Table Of Contentvieweg studium
Basiswissen
Dlese Reihe wendel sich an Sludierende der malhemalischen,
nalurwissensch'Jhlichen und lechnischen Father. Ihnen - und
auch den Schulern und SchulerinnerJ dar Sekundarstufe II - soli
die Vorbereilung auf Vor~oe,,-' v!d Priirungen, 9(1eichtert und
91eichzeitig ein Einblick in dWNoCltbor-kk~boten werde:1
ober
Die Reihe wendet sich auch on den N\plhemotiker, Natvr
wissenschahler unJ an die Lehrer dieser FOch~.
Zu der Reihe vieweg studium gehoren folg&r1de AbleihJngen:
Basiswissen, Grundkurs und Aufbaukurs,
Mathematik, Physik, Chemie, 8ioI09'e.
Karl Bosch
EI ....n tare Einlihrung
in eli.
Wahrsch.inlichkeits
r.chnung
6., durchgesehene Auflage
Mit 82 ~~ispielen
und 73 Ubungsaufgaben mit
vollstandigem Losungsweg
I I
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Dr. rer. nat. Karl Bosch ist o. Professor am
Institut für Angewandte Mathematik und Statistik
der Universität Stuttgart-Hohenheim
(Eine Kurzbiographie des Autors steht auf Seite 190)
1.- 5. Tausend März 1976
6.- 9. Tausend März 1979
10.-12. Tausend September 1982
13.-15. Tausend Juni 1984
16.-18. Tausend Januar 1986
19.-21. Tausend August 1987
22.-24. Tausend August 1989
25.-27. Tausend Mai 1991
28.-30. Tausend Juni 1993
31.-32. Tausend April 1995
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1995
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/
Wiesbaden in 1995
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlic
geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen de.
Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzu
lässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigun
gen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche
rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-57225-9 ISBN 978-3-663-14140-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14140-2
Vorwort zur ersten Auflage 1976
Dieser Band ist aus dem erst en Teil einer zweisemestrigen Vorlesung entstanden,
die der Autor wiederholt flir Studenten der Fachrichtungen Biologie, Padagogik,
Psychologie und Betriebs-und Wirtschaftswissenschaften an der Technischen Uni
versitat Braunschweig gehalten hat. In ihm sollen moglichst anschaulich die wich
tigsten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeflihrt werden, die flir
ein sinnvolles Studium der Statistik unentbehrlich sind.
Da die Statistik bei immer mehr Wissenschaftszweigen benotigt wird, ist der Auf
ball und die Darstellung so gewahlt, da£. ein moglichst breiter Leserkreis ange
sprochen werden kann. So wird bei den Zufallsvariablen zunachst der "diskrete"
Fall behandelt, weil zu deren Verstandnis nur wenig mathematische Vorkenntnisse
benotigt werden. Erst anschlie~end werden "stetige" Zufallsvariable betrachtet.
Haufig werden neue Begriffe iiber ein Beispiel anschaulich eingeflihrt, bevor sie
allgemein definiert werden. Zahlreiche Beispiele und Obungsaufgaben, deren Lo
sungswege im Anhang vollstandig angegeben werden, sollen zum besseren Ver
standnis beitragen.
Die mit * versehenen Stellen erfordern einige mathematische Vorkenntnisse. Sie
konnen jedoch iiberlesen werden, ohne da£. dadurch eine Liicke entsteht. Ent
*
sprechend sind etwas schwierige Obungsaufgaben mit einem gekennzeichnet.
Das Ende eines Beweises wird mit dem Zeichen ., das Ende eines Beispiels mit.
gekennzeichnet.
Auf Mengensysteme und auf den Begriff der Me~barkeit soli in diesem Rahmen
nicht eingegangen werden. Dazu sei auf die weiterflihrende Literatur verwiesen.
Als Fortsetzung dieses Bandes ist die Angewandte Mathematische Statistik gedacht.
Das Manuskript wurde von Herrn Prof. Dr. E. Henze und Herrn Akad. Direktor
Dr. H. Wolff durchgesehen. Beiden bin ich flir wertvolle Hinweise und Ratschlage
sowie flir das Oberlassen zahlreicher Obungsaufgaben zu gro~em Dank verpflichtet.
Den Herren Kruse, Moller, Scholz und Stegen danke ich flir die Mithilfe beim
Korrekturenlesen.
Schlie~lich sei dem Verlag flir die vorbildliche Zusammenarbeit gedankt. In einer
sehr kurzen Zeit wurde dieser Band in einer ansprechenden Form von ihm heraus
gebracht. Jedem Leser bin ich flir Verbesserungsvorschlage dankbar.
Braunschweig, im Januar 1976 Karl Bosch
Vorwort zur sechsten Auflage
Wegen des erfolgreichen Einsatzes des Buches in mehreren Lehrveranstaltungen
wurde bei den Neuauflagen die Grundkonzeption des Buches nicht verandert.
Neben der Beseitigung von Fehlern im Text und in den Aufgaben wurde das
Literaturverzeichnis aktualisiert. Den Kollegen und Studenten, die mich auf
Fehler aufmerksam gemacht haben, danke ich recht herzlich.
Stuttgart-Hohenheim, im Januar 1995 Karl Bosch
IV
Inhalt
1. Der WahrscheiDlichkeitsbegriff
1.1. Zuflillige Ereignisse. . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Die relative Hiiuflgkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . " 5
1.3. Axiomatische Defmition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff . . . . . . . .. 8
1.4. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit oach Laplace und kombinatorische Methoden
zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten .......•............... 12
1.5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .. 25
1.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und uoabhiingige Ereignisse. . . . . . . . . . . . .. 29
1. 7. Bernoulli-Experimente und klassische Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . " 36
1. 7.1. Die Binomialverteilung ................•....•.•......•..• 37
1. 7.2. Die Polynomialverteilung . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •. 39
1. 7.3. Die geometrische Verteilung ....••.......•....•............ 40
1.8. Der Satz von der vollstiindigen Wahrscheinlichkeit und die Bayessche Formel . •. 42
1.9. Das Bernoullische Gesetz der gro6en Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .. 45
1.10. Obungsaufgaben...................................... 49
2. Zufallsvariable 55
2.1. Definition einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
2.2. Diskrete Zufallsvariable • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . • . . •. 56
2.2.1. Defmition einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56
2.2.2. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ....•............ 58
2.2.3. Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.2.4. Varianz und Streuung einer diskreten Zufallsvariablen ................ 69
2.2.5. Paare diskreter Zufallsvariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 72
2.2.6. Summen und Produkte diskreter Zufallsvariabler ..................• 74
2.2.7. Erzeugende Funktionen . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
2.3. Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • . . . . . . . . .. 82
2.3.1. Die geometrische Verteilung ............................... 82
2.3.2. Die hypergeometrische Verteilung • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 83
2.3.3. Die Binomialverteilung ....•.........•.....•............. 86
2.3.4. Vergleich der hypergeometrischen-und der Binomialverteilung ........ . .. 90
2.3.5. Die Poisson-Verteilung a\s Grenzwert der Binomialverteilung ............ 92
2.3.6. ObungsaufgaOOn iiOOr diskrete Zufa\lsvariable .......•............. 96
2.4. Stetige Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . .. 98
2.4.1. Defmition einer stetigen Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . " 98
2.4.2. Erwartungswert und Varianz e;ner stetigen Zufallsvariablen ............. 104
2.4.3. Stetige zweidimensionale Zufal1svariable ........................ 113
2.4.4. Summen und Produkte stetiger Zufallsvariabler ..•....•......•..... 120
2.5. Spezielle stetige Verteilungen ..........................•.... 128
2.5.1. Die gleichmii6ige Verteilung .•..............•....•...•...•. 128
2.5.2. Die N (O;I)-Normalverteilung als Grenzwert standardisierter Binomial-
verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . • . 129
2.5.3. Die allgemeine Normalverteilung • . • . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • • . 134
2.5.4. Die Exponentialverteilung. . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . • • . . . 138
2.5.5. ObungsaufgaOOn iiber stetige Zufa\lsvariable ...•..•...•.•........• 141
2.6. Allgemeine Zufallsvariable .......•.................•...•.• 143
2.6.1. Verteilungsfunktion. Erwartungswert und Varianz einer beliebigen
Zufal1svariablen ....••....•••...•......•.....•....•.... 144
2.6.2. Median und Quantile einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . 146
2.6.3. ObungsaufgaOOn iiber a\1gemeine Zufal1svariable •.......•....•.•..• 148
v
3. Gesetze der groMen Zahlen 149
3.1. Die Tschebyscheffsche Ungieichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
3.2. Das schwache Gesetz der gro1\en Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 150
3.3. Der zentraIe Grenzwertsatz ................................ 151
3.4. Obungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153
4. Testvertellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1. Die Chi-Quadrat-Yerteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2. Die Studentsche t-Yerteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
4.3. Die F -Yerteilung von Fisher ............................... 156
s.
Ausblick 158
6. Anhang 159
6.1. Losungen der Obungsaufgaben .............................. 159
6.2. Tafel der Yerteilungsfunktion <I> der N(O;l)-Yerteilung ................ 188
6.3. Weiterflihrende Literatur ................................. 190
6.4. Namens-und Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Bevor wir den Begriff "Wahrscheinlichkeit" einflihren, beschiiftigen wir uns mit
den Grundbausteinen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, den sogenannten zuflilligen
Ereignissen.
1.1. Zufallige Ereignisse
Bei der Durchflihrung vieler Experimente kann eines von mehreren moglichen
Ergebnissen eintreten. Dabei sind zwar die verschiedenen Ergebnisse, die eintreten
konnen, bekannt, vor der Durchflihrung des Experiments weiB man jedoch nicht,
welches Ergebnis tatsiichlich eintreten wird. In einem solchen Fall sagt man, das
Ergebnis hiingt vom Zufall abo Experimente dieser Art nennen wir Zufallsexperi
mente.
Beispiele von Zufallsexperimenten sind: das Werfen einer Miinze oder eines Wiirfels,
das Verteilen der 32 Skatkarten, die Lotto-Ausspielung, das Messen der Korper
groBe, des Blutdrucks und des Gewichts einer zufallig ausgewiihlten Person oder
die Feststellung des Intelligenzquotienten eines Kindes.
Unter einem zufiilligen Ereignis (oder kurz Ereignis) verstehen wir einen Versuchs
ausgang, der bei der Durchflihrung eines Zufallsexperiments eintreten kann, aber
nicht unbedingt eintreten muB. Dabei muB von einem Ereignis nach jeder Versuchs
durchftihrung feststellbar sein, ob es eingetreten ist oder nicht. Ereignisse, die stets
geme.insam eintreten oder nicht eintreten, werden als gleich angesehen. Wir be
zeichnen Ereignisse mit groBen lateinischen Buchstaben A, B, C, D, E •... ; AI, A2 •.
Das Ereignis, das bei jeder Durchflihrung des Zufallsexperiments eintritt, nennen
wir das sichere Ereignis und bezeichnen es mit n. Das sichere Ereignis n besteht
somit aus allen mogiichen Versuchsergebnissen. Ein Ereignis, das nie eintreten kann,
heiBt unm6gliches Ereignis und wird mit 0 bezeichnet.
Beispiell.l. Beim Werfen eines Wiirfels konnen als mogiiche Versuchsergebnisse
die Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 eintreten. Es gilt also n =p , 2, 3, 4,5, 6}. Ist G
das Ereignis "eine gerade Augenzahl wird geworfen", so tritt G genau dann ein,
wenn eine der Augenzahlen 2,4,6 geworfen wird, es gilt also G = {2, 4, 6}.
Das Ereignis U "eine ungerade Augenzahl wird geworfen" besitzt die Darstellung
U = {I, 3, 5} und flir das Ereignis A "die geworfene Augenzahl ist mindestens
gleich vier" erhiilt man A = {4, 5, 6}. lede Zusammenfassung von Versuchsergeb
nissen stellt ein Ereignis dar. Unmogliche Ereignisse sind hier z.B.
{xix = 7} = C/J; {xix = O} = C/J; {xix = 15 oder x = 16} = C/J. •
Beispiel 1.2. Ein Ball werde auf eine rechteckige Wand geworfen. Dabei sei die
Wand und der Standort des Werfers so gewiihlt, daB dieser bei jedem Wurf sicher
2 1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Bild 1.1. Ereignisse
trifft. Versuchsergebnisse sind dann die Beriihrungspunkte des Balles mit der Wand,
die wir (Bild 1.1) symbolisch als Punkte eines Rechtecks darstellen konnen.
n besteht somit aus allen Punkten des eingezeichneten Rechtecks. Betriigt der
Abstand des Beriihrungspunktes vom Mittelpunkt der Wand hochstens r Einheiten,
so tritt das Ereignis K ein. Das Ereignis L tritt ein, wenn die linke Hlilfte der Wand
getroffen wird, und das Ereignis A, wenn der Abstand des Beriihrungspunktes vom
rechten unteren Eckpunkt der Wand hochstens s Einheiten betrilgt. Jeder Figur
(z.B. F) kann ein Ereignis zugeordnet werden. •
Aus den Ereignissen A, B gewinnen wir neue Ereignisse durch folgende Vorschriften:
1. Das Ereignis An B = AB (sprich "A und B") tritt genau dann ein, wenn sowohl
A als auch B, wenn also beide eintreten. Man nennt An B den Durchschnitt
oder das Produkt von A und B.
2. Das Ereignis AU B (sprich "A oder B") tritt genau dann ein, wenn A oder B
oder beide eintreten, wenn also mindestens eines der Ereignisse A, B eintritt.
AU B he~t die Vereinigung von A und B.
3. Das Ereignis A (sprich"A nicht") tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A
nicht eintritt. Man nennt Ad as zu A entgegengesetzte Ereignis oder das
Kompiementiirereignis von A.
4. Das Ereignis A \ B = AS tritt genau dann ein, wenn A eintritt und B nicht.
A \ B hei~t die Differenz von A und B.
Spiitere wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen werden durch folgende
Verabredungen wesentlich erleichtert:
5. Man sagt: A zieht B ruzch sich oder aus Afolgt B, im Zeichen A C B, wenn aus
dem Eintreten des Ereignisses A auch das von B folgt. Gilt A C B und B C A,
so sind die Ereignisse A und B gleich, d.h. A = B.
6. Zwei Ereignisse A und B he~en unvereinbar (oder unvertriiglich oder disjunkt),
wenn sie nicht beide gleichzeitig eintreten konnen, wenn also gilt An B = 0.
Flir unvereinbare Ereignisse A, B schreibt man anstelle von AU Bauch A + B und
nennt A + B die Summe von A und B.
1.1. Zufallige Ereignisse 3
Die Sehreibweise C = A + B bedeutet also folgendes: die beiden Ereignisse A und B
sind unvereinbar und C ist die Vereinigung von A und B.
Ein Ereignis, das nieht als Summe zweier disjunkter, von 0 verschiedenen Ereignisse
darstellbar ist, heilt.tElementarereignis. Elementarereignisse lassen sieh also nieht
mehr zeriegen.
Beispiell.3 (vgi. Beispiell.l). Beim Werfen eines Wiirfels seien folgende Ereignisse
betraehtet
U={l,2,3,4,5,6}, G={2,4,6}, U={I,3,5}, M={4,5,6},
A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}, C = {2, 4}.
Das Ereignis AB tritt ein, wenn entweder eine 2 oder eine 4 geworfen wird. Der
Durehschnitt AB besteht also aus allen Augenzahlen, die sowohl in A als aueh in B
enthalten sind; damit gilt AB = {2, 4}. Ferner erhalten wir Gnu = 0 und
un M = {5}. Die Vereinigung AU B besteht aus allen Zahlen, die in A oder B
oder in beiden enthalten sind, es ist also AU B = {2, 3, 4, 5}.
Weiter gilt
A= {I, 5, 6}, G = {I, 3, 5} = U, U= {2, 4, 6} = G,
M={I,2,3}, U=G+U,
A \ B = AD = {2, 3, 4} n {I, 3, 6} = {3},
CCG.
Die Beziehung B C G gilt nieht, wir schreiben daflir B ¢ G. •
Die seehs Elementarereignisse lauten: {I}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.
Beispie1l.4. Das Zufallsexperiment bestehe im Messen der Korpergro6e einer
zufallig ausgewiihlten Person. Ais Versuehsergebnis tritt eine Zahl x auf, welehe
die Korpergro6e der gemessenen Person angibt. 1st A das Ereignis "die Korper
groBe betragt mindestens 165 und hOehstens 175 em", so besteht A aus allen
reellen Zahlen x mit 165 ::;; x::;; 175. Das Ereignis A konnen wir somit darstellen
als A= {x 1165::;; x::;; 175}. Ferner betrachten wir die Ereignisse
B = {x 1170::;; x::;; 180} und C = {x 1150::;; x::;; 160}.
Damit erhalten wir
AnB={xII70::;;x::;; 175},
AU B = {x 1165::;; x::;; 180} ,
Anc=,,.
Das Ereignis At ritt ein, wenn die Korpergro6e kleiner als 165 oder gro6er als 175
ist. Ab esteht also aus allen Werten x mit x < 165 oder x > 175, es gilt also
A= {x 1x < 165} U {x 1x > 175}. •
