wir zun¨achst aufbauen. Wie in der Analysis versucht
das Axiomensystem die mathematische Struktur unabh¨angig von Anschauung und inhaltlichen
Vorstellungen herauszuarbeiten. Dadurch wird eine belastbare Argumentation m¨oglich. Inter-
essanterweise ist die mathematische Struktur schon von Dreiecken ungew¨ohnlich reichhaltig - so
gibt es viele Aufgaben der Mathematikolympiade, die Fragen nach Dreiecken stellen. Im Kapitel
u¨ber Elementargeometrie werden wir derartigen Fragen nachgehen.
Wie auch in anderen Bereichen der Mathematik ergaben sich aus der Strukturorientierung sehr
dynamische Entwicklungen, die auch zeigen, das die Formalisierung nicht zu einer Vernachl¨assi-
gung der inhaltlichen Vorstellungen gefu¨hrt hat.
So erkannte man im 18. Jahrhundert, dass das Parallelenaxiom unabh¨angig von den u¨brigen
Axiomen war. In der Vorlesung werden wir die auf Lobatschewski zuru¨ckgehende hyperbolische
Geometrie kennenlernen.
Die hyperbolische Geometrie ist der Modellfall eines Raumes mit negative Kru¨mmung. Riemann
(1826-1866) entwickelte die Differentialgeometrie mit dem Kru¨mmungstensor als wesentlicher
Gr¨oße.
Um die Jahrhundertwende gab es in der Physik nach großen Erfolgen grunds¨atzliche offene Fra-
gen, wie z.B. nach der Bedeutung der Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen. Einstein
interpretierte die Graviationskraft als eine geometrische Gr¨oße - der Kern der allgemeinen Re-
lativit¨atstheorie.
Inzwischen ist die allgemeine Relativit¨atstheorie selbst fu¨r allt¨agliche technische Anwendungen
relevant: Eine Ortsbestimmung mittels GPS erfordert eine so genaue Zeitmessung, dass die
Auswirkung der Masse der Erde auf die Geschwindigkeit der Uhr beru¨cksichtigt werden muß.
Inhalte der Vorlesung sind Grundlagen der Geometrie, Elementargeometrie (“elementar”bezieht
sichaufdenverwendetenmathematischenApparat,esw¨arev¨olligfalsch“elementar”mit“trivial”
gleichzusetzen),analytischeGeometrie(inderdieInterpretationderEbeneunddesRaumesals2
bzw3dimensionalerVektorraumimVordergrundsteht)undSymmetrienundGruppen(meistens
Kongruenzabbildungen).
2
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
Mathematik betreiben heißt immer auch Probleme l¨osen. Dieser Aspekt wird vor allem in den
U¨bungsgruppen und den Projekten eine wichtige Rolle spielen.
1.1 Organisation
Die Vorlesung ist jeweils Dienstags von 16-18 Uhr. Die U¨bungen sind Donnerstags zum selben
Zeitpunkt. Die Klausur findet voraussichtlich am 7.7. statt. Voraussetzung ist eine erfolgreiche
Teilnahme an den U¨bungsgruppen, was 50% der Punkte der Hausaufgaben und eine erfolgreiche
Bearbeitung eines Projekts, jeweils in beiden Semestern, einschließt.
1.2 Literatur
Agricola [1], Hilbert [5], Hilbert und Cohn-Vossen [5], Schupp [7] und Struve [8].
2 Grundlagen nach Euklid und Hilbert
Wir betrachten eine Menge P, deren Elemente wir“Punkte”nennen, eine Menge G, deren Ele-
mente wir“Geraden”nennen, und eine Menge E, deren Elemente wir“Ebenen”nennen. Punkte
bezeichnen wir typischerweise mit großen Buchstaben, Geraden mit kleinen Buchstaben, und
Ebenen mit griechischen Buchstaben.
2.1 I. Axiome der Inzidenz
Wir betrachten Inzidenzen (enthalten sein, liegen auf/ liegen in)
I ⊂ P ×G,I ⊂ P ×E,I ⊂ G ×E
PG PE GE
und sagen z.B. , A liegt auf a oder a enth¨alt A, falls (A,a) ∈ I . Wir fordern dass aus (A,a) ∈
PG
I ⊂ P ×G und (a,α) ∈ I ⊂ G ×E folgt: (A,α) ∈ I ⊂ P ×E. Anders ausgedru¨ckt: Liegt
PG GE PE
A auf a und a in α, so liegt auch A in α.
I.1 Jede Gerade enth¨alt mindestens zwei Punkte. Zu je zwei verschiedenen Punkten
existiert genau eine Gerade, die diese zwei Punkte enth¨alt. Es gibt drei Punkte, die
nicht auf einer Geraden liegen.
I.2 Jede Ebene enth¨alt mindestens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte. Zu
drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese
enth¨alt. Es gibt vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen.
I.3 Wenn zwei verschiedene Punkte in einer Ebene liegen, so liegt auch die Gerade, die
durch diese Punkte bestimmt ist, in der Ebene. Wenn zwei Ebenen einen gemeinsa-
men Punkt enthalten, so enthalten sie auch einen zweiten gemeinsamen Punkt.
1 Satz Zwei verschiedene Geraden haben einen oder keinen Punkt gemeinsam. Zwei Ebenen
haben keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam. Eine Ebene und eine nicht in ihr enthaltenen
Gerade haben keinen oder einen Punkt gemeinsam.
3
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
2 Satz Zu einer Geraden und einem nicht auf ihr liegenden Punkt gibt es genau eine Ebene, die
beide enth¨alt. Zu zwei Geraden mit genau einem gemeinsamen Punkt gibt es genau eine Ebene,
die die Geraden enth¨alt.
Bemerkung: Der vierdimensionale Raum genu¨gt diesen Axiomen nicht.
2.2 II. Axiome der Anordnung
Die Anordnung wird beschrieben durch eine Menge
A ⊂ P ×P ×P
von Tripeln (A,B,C) von Punkten, die paarweise verschieden sind und jeweils auf einer Geraden
liegen. Ist (A,B,C) ∈ A so sagen wir“B liegt zwischen A und C”. Die Strecke AB ist die Menge
aller Punkte, die zwischen A und B liegen. A und B heißen Endpunkte und sind selbst nicht
Element von AB.
II.1 Liegt B zwischen A und C, so liegt B auch zwischen C und A.
II.2 Zu zwei verschiedenen Punkten A und B gibt es einen Punkt, der zwischen A und
B liegt, und einen Punkt C, so dass B zwischen A und C liegt.
II.3 Liegen die drei paarweise verschiedenen Punkte A,B,C auf der Geraden g, so liegt
genau einer der drei Punkte zwischen den beiden anderen Punkten.
II.4 (Pasch) Seien A,B,C drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte, a eine Gerade
in der zu A,B,C geh¨orenden Ebene, die keinen der drei Punkte enth¨alt, aber einen
Punkt aus AB. Dann enth¨alt a entweder einen Punkt aus BC oder einen Punkt aus
CA, aber nicht beides.
3 Lemma Zwischen je zwei verschiedenen Punkten einer Geraden gibt es unendlich viele
Punkte auf der Geraden.
4 Satz Seien vier paarweise verschiedene Punkte auf der Geraden g gegeben. Dann k¨onnen sie
so mit A,B,C,D bezeichnet werden, dass B sowohl zwischen A und C als auch zwischen A und
D liegt, und C sowohl zwischen B und D als auch zwischen A und D liegt.
Siehe Moore [6] und [2].
Beweis:
Behauptung: Liegt B zwischen A und C, sowie C zwischen A und D, so liegt C auch zwischen B
und D.
Wir beweisen die Behauptung.
Es liege B zwischen A und C, und C zwischen A und D. Dann folgt
1) D liegt nicht zwischen B und C.
4
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
2) B liegt zwischen A und D.
3) B liegt nicht zwischen C und D.
Daraus folgt die Behauptung: einer der drei Punkte B,C,D liegt nach Axiom II.3 in der Mitte.
Nach der ersten Aussage ist das nicht D, nach der dritten Aussage auch nicht B, also liegt C
zwischen B und D.
Beweis der drei Aussagen: Sei E ein Punkt, der nicht auf der Geraden g liegt (geht wegen Axiom
I.1). Wir w¨ahlen einen Punkt F aus CE und betrachten das Dreieck BCE und die Gerade a,
die A und F enth¨alt. Sie schneidet EB nach Axiom II.4, und zwar in einem Punkt G auf AF
(Anwendung von II.4 auf ACF). In BC ist das nicht m¨oglich, da laut Voraussetzung B zwischen
A und C.
Wir fu¨hren die Annahme“D liegt zwischen B und C”zu einem Widerspruch. Denn dann wu¨rde
DF sowohl BC wie auch CE schneiden, und es wu¨rde selbst von CG geschnitten werden, sagen
wir in einem Punkt H zwischen F und D. Dann scheidet CH (da C zwischen A und D liegt) die
drei Seiten des Dreiecks ADF jeweils in inneren Punkten - ein Widerspruch zu II.4.
E
F
G H
A B D C
Der Punkt C kann hier nicht geometrisch korrekt gezeichnet werden, da die Skizze eine unm¨og-
liche Konfiguration zeigt.
Wir beweisen die zweite Aussage. Nach der ersten kann A nicht zwischen B und D liegen (C
zwischen D und A, A zwischen D und B, B zwischen A und C: Vertauschen den Buchstaben
unm¨oglichnachdererstenAussage).W¨areDzwischen AundB,sofolgtnachdererstenAussage,
dass keiner der drei Punkte zwischen den anderen beiden liegen kann - ein Widerspruch. Also
liegt B zwischen A und D.
Wir beweisen die dritte Aussage. Sei E ein Punkt nicht auf g. Wir w¨ahlen einen Punkt F auf EC.
Da F zwischen E und C liegt, und C zwischen A und D schneidet die durch A und F bestimmte
Gerade das Dreieck ECD in einem Punkt G zwischen E und D. Nun liegt F zwischen A und
G. Da B zwischen A und C liegt und F zwischen AG schneidet die Gerade durch B und G CF
in einem Punkt H. Da auch F zwischen C und E liegt, liegt nach der bewiesenen Aussage H
zwischen C und E. Falls B zwischen C und D liegt, so schneidet die Gerade durch B und H alle
Seiten des Dreiecks DCE in inneren Punkten - ein Widerspruch zu II.4.
5
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
E
G
F
H
A B C D
Beweis des Satzes.
Der Satz folgt aus den folgenden Aussagen:
i) Falls B zwischen A und C und C zwischen B und D, so sind B und C zwischen A und D.
ii) Falls C zwischen A und D und zwischen B und D liegt, so liegt weder C noch D zwischen
A und B. A liegt genau dann zwischen B und C wenn A zwischen B und D liegt.
iii) Falls B und C zwischen A und D liegen, so liegt weder A noch D zwischen B und C. B liegt
genau dann zwischen A und C wenn C zwischen B und D liegt.
Diese Aussagen wiederum folgen aus der Behauptung. Diesen Teil des Beweises fu¨hre ich nicht
aus.
(cid:4)
Die Punkte, die auf g liegen, k¨onnen nun anhand eines Punktes in zwei Teilmengen auf der einen
bzw anderen Seite dieses Punktes geteilt werden. Das folgt aus Satz 4 und ist der Inhalt des
folgenden Lemmas.
5 Lemma Sei g eine Gerade und O und A zwei verschiedene Punkte auf g. Wir definieren
(cid:8)
B = B | B liegt auf g, B liegt zwischen O und A oder B = A
(cid:9)
oder A liegt zwischen O und B
und
C := {C | C liegt auf g}(cid:114)({O}∪B).
Sind die Punkte D und E beide Element von B, oder sind beide Element von C, so ist O (cid:54)∈ DE.
Ist D ∈ B und E ∈ C so ist O ∈ DE.
6
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
2. Vorlesung am 10. April 2012
6 Satz Jede Gerade a auf einer Ebene α trennt die nicht auf ihr liegenden Punkte von α in
genau zwei nichtleere Teilmengen, so dass die Strecke AB in einer der Teilmengen liegt, falls
A und B in ihr liegen, und AB einen Punkt von a enth¨alt, wenn A und B in verschiedenen
Teilmengen liegen.
Beweis:
Sei E ein Punkt, der nicht auf der Geraden a liegt. Sei A ein Punkt auf der Geraden, und F ein
Punkt auf der durch E und A definierten Geraden, so dass A zwischen E und F liegt.
Zu zeigen ist:
Ist B ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, so enth¨alt genau eine der Strecken BE und BF
einen Punkt der Geraden g.
Dadurch teilen wir die Punkte in zwei Klassen ein. Da diese Aussage fu¨r jede Konfiguration gilt
erhalten wir die Aussage: Seien C und D nicht auf g liegende Punkte. Falls keine der Strecken
CE und DE einen Punkt auf g enthalten betrachten wir das Dreieck CDF. Die Strecken CF und
DF enthalten jeweils einen Punkt von g nach der Behauptung, also enth¨alt die Strecke CD nach
Axiom II.4 keinen Punkt von g.
Enh¨alt CE einen Punkt von g, DE aber nicht, so enth¨alt mit der gleichen Argumentation CD
einen Punkt von g.
Beweis der Behauptung:
Wir betrachten das Dreieck BEF. Die Gerade g schneidet einen Inneren Punkt von EF, also
schneidet sie genau eine der Strecken BE oder BF. Daraus folgt die Aussage.
(cid:4)
Ein Streckenzug ist ein System von Strecken A A , A A bis A A . Auch die Punkte A sind
1 2 2 3 n−1 n i
Element des Streckenzugs. Ein Streckenzug heißt Polygon, falls A = A . Die Punkte A heißen
n 1 i
Ecken des Polygons. Ein Polygon heißt einfach, falls alle Ecken verschieden sind, keine Strecke
eine Ecke enth¨alt, und keine zwei Strecken gemeinsame Punkte enthalten.
7 Satz Jedes einfache Polygon in einer Ebene teilt die Ebene in ein Inneres I und ein A¨u-
ßeres A, so daß jeder Streckenzug von A ∈ I nach B ∈ A mindestens einen Punkt mit dem
Polygon gemeinsam hat. Liegen A und B beide im Inneren oder beide im A¨ußeren, so existiert
ein Streckenzug von A nach B, der keinen gemeinsamen Punkt mit dem Polygon hat. Es gibt
eine Gerade, deren Punkte alle im A¨ußeren enthalten sind. Eine Gerade, deren Punkte alle im
Inneren enthalten sind, gibt es nicht.
Hilbert schreibt: Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir ohne erhebliche Schwierigkeiten
zu dem Satz 7. Ich finde den Beweis nicht einfach. Eine Referenz ist [2].
7
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
2.3 III. Axiome der Kongruenz
DieKongruenzwirdbeschriebendurcheineA¨quivalenzrelationvonStreckenbzweinerTeilmenge
K ⊂ (P ×P)×(P ×P) von Quadrupeln von Punkten. Wir sagen AB ist kongruent zu A(cid:48)B(cid:48)
falls (A,B,A(cid:48),B(cid:48)) ∈ K. Wir schreiben dann AB ≡ A(cid:48)B(cid:48).
III.1 Sind A, B zwei verschiedene Punkte auf der Geraden a und A(cid:48) ein Punkt auf einer
Geraden a(cid:48), dann gibt es genau einen Punkt B(cid:48) auf einer gegebenen Seite von a(cid:48), so
dass AB kongruent ist zu A(cid:48)B(cid:48). Es gilt stets, dass AB kongruent zu AB und zu BA
ist.
III.2 Ist AB kongruent zu A(cid:48)B(cid:48) und A(cid:48)B(cid:48) kongruent zu A(cid:48)(cid:48)B(cid:48)(cid:48) so ist AB kongruent zu
A(cid:48)(cid:48)B(cid:48)(cid:48).
III.3 Seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf a, A(cid:48)B(cid:48) und B(cid:48)C(cid:48) zwei
Strecken ohne gemeinsame Punkte auf a(cid:48). Sind AB und A(cid:48)B(cid:48) sowie BC und B(cid:48)C(cid:48)
kongruent, so sind auch AC und A(cid:48)C(cid:48) kongruent.
Sei α eine Ebene, O ein Punkt auf α und h und k von O ausgehende Halbstrahlen, die nicht
auf einer Geraden liegen. (Deren Existenz kann mit Hilfe der bisherigen Axiome sichergestellt
werden.) Dieses System bezeichen wir mit Winkel ∠(h,k) = ∠(k,h). O heißt Scheitel, h und k
heißen Schenkel des Winkels.
Die Halbstrahlen h und k teilen die Ebene in zwei Teile analog zu Satz 7.
Eine Komponente ist dadurch ausgezeichnet, dass jede Strecke, die zwei Punkte dieser Kompo-
nente verbindet, ganz in dieser Komponenten liegt. Diese Komponente nennen wir das Innere
des Winkels.
Die Teilmenge
K
W
von Paaren von Winkeln beschreibt kongruente Winkel. Sind A,B, C Punkte, die nicht auf einer
Gerade liegen, so bezeichnen wir mit ∠ABC den offensichtlichen Winkel mit Scheitel B.
III.4 Es sei ∠(h,k) ein Winkel in der Ebene α und a(cid:48) eine Gerade in der Ebene α(cid:48). Sei
h(cid:48) ein Halbstrahl auf a(cid:48), der von einem Punkt O(cid:48) ausgeht. Wir w¨ahlen eine Seite
von a(cid:48) in α(cid:48) aus. Dann gibt es in α(cid:48) genau einen Halbstrahl k(cid:48) ausgehend von O(cid:48) auf
der angegebenen Seite, so dass ∠(h,k) ≡ ∠(h(cid:48),k(cid:48)). Jeder Winkel ist zu sich selbst
kongruent.
III.5 Ist ∠(h,k) kongruent zu ∠(h(cid:48),k(cid:48)) und ∠(h(cid:48),k(cid:48)) zu ∠(h(cid:48)(cid:48),k(cid:48)(cid:48)), so ist ∠(h,k) kongruent
zu ∠(h(cid:48)(cid:48),k(cid:48)(cid:48)).
III.6 Gelten fu¨r die Dreiecke ABC und A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) die Kongruenzen
AB ≡ A(cid:48)B(cid:48), AC ≡ A(cid:48)C(cid:48), ∠BAC ≡ ∠B(cid:48)A(cid:48)C(cid:48)
so gilt auch
∠ABC = ∠A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) und ∠ACB ≡ ∠A(cid:48)C(cid:48)B(cid:48))
8
Grundlagen nach Euklid und Hilbert
8 Bemerkung
1) Ist AB kongruent zu A(cid:48)B(cid:48), so ist A(cid:48)B(cid:48) kongruent zu AB.
2) Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben, und deren nicht gemein-
same Schenkel eine Gerade bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamen
Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel, der zu
einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt rechter Winkel.
3) Zwei Dreiecke ABC und A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) heißen kongruent, wenn
AB ≡ A(cid:48)B(cid:48), BC ≡ B(cid:48)C(cid:48), AC ≡ A(cid:48)C(cid:48)
und
∠A ≡ A(cid:48), ∠B ≡ ∠B(cid:48) ∠C ≡ C(cid:48).
Hier bezeichnet ∠A den Winkel mit Scheitel A und den durch AB und AC definierten
Schenkeln.
4) Erster Kongruenzsatz fu¨r Dreiecke. Wenn fu¨r zwei Dreiecke die Kongruenzen
AB = A(cid:48)B(cid:48) AC ≡ A(cid:48)C(cid:48) ∠A ≡ ∠A(cid:48)
gelten so sind die Dreiecke kongruent.
Beweis: Nach Axiom III.6 sind die entsprechenden Winkel kongruent. Es bleibt zu zeigen:
BC ≡ B(cid:48)C(cid:48). Wir fu¨hren eine Beweis durch Widerspruch und fu¨hren die Annahme “BC
ist nicht ¨aquivalent zu B(cid:48)C(cid:48)”zum Widerspruch. Denn dann wu¨rde ein Punkt D(cid:48) auf B(cid:48)C(cid:48)
existieren mit BC = B(cid:48)D(cid:48) und jeweils zwei Seiten der Dreieck ABC und A(cid:48)B(cid:48)D(cid:48) sind
jeweils kongruent. Der Winkel mit Scheitel in B ist kongruent und nach Axiom III.6 sind
alle Winkel kongruent. Nach Axiom III.5 folgt ∠B(cid:48)A(cid:48)C(cid:48) ≡ ∠B(cid:48)A(cid:48)D(cid:48), was nicht m¨oglich ist,
da nach Axiom III.4 ein Winkel nur auf eine Art abgetragen werden kann.
C D(cid:48)
C(cid:48)
A B A(cid:48) B(cid:48)
5) Zweiter Kongruenzsatz fu¨r Dreiecke. Wenn in zwei Dreiecken je eine Seite und zwei anlie-
gende Winkel kongruent sind, so sind die Dreiecke kongruent.
Beweis: Sei AB ≡ A(cid:48)B(cid:48), ∠A = ∠A(cid:48) und ∠B = ∠B(cid:48). Wir zeigen BC ≡ B(cid:48)C(cid:48) da daraus
nach dem ersten Kongruenzsatz die Behauptung folgt. Es gibt einen Punkt D(cid:48) auf dem
durch B(cid:48) und C(cid:48) definierten Halbstrahl mit BC ≡ B(cid:48)D(cid:48). Dann sind nach dem ersten Kon-
gruenzsatz ABC und A(cid:48)B(cid:48)D(cid:48) kongruent, und damit ∠B(cid:48)A(cid:48)D(cid:48) ≡ ∠B(cid:48)A(cid:48)C(cid:48), was nur sein
kann wenn A(cid:48) und D(cid:48) sowie A(cid:48) und C(cid:48) auf einem Halbstrahl liegen. Da zwei verschiedene
Geraden h¨ochstens einen Punkt gemeinsam haben folgt C(cid:48) = D(cid:48).
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