Table Of ContentHELMUT KIESEWETTER / GERHARD MAESS
Elementare Methoden der numerischen Mathematik
Elementare Methoden
der numerischen Mathematik
Prof. Dr. Helmut Kiesewetter
und Dr. Gerhard MaeB
Universitat Rostock
Springer -Verlag
Wien New York 1974
Gemeinschaftsausga be
des Springer-Verlages Wien . New York und des
Akademie -Ve rlages GmbH, Berlin
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sozialistischen Lander:
Springer-Verlag Wien . New York
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® 1974 by Akademie-Verlag GmbH, Berlin
Library of Congress Catalog Card Number 73-19581
ISBN-13:978-3-211-81214-3 e-ISBN -13:978-3 -7091-8357-1
DOl: 10.1007/978-3-7091-8357-1
Vorwort
Die numerische Mathematik gehort zu denjenigen mathematischen Diszi
plinen, deren Ergebnisse in besonderem MaBe in anderen Wissenschaften
wirksam werden. Sie schHigt die Briicke zwischen den gnmdlegenden Be
griffen und Modellen der Analysis und ihren Anwendungen in Naturwissen
schaft, Technik, Okonomie und in anderen Bereichen. Immer starker erhebt
sich deshalb die Forderung breiter Kreise nach besseren und leistungs
fahigeren numerischen Verfahren. Gleichzeitig vollzieht sich ein grund
legender Wandel von der "manuellen numerischen Mathematik" zur
"computer-gesttitzten numerischen Mathematik". Alles das tragt dazn bei,
daB Bedeutung und Anziehungskraft der numerischen Mathematik
standig zunehmen.
Wir versuchen in unserem Buch, dieser Entwicklung Rechnung zu
tragen. Das Buch ist aus V orlesungen entstanden, die beide Verfasser in
den letzten ftinf Jahren an der Universitat Rostock fliT Studenten der
Mathematik und der technischen Wissenschaften gehalten haben. Es ist
flir Studente n der ersten Studienjahre gedacht und setzt lediglich Grund
kenntnisse aus der Analysis, der linearen Algebra und der Rechentechnik
voraus. Es wendet sich besonders an die Studenten der Mathematik und
entspricht in seinem Umfang den Anforderungen der Grundausbildung nach
dem Studienplan der Grundstudienrichtung Mathematik an den Universi
taten und Hochschulen der DDR. Es kann aber ebenso interessierten Stu
denten der N aturwissenschaften, der technischen und 6konomischen Wissen
schaften ftir ein tieferes Eindringen in die Grundlagen der numerischen
Mathematik empfohlen werden. Auch der Praktiker, der im Zusammenhang
mit dem Einsatz der Rechentechnik numerische Verfahren benotigt, wircl
aus cler Lekttirc clieses Buches Nutzen ziehen und Anregungen fill die Aus
wahl geeigneter numerischer Verfahren erhalten.
Die Verfasser haben sich bemtiht, aus der Vielzahl der bekannten numeri
schen Verfahren die wichtigsten auszuwahlen und unter einheitlichem
Gesichtspunkt darzustellen. Die clabei verwendeten elementaren Hilfsmittel
aus der Funktionalanalysis werden im ersten Kapitel bereitgestellt. In
der Regel gehen wir induktiv vor : Das Verfahren wird anhand eines Beispiels
oder eines wichtigen Spezialfalles eingeflihrt. Daran schlieBen sich die all
gemeinen Formeln sowie Betrachtungen tiber Konvergenz und Gtiltigkeits-
4 Vorwort
bereich an. SchlieJ3lich werden die Formeln noch einmal in Form eines
Algorithmus zusammengestellt, der sich leicht in die eine oder andere
Programmiersprache iibertragen ItWt. Damit hoffen wir auch denjenigen
Anwendern der numerischen Mathematik entgegenzukommen, die in erster
Linie an effektiven Algorithmen und erst in zweiter Linie an deren Be
griindung interessiert sind.
Die trbungsaufgaben sollen dem Leser nicht nur die Moglichkeit bieten,
die Verfahren anzuwenden, sondern ihn anregen, sie weiterzuentwickeln
und auf allgemeinere Probleme auszudehnen.
Wir haben versucht, eine bestimmte Linie durchzusetzen, die durch
folgende Grundaufgaben der numerischen Mathematik gekennzeichnet ist:
Lineare Gleichuugssysteme - Nichtlineare Gleichungen - Eigenwert
probleme - Interpolation - Approximation - Integration - Anfangs
wertaufgaben fUr Differentialgleichungen - Randwertaufgaben fiir
Differentialgleichungen.
Viele Probleme konnen entsprechend dem Charakter des Buches als
einer Einfiihrung nur gestreift werden. Die meisten Kapitel enthalten Hin
weise auf weiterfiihrende Lehrbiicher. Gelegentlich wird auch auf Spezial
arbeiten in wissenschaftlichen Zeitschriften verwiesen, deren Studium dem
tiefer eindringenden Studenten und Diplomanden sehr zu empfehlen ist.
AbschlieBend mochten wir Frau W. KIESEWETTER fiir das zuverlassige
Schreiben des Manuskripts, Fraulein K. ARENT fiir die sorgfaltige Anferti
gung der Abbildungen und dem Verlag fiir die gute Zusammenarbeit
herzlich danken.
Rostock, im September 1973
H. KIESEWETTER und G. MAESS
Inhaltsverzeichnis
1. Einfuhnmg............... 9
1.1. Numerische Berechnungen und Fehlertypen. 9
1.1.1. Datenfehler . . 10
1.1.2. Rundungsfehler . . 11
1.1.3. Verfahrensfehler . . 12
1.1.4. Fehlerfortpflanzung 13
1.1.5. Numerische Instabilitat . 16
1.1.6. Intervallarithmetik . 17
1.2. Funktionalanalytische Grundlagen . 20
1.2.1. Raume . . . 21
1.2.2. Abbildungen 24
1.2.3. Iteration . . 28
2. Lineare Gleichung88ysteme . 32
2.1. Problemstellung..... 32
2.2. Direkte Verfahren .... 34
2.2.1. Austauschalgorithmus 35
2.2.2. GAussscher Algorithmus 39
2.3. Fehlerbetrachtungen, Pivotisienmg und Kondition . 42
2.3.1. Pivotisierullg . . . . . . . . 42
2.3.2. KOllditioll .... . . . . . 43
2.3.3. KOlltroll-Korrektur-Algorithmus 46
2.4. Elementare Iteratiollsverfahrell 51
2_4.1. JAcoBI-Verfahren ... 51
2.4.2. GAUSS-SEIDEL-Verfahren 52
2.4.3. Relaxationsverfahren. . 53
2.4.4. Konvergenzbedillgungen 54
2.5. Projektionsverfahrell 59
2.5.1. Konvergellzbeweis . . . 61
2.5.2. Projektion auf Hyperebenen. 65
2.5.3. Projektion auf Schnittraume von Hyperebenen 67
2.5.4. Projektion mit allgemeinem Skalarprodukt 73
2.5.5. GAUSS-SEIDEL-Verfahl'en ..... . 76
2.5.6. Gradientenverfahren . . . . . . . . 77
2.5.7. Verfahrell der kOlljugiertell Gradicntcn 80
2.6. Spaltenapproximation.......... 82
6 Inhaltsverzeichnis
3. Nichtlineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1. Problemstellung. Geometrische Deutung ...... . 90
3.2. Iterationsverfahren: NEWTON, Regula falsi, STEFFENSEN 92
3.2.1. Yereinfachtes NEwToN-Yerfahren .... . 93
3.2.2. NEwToN-Yerfahren ........... . 95
3.2.3. NEwToN-Yerfahren fiir mehrfache Nullstellen 97
3.2.4. Regula falsi. . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.5. Konvergenzverbesserung nach STEFFENSEN 102
3.3. Polynomgleichungen...... . . 103
3.3.1. HORNER-Schema. . . . . . . 103
3.3.2. Yerbessertes NEwToN-Verfahren 106
3.3.3. Zweizeiliges HORNER-Schema . 107
3.3.4. BAffisTow-Verfahren ..... 109
3.3.5. Abschatzungen fiir PolynoIllllullstellen 113
3.3.6. Quotien ten-Differenzen-Algorithmus 115
3.4. Systeme nichtlinearer Gleichungen . 117
3.4.1. NEwToN-Verfahren. 118
3.4.2. Regula falsi . . . . . . . . 119
4. Eigenwertprobleme 120
4.1. Direkte Methode 120
4.2. Potenzmethode. 122
4.3. JAcoBI-Verfahren 127
5. Interpolation . . 132
5.1. Problemstellung und HAARsche Bedingung . . . . 132
5.2. Explizite Darstellungen der Interpolationsfunktion 135
5.2.1. LAGRANGESche Interpoiationsformei 136
5.2.2. N EWToNsche Interpolationsformei 140
5.2.3. NEVILLEscher Algorithmus ... 142
5.a. Interpolationsfehler und Konvergenz 144
5.4. Intervallweise Interpolation und Splines 146
5.4.1. Intcrvallweise lineare Interpolation 146
5.4.2. Intervallweise HERMITE-Interpolation 148
5.4.3. Spline-Interpolation 150
6. Appl·oximation..... 154
6.1. Problcmstellung..... 154
0.2. Approximation im Mittel . 155
6.3. GleiehmaBige Approximation 160
6.4. Methode der kleinsten Quadrate . 162
7. Integration...... 166
7.1. Problemstellung .... 166
7.2. NEwToN-CoTEs-Formeln 173
7.2.1. Zusammengesetzte NEwToN-CoTEs-Formeln . 176
7.2.2. ROMBERG-Verfahren .......... . 178
Inhaltsverzeichnis 7
7.3. GAuss-Quadraturen ..... . 183
7.4. Intervall-Quadraturen..... 188
7.5. Vergleich der Quadraturverfahren 190
7.6. Integralgleichungen . . . _ . . 192
8. Dijjerentialgleichungen, Anjangswertprobleme 194
8.1. Problemstellung. Geometrische Deutung .. 194
8.2. RUNGE-KUTTA-Methoden......... 196
8.2.1. EULER-CAUCHYsches Polygonzugverfahren 196
8.2.2. Verfahren von EULER-HEUN ..... 1\:)9
8.2.3. Verfahren von RUNGE-KuTTA . . . . . 201
8.2.4. Verfahren von RUNGE-KuTTA-FEHLBERG 208
8.3. TAYLoR-Entwicklung..... 210
8.4. Differenzenmethoden 211
8.5. Verwendung von Ableitungen . 214
8.6. Stabilitat......... 216
8.6.1. Instabile Liisungen. . 217
8.6.2. Numerische Stabilitat 218
9. Dijjerentialgleichungen. Randwertproblerne . 220
9.1. Numerische Differentiation. . . . . . . 220
9.2. Gewiihnliche Differentialgleichungen. . . 223
9.2.1. Zuriickfiilirung auf ein Anfangswertproblem . 224
9.2.2. Differenzenverfahren . . . 225
9.3. Partielle Differentialgleichungen 229
10. Litemtu1' . . . . . . . . . 234
11. Namen- ~m(l Sachverzeichnis 23g.
1. Einiiihrung
1.1. Numerische Berechnungen und Fehlertypen
Die numerische Mathematik beschaftigt slch mit der zahlenmaBigen Be
rechnung von GroBen, die durch Formeln, Gleichungen, als Grenzwerte
oder in anderer Form gegeben sind. Sie setzt gewohnlich dort ein, wo ein
Problem del' Analysis als gelost angesehen werden kann, insofern als die
Existenz einer Losung gesichert ist und mitunter auch Mittel zur Konstruk
tion von Losungen bereitgestellt werden. Dann handelt es sich "bloB"
noch darum, die Losungen "auszurechnen". Es muB llicht besonders betont
werden, daB gerade diese letzte Etappe bei der Losung eines Problems von
entscheidender Bedeutung fiir die Anwendung des entsprechenden mathe
matischen Modells ist. Dabei treten aber eine ganze Reihe von Schwierig
keiten auf: Man kann nicht mit reellen Zahlen rechnen, denn jede Rechen
mas chine hat nur eine endliche Stellenzahl. Die reellen Zahlen milssen durch
endliche Dual- oder Dezimalbriiche approximiert werden. Man kann auch
nicht unendlich lange rechnen, sondern muB sich mit endlich vielen Rechen
schritten begniigen. Als Ergebnis erhalt man dann im allgemeinen auch
nicht die exakte Losung, sondern eine Naherung. In der numerischen
Mathematik ist man auf Schritt und Tritt dazu gezwungen, Fehler zu
machen. Das Problem besteht also weniger darin, die Fehler zu vermeiden,
als vielmehr die Fehler in angebbaren Schranken zu halten.
"Venn wir in der numerischen Mathematik von Fehlern sprechen, dann
meinen wir damit nicht Fehler, die auf Irrtum, falschem Vorgehen und
falschen SchluBweisen beruhen. Solche Art von "Fehlern" sind natiirlich
auch in der numerischen Mathematik auszuschlieBen.
Wir interessieren uns fUr den Fehler zwischen einem Naherungswel't und
clem exakten Wert.
Defini tion:
Absoluter Fehler .= INiiherungswert - exakter Wert I
R el atw· er F e1a l er . = aIb solku ter FWe hler
exa ter ertl
Welche Fehlel' konnen bei del' mathematischen Behandlung eines Pro
blems auftreten?
10 1. Einfiihrung
1. Modell/ehler, die dadurch entstehen, daB das mathematische Modell
von bestimmten Seiten eines Problems abstrahiert (z. B. das Weglassen von
Reibungseffekten in den Gleichungen fiir den "freien Fall" eines Karpers).
2. Daten/ehler, die durch Ungenauigkeiten der Anfangswerte (Eingangs
daten) gegeben sind.
3. Rechenfehler in Form von Rundungs/ehlern, die durch eine vorgegebene
endliche Zahlenlange in einem Rechenautomaten bedingt sind, von Ver
/ahrens/ehlern, die z. B. durch Abbruch einer TAYLoR-Entwicklung (Ab
bruch/ehler) oder bei der Ersetzung eines Grenzprozesses durch einen
finitenl) ProzeB (Diskretisierungs/ehler) hervorgerufen werden, und andere
Fehlertypen. .
Anstelle von allgemeinen Definitionen betrachten wir einige typische
Beispiele filr numerische Aufgabenstellungen und magliche Fehlertypen.
1.1.1. Daten/ehler
Last man das lineare Gleichungssystem Ax = b mit den GraBen
1 1 1
b
2 3 4 l
1 1 1
A - b.= (1)
3 4 5
1 1 1
4 5 6
nach del' CRAMERschen Regel, so ergibt sich fur die dritte Komponente von
x . = (Xl' X2, X3)t
(!, , y,
~ ~
Wahlt man als rechte Seite b = so ist X3 = O. Ersctzt man
(!
aber die rcchte Seite durch b = + e, ~ - e, ~ + eY, so ergibt sich
i'3 = 1500e. Eine kleine Ungenauigkeit e der Eingangsdaten bj, b2, ba fuhrt
zu einem Fehler
IX3 - x31 = 1500 lei,
wird also bei der Lasung des Problems vervielfacht.
1) finit - endlich, im Gegensatz zu den infinitesimalen Grenzprozessen der Analysis.
