Elementare Moduln über wilden erblichen Algebren

52 Pages·1992·1.142 MB·German

by  Frank Lukas

Elementare Moduln
u¨ber
wilden erblichen Algebren
Inaugural–Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der Heinrich-Heine-Universit¨at Du¨sseldorf
vorgelegt von
Frank Lukas
aus M¨onchengladbach
Du¨sseldorf 1992
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 2
Notationen 4
1 Grundbegri↵e aus der Darstellungstheorie 5
1.1 Darstellungen von K¨ochern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Darstellungstyp und quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Auslander-Reiten K¨ocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Resultate fu¨r wilde erbliche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Orthogonale Kategorien 15
2.1 Grundlagen der Kipptheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Orthogonale Kategorien, Einpunkt-Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Kipptheorie wilder erblicher Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Wachstumszahl und Hochschild-Cohomologie wilder erblicher Algebren . . . . . . . 21
3 Das charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix einer Algebra 23
3.1 Das Coxeter-Polynom ist reziprok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Bedeutung der Koe�zienten des Coxeter-Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Elementare Moduln 29
4.1 Definition und grundlegende Eigenschaften elementarer Moduln . . . . . . . . . . . 29
4.2 Eine Endlichkeitsbedingung fu¨r elementare Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Elementare Moduln und ⌧-Aufrichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Kanonische Algebren als Einpunkt-Erweiterungen erblicher Algebren mit elementa-
ren Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Einpunkt-Erweiterungen – Kippalgebren 39
5.1 Ein Zeichen in der Orthogonal-Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Einpunkt-Erweiterungen wilder erblicher Algebren mit regul¨aren Moduln . . . . . 40
5.3 Wann sind Einpunkt-Erweiterungen Kippalgebren? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Anwendungen der Theorie 44
6.1 Elementare Steine in wilden erblichen Unterraum-Algebren . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Dominierendes Verhalten der Unterraum-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 Das Coxeter-Polynom als Entscheidungshilfe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Literaturverzeichnis 50
1
Einleitung
DieDarstellungstheorieendlich-dimensionalerAlgebrenisteinstarkexpandierendesTeilgebietder
Algebra. Mit modernen Methoden untersucht sie teils klassische Probleme der Mathematik; zwei
Beispiele fu¨hre ich stellvertretend fu¨r viele an:
1. Gegeben seien zwei endlich-dimensionale Vektorr¨aume V und W. Auf welche Normalformen
lassen sich n lineare Abbildungen (f : V W) gleichzeitig durch Wahl geeigneter
i 1 i n
! 
Basen von V und W bringen?
2. SeiV einendlich-dimensionalerVektorraum.Welchegrunds¨atzlichverschiedenenM¨oglichkeiten
gibt es, ein System von n Unterr¨aumen U ,...,U von V auszuw¨ahlen? Hierbei seien zwei
1 n
Tupel(V,U ,...,U )und(V˜,U˜ ,...,U˜ )isomorph,wenneseinenIsomorphismusf :V V˜
1 n 1 n
gibt mit U˜ =f(U ) fu¨r 1 i n. !
i i
 
In §1.1 werden wir sehen, daß sich diese Probleme auf die Klassifikation von Moduln u¨ber endlich-
dimensionalen erblichen Algebren zuru¨ckfu¨hren lassen. Die Idee hierzu lieferte P. Gabriel, indem
er einem orientierten Graphen und einem K¨orper k eine Algebra, die sogenannte Wegealgebra
Q
k zuordnete.JedeWahleinesTupels(V,W,f ,...,f )inProblem1kannalseinModulu¨berder
WQegealgebra des K¨ochers n--... interpretiert w1erden.n
Ich setze in der gesammten Arbeit stets voraus, daß k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper ist.
a a
Dies garantiert, daß jede zusammenh¨angende endlich-dimensionale erbliche (Basis-) Algebra iso-
morph zu einer Wegealgebra ist.
Die Klasse der endlich-dimensionalen Algebren wird in §1.2 in Algebren vom endlichen Darstel-
lungstyp,inzahmeundinwildeAlgebrenunterteilt.EineAlgebraAistgenaudannvomendlichen
Darstellungstyp, wenn es nur endlich viele Isomorphieklassen endlich erzeugter unzerlegbarer A-
Moduln gibt. Die Bezeichnung zahm“ entstand aus der Erwartung, daß hier eine vollst¨andige
”
Bestimmung der Modulkategorie m¨oglich ist, im Gegensatz zum wilden Fall.
Kommen wir auf die beiden anfangs erw¨ahnten Probleme zuru¨ck. Fu¨r n = 2 fu¨hrt Problem 1 zu
einer zahmen Algebra. Bereits 1890 wurde dieses Problem von L. Kronecker in [35] gel¨ost. Fu¨r
n=4 ist Problem 2 zahm, eine vollst¨andige L¨osung gelang L. A. Nazarova 1967 in [38]. Fu¨r n 3
�
(n 5) fu¨hrt Problem 1 (Problem 2) zu einer wilden erblichen Algebra.
�
Ist A eine erbliche Algebra vom unendlichen Darstellungstyp, also entweder zahm erblich oder
wild erblich, so lassen sich die unzerlegbaren A-Moduln grob in drei Klassen unterteilen; die
pr¨aprojektiven,diepr¨ainjektivenunddieregul¨arenModuln.Diepr¨aprojektivenunddiepr¨ainjektiven
Moduln sind sowohl fu¨r zahme als auch fu¨r wilde erbliche Algebren vollst¨andig konstruierbar. Bei
der Untersuchung der regul¨aren Moduln betrachtet man zuerst eine Teilklasse der regul¨aren Mo-
duln, die sogenannten quasi-einfachen Moduln. Jeder regul¨are Modul M besitzt eine Filtrierung
M =M M ... M M =0
l l 1 1 0
� � � � �
von regul¨aren Untermoduln, so daß M /M quasi-einfach ist fu¨r alle 0 i l 1. Ist A zahm
i+1 i
  �
erblich,sol¨aßtsichdieseFiltrierungindervollenUnterkategoriederregul¨arenModulnnichtweiter
verfeinern. Ein Modul X u¨ber einer zahmen erblichen Algebra ist genau dann quasi-einfach wenn
er folgende Eigenschaft erfu¨llt:
(E) X ist ein von Null verschiedener regul¨arer Modul und nicht Mittelterm einer kurzen exakten
Folge von Null verschiedener regul¨arer Moduln.
Erfu¨llt ein Modul X Eigenschaft (E), so nenne ich ihn einen elementaren Modul. Ist A eine wilde
erbliche Algebra, so ist die Klasse der elementaren Moduln eine echte Unterklasse der Klasse aller
quasi-einfachen Moduln.
Ausgangspunkt meiner Arbeit ist die Frage, welche Eigenschaften elementare Moduln u¨ber wilden
2
erblichen Algebren besitzen und welche Bedeutung dieser Klasse von Moduln zukommt.
Die Eigenschaften elementarer Moduln werden in Kapitel 4 untersucht. Als erste Gemeinsamkeit
von elementaren Moduln u¨ber zahmen erblichen und elementaren Moduln u¨ber wilden erblichen
Algebren erhalte ich (siehe 4.2.1):
Es existieren nur endlich viele Coxeter-Bahnen von Wurzeln,
die als Dimensionsvektoren elementarer Moduln auftreten.
Anhand eines Beispiels zeige ich, daß die Beweisidee hierzu auch hilfreich fu¨r die Berechnung der
Coxeter-Bahnen von elementaren Moduln ist.
Ist A zahm erblich und X ein elementarer Modul mit Ext1(X,X) = 0, so ist X nicht aufrichtig.
Auch hierzu gibt es ein entsprechendes Verhalten im wilden Fall: Ist X ein elementarer Modul mit
Ext(X,X) = 0 u¨ber einer wilden erblichen Algebra A und ⌧ die Auslander-Reiten Verschiebung
in mod A, so existiert eine Zahl n ZZ, so daß ⌧nX nicht aufrichtig ist.
� 2
Es gibt allerdings auch wesentliche Unterschiede zwischen der zahmen und der wilden Situation:
Jeder unzerlegbare regul¨are Modul X u¨ber einer zahmen erblichen Algebra, besitzt genau eine
absteigende Kette
X =X X ... X X =0
l l 1 1 0
� � � � �
von Untermoduln, so daß die Faktormoduln X /X elementar sind fu¨r 0 i l 1. Ist A wild
i+1 i
  �
erblich,sogibtesunzerlegbare,regul¨areModulnX,dieverschiedenlangeKettenvonUntermoduln
besitzen, so daß die Faktormoduln elementar sind.
In Kapitel 5 untersuche ich die Beziehungen zwischen elementaren Moduln und bekannten Tech-
niken, um aus einer gegebenen Algebra neue Algebren zu konstruieren. Diese Techniken sind in
Kapitel 2 kurz geschildert, es sind dies die Kipptheorie, orthogonale Kategorien und Einpunkt-
Erweiterungen.SeiAeinewildeerblicheAlgebraundXeinquasi-einfacherModulmitExt1(X,X)=
A
0.DievolleUnterkategorievonmod A,derenObjekteY dieBedingungenHom (X,Y)=0und
A
�
Ext1(X,Y) = 0 erfu¨llen bezeichne ich mit X . Die Kategorie X besitzt einen minimalen pro-
A ? ?
jektiven Generator Q, und mit C =End (Q) liefert der Funktor
A
H =Hom (Q, ):X mod C
A ?
� �! �
eine A¨quivalenz. Ist M X ein irreduzibler Epimorphismus, so ist der Modul H(M) nach 5.1.1
!
elementar in mod C. Die Einpunkt-Erweiterung C[H(M)] ist eine Kippalgebra vom Typ A.
�
Dies stellt einen Zusammenhang her zu der Frage, wann die Einpunkt-Erweiterung einer wilden
erblichen Algebra C mit einem von Null verschiedenen regul¨aren Modul X eine Kippalgebra ist.
Theorem 5.3.1 besagt fu¨r einen von Null verschiedenen regul¨aren Modul X, daß C[X] h¨ochstens
dann eine Kippalgebra ist, wenn X elementar ist. Da mit X auch ⌧nX elementar ist fu¨r n ZZ,
2
kann man zus¨atzlich fragen, ob mit C[X] auch C[⌧nX] eine Kippalgebra ist. Satz 5.2.4 und Ko-
rollar 5.3.2 geben hieru¨ber Auskunft.
Einpunkt-Erweiterungen mit elementaren Moduln sind nicht notwendig Kippalgebren. Notwendi-
ge Bedingungen hierfu¨r lassen sich aus der Wachstumszahl und der Hochschild-Cohomologie der
Algebra ableiten. Das dritte Kapitel zeigt, daß das charakteristische Polynom der Coxeter-Matrix
beide Konzepte in sich vereinigt. Nach Satz 3.2.1 ist dimH1(A) dimH0(A) gleich der Spur der
�
Coxeter-MatrixvonA.InsbesonderebestehteinZusammenhangzwischenderWachstumszahlund
der Hochschild-Cohomologie der Algebra, den Lemma 3.3.1 in Form einer Ungleichung beschreibt.
Einein§3.2ge¨außerteVermutungkannichnurteilweisebeweisen.Siezeigtan,daßderGraphdes
dominierenden Verhaltens wilder erblicher Algebren sehr viel Information in sich birgt.
Die in den Kapiteln 3–5 hergeleiteten Zusammenh¨ange werden in Kapitel 6 benutzt, um alle Al-
gebren zu bestimmen, die eine n-Unterraum Algebra unmittelbar dominieren. Hierzu werden in
§6.1 alle ⌧-Orbits elementarer Moduln X mit Ext(X,X) = 0 bestimmt. Im letzten Paragraphen
dieserArbeitgebeicheinenAlgorithmusan,derAussagenu¨berdasdominierendeVerhaltenwilder
erblicher Algebren macht.
MeinemLehrerProf.Dr.O.KernerbinichzugroßemDank,nichtnurfu¨rmathematischeHilfestel-
lungen,verpflichtet.DieBegeisterung,mitdererinseinemFacharbeitet,u¨bertrugsichundgabmir
sodieGrundlagefu¨reigenemathematischeForschung.IchdankeW.W.Crawley-Boevey,dermich
auf die Klasse der elementaren Moduln aufmerksam machte. Die Hartn¨ackigkeit und Ausdauer,
mitderermathematischeProblemeangreift,beeindrucktmichsehr.DerDeutschenForschungsge-
sellschaft danke ich dafu¨r, daß sie mir 6 Monate lang hervorragende Arbeitsbedingungen an ihrem
Sonderforschungsbereich 343 Diskrete Strukturen der Mathematik“ erm¨oglichte.
”
3
Notationen
In dieser Arbeit verstehe ich unter einem Modul stets einen endlich-erzeugten Rechtsmodul, falls
es nicht ausdru¨cklich anders vermerkt wird. Ebenso ist das Wort Algebra“ reserviert fu¨r eine
”
endlich-dimensionale zusammenh¨angende Basisalgebra. Der K¨orper k ist stets ein algebraisch ab-
geschlossener K¨orper. Einige h¨aufig benutzte Symbole erkl¨are ich tabellarisch:
k algebraisch abgeschlossener K¨orper
, =( , ,s,e) bezeichnet einen K¨ocher, den dualen K¨ocher
⇤ 0 1 ⇤
Q Q Q Q Q Q
k Wegealgebra des K¨ochers
Q Q
n(A) Anzahl der Punkte des K¨ochers von A
S(a) Einfacher Modul, der zum Punkt a des K¨ochers korrespondiert
P(a), I(a) Projektive U¨berlagerung von S(a), injektive Hu¨lle von S(a)
mod A Kategorie der endlich erzeugten A-Rechtsmoduln
�
A mod Kategorie der endlich erzeugten A-Linksmoduln
�
addT Klasse aller Moduln, die isomorph zu einer endlichen direkten
Summe von direkten Summanden von T sind
X rechts-orthogonale Kategorie von X
?
D D =Hom ( ,k), Funktor von mod A nach A mod und umgekehrt
k
� � �
rad(A) Jacobson-Radikal von A
k X,Y freie assoziative Algebra in X und Y u¨ber k
h i
socM Sockel eines Moduls M
�(A) Auslander-Reiten K¨ocher von A
⌧,⌧ Auslander-Reiten Verschiebung und ihr Inverses
�
X(n) regul¨arer Modul mit quasi-L¨ange n und quasi-Sockel X
[n]X regul¨arer Modul mit quasi-L¨ange n und quasi-Top X
IP (k) 1-dimensionaler projektiver Raum u¨ber k
1
tr M Spur einer Matrix M
C ,� Cartan- und Coxeter-Matrix von A
A A
h, i homologische Bilinearform: hx,yi=xCA�tyt
q quadratische Form q :ZZn ZZ, q(x)= x,x
! h i
� Coxeter-Polynom der Algebra A
A
%(A),Hi(A) Wachstumszahl von A, i-te Hochschild-Cohomologiegruppe von A
4
Kapitel 1
Grundbegri↵e aus der
Darstellungstheorie
Dieses Kapitel vermittelt keinen
U¨berblick u¨ber die Grundlagen der Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren. Es soll
allerdingsdieGrundbegri↵ebereitstellen,diesp¨atergebrauchtwerden.AusdiesemGrundewerden
hier, wie auch im Kapitel 2, Beweise nur dann skizziert, falls dies fu¨r das Verst¨andnis der Kapitel
3–6 notwendig ist.
1.1 Darstellungen von K¨ochern
Ein K¨ocher = ( , ,s,e) wird gegeben durch zwei Mengen , und zwei Funktionen
0 1 0 1
Q Q Q Q Q
s,e : . Die Elemente von heißen Punkte des K¨ochers, die von Pfeile von . Die
1 0 0 1
Q !Q Q Q Q
Funktion s (bzw. e) ordnet jedem Pfeil seinen Startpunkt (bzw. Endpunkt) zu. Mit bezeichnet
⇤
Q
man den dualen K¨ocher von , der definiert ist durch =( , ,e,s).
⇤ 0 1
Q Q Q Q
Ein K¨ocher heißt ein endlicher K¨ocher, falls und endliche Mengen sind. Ein Weg w =
0 1
Q Q Q
(a ↵ ,...,↵ b)der L¨anger vonanachbin isteineFolgevonr Pfeilen↵ ,...,↵ mits(↵ )=
1 r 1 r 1
| | Q
a,e(↵ ) = b und s(↵ ) = e(↵ ) fu¨r i = 1,...,r 1. Fu¨r a bezeichne (a a) den Weg der
r i+1 i 0
� 2Q | |
L¨ange 0. Ein Weg (a ↵ ,...,↵ b) heißt ein orientierter Zyklus, falls a=b und r 1 gilt.
1 r
| | �
Fu¨r einen K¨ocher definieren wir die Wegealgebra k folgendermaßen:
Q Q
Der zugrundeliegende Vektorraum habe als Basis die Menge der Wege in . Sind
Q
w = (a ↵ ,...,↵ b)
1 1 r
| |
w = (c � ,...,� d)
2 1 s
| |
zwei Wege in , so definieren wir das Produkt w w als
1 2
Q ·
(a ↵ ,...,↵ ,� ,...,� d) falls b=c
w1·w2 = | 1 r0 1 s| sonst .
⇢
Ist endlich, so hat k das Einselement 1 = (a a). Die Wegealgebra ist endlich-
dimQen0sional, falls ein eQndlicher K¨ocher ohne orientaie2rQte0 Zy|k|len ist. In diesem Fall ist k eine
Q P Q
endlich-dimensionaleerblicheAlgebra,wobeieineAlgebraerblichheißt,fallssieeinederfolgenden
¨aquivalenten Bedingungen des n¨achsten Satzes erfu¨llt.
Satz 1.1.1 SeiAeineendlich-dimensionaleAlgebra.DannsindfolgendeEigenschaftenvonmod
�
A ¨aquivalent:
(i) Jeder Untermodul eines projektiven Moduls ist projektiv.
(ii) Jeder Faktormodul eines injektiven Moduls ist injektiv.
(iii) Fu¨r alle X,Y mod A gilt Exti (X,Y)=0, falls i 2 ist.
2 � A �
Das (Jacobson-) Radikal radk berechnet sich als lineare Hu¨lle der Wege der L¨ange 1. Die
Q �
halbeinfache Algebra k /radk ist isomorph zu k. Wir nennen eine endlich-dimensionale
AlgebraA,fu¨rdieA/raQdAeinQProduktvonSchiefk¨oar2pQe0rnist,eineBasisalgebra.Dern¨achsteSatz
Q
wurdein[16,8.4]bewiesenundzeigt,wiegroßdieKlassederAlgebrenist,diewiralsWegealgebren
endlicher K¨ocher erhalten k¨onnen.
5
Satz 1.1.2 Jedeendlich-dimensionaleBasisalgebrau¨bereinenalgebraischabgeschlossenenK¨orper
k ist von der Form k /I fu¨r einen eindeutig bestimmten K¨ocher und ein zweiseitiges Ideal I
Q Q
mit (radk )n I radk fu¨r ein n 2.
Q ⇢ ⇢ Q �
Interessiert man sich fu¨r die Modulkategorie einer Algebra, so ist die Voraussetzung Basisalge-
”
bra“ keine Einschr¨ankung, da jede Algebra zu einer Basisalgebra Morita-¨aquivalent ist (A heißt
Morita-¨aquivalent zu A, falls die zugeh¨origen Modulkategorien ¨aquivalent sind). Fu¨r eine endlich-
0
dimensionale erbliche Basisalgebra A erhalten wir einen K¨ocher mit k = A folgendermaßen:
Q Q ⇠
Wir w¨ahlen ein maximales System S ,...,S paarweise nicht isomorpher einfacher (Rechts-) Mo-
1 n
duln S , setzen = 1,...,n und dim Ext(S ,S ) Pfeile von i nach j fu¨r 1 i,j n.
i 0 k i j
Q { }  
Hat ein maximales System paarweiser nicht isomorpher, einfacher A-Moduln genau n Elemente,
so setzen wir n(A)=n.
Ist k /I eine beliebige endlich-dimensionale Basisalgebra, so k¨onnen wir in k ein endliches Er-
Q Q
zeugendensystem des Ideals I w¨ahlen, z.B. I = p ,...,p und stellvertretend fu¨r die Algebra
1 r
h i
k /I dasPaar( , p ,...,p )betrachten.WirnennendiesesPaareinenK¨ocher mit Relationen.
1 r
Q Q { }
Fu¨r einen K¨ocher definiere ich nun die Kategorie der Darstellungen u¨ber . Wir betrachten
Q Q
den K¨ocher als Kategorie und nennen einen Funktor von in die Vektorraumkategorie mod k
Q �
eine Darstellung von . Entsprechend bezeichnen wir einen Morphismus in der Funktorkatego-
Q
rie als einen Homomorphismus zwischen Darstellungen. Ist p eine Relation, dargestellt als Li-
nearkombination von Wegen p = r � (a ↵i,...,↵i b), so sagen wir, daß eine Darstellung
i=1 i | 1 si|
((v ) ,(f ) ) der Relation p genu¨gt, falls
a a2Q0 ↵ ↵2Q1 P
r
� f ... f =0
i ↵i1 � � ↵isi
i=1
X
gilt. In [15, 1.4] skizzierte P. Gabriel folgenden Zusammenhang zwischen der Kategorie der Dar-
stellungen von und der Wegealgebra k :
Q Q
Satz 1.1.3 Fu¨reinenendlichenK¨ocher ohneorientierteZyklenistdieFunktorkategorie[
Q Q�!
mod k] ¨aquivalent zur Modulkategorie mod k .
� � Q
Beweisskizze:EinerDarstellung,gegebendurchVektorr¨aume(V ) undlineareAbbildungen
a a2Q0
(f ) , k¨onnen wir den Modul V mit der Multiplikation, die fu¨r ein v V , a
de↵fin↵i2erQt1ist durch a2Q0 a 2 a 2Q 0
L
f ... f (v) falls b=a und r 1
↵r � � ↵1 �
v (b ↵ ,...,↵ c)= v b=a und r =0
· | 1 r| 8
0 b=a
<
6
zuordnen. :
Ist umgekehrt M ein k -Modul, so definieren wir (V =M (a a)) und ordnen einem Pfeil
Q a · | | a2Q0
↵:a b die lineare Abbildung zu, die der Multiplikation mit dem Element (a ↵ b) der Algebra
! | |
entspricht.
Aus dem Beweis sieht man nun, daß Moduln, die ein zweiseitiges Ideal I = p ,...,p in ihrem
1 r
h i
Annulator haben, Darstellungen entsprechen, die den Relationen p ,...,p genu¨gen. Die Kate-
1 r
{ }
gorie derjenigen Darstellungen, die den Relationen p ,...,p genu¨gen, ist somit ¨aquivalent zu
1 r
{ }
mod (k /I).
� Q
Beispiel Sei ein endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen und A die Wegealgebra von . Fu¨r
Q Q
ein a sei S(a) die Darstellung
0
2Q
k falls x=a
V = .
x 0 sonst
⇢
DannistjedereinfacheA-ModulzueinemS(a)isomorphfu¨rgenaueina .AlsDarstellungder
0
projektiven U¨berlagerung P(a) von S(a) w¨ahlt man fu¨r ein b als V2eQktorraum V den freien
0 b
2Q
Vektorraum, der von den Wegen von a nach b aufgespannt wird. Einem Pfeil � :b c ordnen wir
!
die lineare Abbildung zu, die einem Weg (a ↵ ,...,↵ b) die Komposition (a ↵ ,...,↵ ,� c)
1 r 1 r
| | | |
zuordnet.
Ist X ein A-Linksmodul, so tr¨agt DX = Hom (X,k) eine Struktur als A-Rechtsmodul. Der
k
kontravariante Funktor D =Hom ( ,k) liefert eine A¨quivalenz zwischen mod A und A mod.
k
� � �
Aus diesem Grunde ist die Konstruktion der injektiven Hu¨lle I(a) von S(a) dual zur Konstuktion
6
von P(a).
Fu¨reinenbeliebigenK¨ocher nennenwireinPaarvonBijektionenf =(f ,f )mitf :
0 1 0 0 0
Q Q !Q
und f : einen Automorphismus von , falls s(f (↵)) = f (s(↵)) und e(f (↵)) =
1 1 1 1 0 1
Q !Q Q
f (e(↵)) fu¨r alle ↵ gilt. Ein Automorphismus eines K¨ochers legt einen Automorphismus
0 1
2Q Q
der Wegealgebra k auf der Basis fest. Wir nennen diese Algebren-Automorphismen K¨ocher-
Q
Automorphismen.
1.2 Darstellungstyp und quadratische Formen
In diesem Abschnitt definiere ich den Darstellungstyp von endlich-dimensionalen Algebren. Die
Definitionl¨aßtsichankonkretenAlgebrennurschwernachpru¨fen.ImFallevonerblichenAlgebren
wird uns die Tits-Form helfen, s¨amtlichen Wegealgebren endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen
ihren Darstellungstyp zuzuordnen.
Man sagt, eine Algebra A sei vom endlichen Darstellungstyp, falls es nur endlich viele Isomorphie-
klassen unzerlegbarer endlich erzeugter A-Moduln gibt. Andernfalls spricht man vom unendlichen
Darstellungstyp und unterscheidet hier die beiden folgenden F¨alle:
(1) A heißt zahm, wenn es fu¨r jede Dimension d>0 endlich viele A-k[X]-Bimoduln M gibt, die
i
frei sind als k[X]-Moduln, so daß jeder unzerlegbare A-Modul der Dimension d isomorph ist
zu M N fu¨r ein i und einen einfachen k[X]-Modul N.
i k[X]
⌦
(2) A heißt wild, wenn es einen endlich erzeugten k X,Y -A-Bimodul M gibt, der frei ist als
h i
k X,Y -Modul und der Funktor
h i
F = M :mod k X,Y mod A
k X,Y
�⌦ h i � h i�! �
Unzerlegbarkeit respektiert und Isomorphie erkennt.
Folgendes Theorem wurde von A. Drozd in [14, §4, Theorem 2] bewiesen:
Theorem 1.2.1 SeiAeineendlich-dimensionaleAlgebravomunendlichenDarstellungstyp.Dann
ist A entweder zahm oder wild.
Sei ein endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen mit n Punkten. Die Tits-Form1 q : ZZn ZZ
Q !
von ist definiert als
Q n
q(x ,...,x )= x2 x x .
1 n i � i j
i=1 ↵:i j
X X!
Die Definition ist unabh¨angig von der gew¨ahlten Orientierung. Eine quadratische Form q :ZZn
!
ZZ heißt
• positiv definit, falls q(x)>0 ist fu¨r alle x ZZn 0 .
2 \{ }
• positiv semi-definit, falls q(x) 0 gilt fu¨r alle x ZZn.
� 2
• indefinit, falls es ein x ZZn gibt mit q(x)<0 und ein x0 ZZn mit q(x0)>0.
2 2
P. Gabriel bewies in [15] Teil (a) des n¨achsten Satzes. Teil (b) und (c) sind in [10] und in [39]
bewiesen worden.
Satz 1.2.2 Sei ein endlicher K¨ocher ohne orientierte Zyklen und q die Tits-Form von . Dann
Q Q
gilt fu¨r die Wegealgebra A=k von :
Q Q
(a) A ist vom endlichen Darstellungstyp, wenn q positiv definit ist.
(b) A ist zahm, wenn q positiv semi-definit aber nicht positiv definit ist.
(c) A ist wild, wenn q indefinit ist.
K¨ochermitpositivdefiniterTits-FormheißenDynkin-Diagramme,solchemitpositivsemi-definiter
aber nicht positiver Tits-Form Euklidische Diagramme. Die folgende Abbildung zeigt s¨amtliche
Dynkin- und euklidische Diagramme im Falle eines algebraisch abgeschlossenen K¨orpers. Der
K¨ocher A˜ muß so orientiert sein, daß er keine orientierten Zyklen hat. Ansonsten ist der Dar-
n
stellungstyp unabh¨angig von der gew¨ahlten Orientierung, ich habe deshalb Linien statt Pfeilen
verwendet.
1ZurNamensgebungsiehe[15,1.5]
7
...
An = ... A˜n = �� c c@@
c c c@@ ... �� c
c c
@@ @@ ��
Dn = c ... D˜n = c ... c
�� c c �� c c@@
c c c
c
c c
E6 = E˜6 =
c c c c c c c c c c
c c
E7 = E˜7 =
c c c c c c c c c c c c c
c c
E8 = E˜8 =
c c c c c c c c c c c c c c c
Dynkin-Diagramme Euklidische Diagramme
Im folgenden allgemeineren Rahmen wird der Zusammenhang zwischen der Tits-Form und der
Modulkategorie deutlich.
Fu¨r einen Modul M u¨ber einer endlich-dimensionalen Algebra stehe [M] fu¨r die Isomorphie-
klasse von M. Sei F die freie abelsche Gruppe mit der Menge aller Isomorphieklassen endlich-
dimensionalerA-ModulnalsBasis.SeiU dieUntergruppevonF,dieerzeugtwirdvondenformalen
Summen [M] [M ] [M ], wobei fu¨r M,M ,M eine kurze exakte Folge
0 00 0 00
� �
0 M M M 0
0 00
�! �! �! �!
existiere. Die Faktorgruppe K (A) = F/U heißt die Grothendieck-Gruppe von A. Es gibt noch
0
einen anderen Weg, diese Gruppe zu beschreiben:
Jeder Modul M mod A besitzt eine Kette von Untermoduln
2 �
M =M ... M M =0,
l 1 0
� � �
so daß M /M ein einfacher Modul ist fu¨r alle 0 i l 1. Eine solche Kette nennen wir
i+1 i
  �
Kompositionsreihe von M, die Faktormoduln M /M entsprechend Kompositionsfaktoren. Der
i+1 i
Satz von Jordan-H¨older besagt, daß l unabh¨angig von der Wahl der Kompositionsreihe ist und die
Kompositionsfaktoren bis auf Reihenfolge und Isomorphie eindeutig bestimmt sind.
SeinunS(1),...,S(n)einmaximalesSystempaarweisenichtisomorphereinfacherA-Moduln.Wir
definieren eine Abbildung
dim :mod A ZZn,
� �!
indemwirjedemModulM denjenigenDimensionsvektorzuordnen,desseni-teKomponentegleich
der Anzahl der zu S(i) isomorphen Kompositionsfaktoren von M ist. Diese Abbildung liefert eine
Isomorphie K (A) ZZn. Ein Tupel x ZZn, fu¨r das ein unzerlegbarer Modul X mit x=dimX
0
! 2
existiert, nennen wir eine Wurzel.
Ist P(i) die projektive U¨berlagerung von S(i), so ist die i-te Komponente von dim M gleich
dim Hom(P(i),M). In der j-ten Spalte der n n-Matrix
k
⇥
C =(dim Hom(P(i),P(j)))
A k 1 i,j n
 
stehtalsodimP(j)t(ichschreibeDimensionsvektorenalsZeilenvektoren).WirnennendieseMatrix
die Cartan-Matrix von A. Hat A endliche globale Dimension, so ist C ganzzahlig invertierbar. In
A
diesem Fall definiert
, :QI n QI
h i �!
x,y =xC tyt (x,y QI n als Zeilenvektoren geschrieben)
�
h i 2
8
eine (i.a. nicht symmetrische) Bilinearform. Diese hat nach [39] folgende homologische Interpreta-
tion:
Satz 1.2.3 Sei A eine Algebra endlicher globaler Dimension. Dann gilt:
(a) Fu¨r zwei Moduln X,Y mod A gilt:
2 �
dimX,dimY = ( 1)idim Exti (X,Y)
h i � k A
i 0
X�
(b) Ist A = k fu¨r einen endlichen K¨ocher ohne orientierte Zyklen und sind S(1),...,S(n)
Q Q
die einfachen Moduln zu den Punkten 1,...,n, so gilt
dimS(i),dimS(j) =� dim Ext1(S(i),S(j)) (1 i,j n).
i,j k
h i �  
Insbesondere gilt q(x)= x,x .
h i
Im folgenden setze ich fu¨r eine Algebra endlicher globaler Dimension q(x)= x,x .
h i
1.3 Auslander-Reiten K¨ocher
In diesem Paragraphen wird der Auslander-Reiten K¨ocher �(A) einer endlich-dimensionalen Alge-
bra A definiert. Die Existenz von genu¨gend vielen Auslander-Reiten Folgen garantiert, daß �(A)
ein lokal endlicher K¨ocher ist, d.h. an jedem Punkt im K¨ocher starten und enden nur endlich viele
Pfeile. Im Fall einer erblichen Algebra haben wir eine funktorielle Auslander-Reiten Verschiebung,
die A¨nderung der Dimensionsvektoren wird durch die Coxeter-Matrix der Algebra beschrieben.
Fu¨r einen endlichen K¨ocher ohne orientierte Zyklen beschreibe ich am Ende dieses Paragraphen
Q
�(k ) vollst¨andig.
Q
Als Vorbereitung fu¨r die Definition von �(A) definiere ich zuerst rad(X,Y) fu¨r zwei Moduln
X,Y mod A. Sind X = r X , Y = s Y Zerlegungen von X und Y in unzerleg-
2 � i=1 i j=1 j
bare Moduln, so k¨onnen wir jede Abbildung f : X Y als Matrix (f ) von Abbildungen
i,j i,j
L L !
f : X Y schreiben. Der Untervektorraum rad(X,Y) von Hom(X,Y) bestehe aus allen Ho-
i,j i j
!
momorphismenf =(f ) ,fu¨rdieallef nichtinvertierbarsind.IstX einunzerlegbarerModul,
i,j i,j i,j
so stimmt rad(X,X) mit dem (Jacobson-) Radikal von End(X) u¨berein.
Mit rad2(X,Y) seien alle Abbildungen f rad(X,Y) bezeichnet, fu¨r die es einen Modul M
2
gibt, so daß f = h g ist fu¨r ein g rad(X,M) und ein h rad(M,Y). Den Faktorraum
� 2 2
rad(X,Y)/rad2(X,Y) bezeichnen wir mit Irr(X,Y). Sind X und Y unzerlegbar, so nennen wir
einen Homomorphismus f rad(X,Y) rad2(X,Y) irreduzibel. Irreduzible Abbildungen sind ent-
2 \
weder injektiv oder surjektiv.
DerAuslander-ReitenK¨ocher�(A)einerAlgebraAistnunfolgendermaßendefiniert.SeinePunkte
sind die Isomorphieklassen unzerlegbarer A-Moduln. Sind [X] und [Y] zwei Punkte in �(A), und
ist (b ) eine Basis von Irr(X,Y), so nehmen wir I als Menge der Pfeile von [X] nach [Y].
i i I
2
Es ist u¨berraschend, daß �(A) ein lokal endlicher K¨ocher ist. Dies ist eng verknu¨pft mit der Exi-
stenz von Auslander-Reiten Folgen. Hierbei versteht man unter einer Auslander-Reiten Folge eine
kurze exakte Folge
f g
0 X Y Z 0
�! �! �! �!
fu¨r die gilt:
(↵) Die Folge zerf¨allt nicht.
(�) Die Moduln X und Z sind unzerlegbar.
(�) Fu¨r jeden Homomorphismus h:Z Z, der kein zerfallender Epimorphismus ist (d.h. h ist
0
!
nicht surjektiv oder falls h surjektiv ist, so existiert kein Homomorphismus u : Z Z mit
0
!
h u=1 ), existiert ein h :Z Y mit h=g h.
Z 0 0 0
� ! �
Ist Z (bzw. X) ein unzerlegbarer projektiver (bzw. injektiver) Modul, so kann es keine Auslander-
Reiten Folge geben, die in Z endet (bzw. in X startet). Ist jedoch
0 X Y Z 0
�! �! �! �!
eine Auslander-Reiten Folge, so ist jede andere Auslander-Reiten Folge, die mit X beginnt (bzw.
Z endet), bereits isomorph zu dieser. Folgendes Theorem wurde von M. Auslander und I. Reiten
in [4, 4.3] bewiesen2:
2In[4]wirddieBezeichnung fastzerfallendeFolgen“ fu¨r Auslander-ReitenFolgen“ benutzt.
” ”
9