Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen

206 Pages·2012·1.17 MB·German

by  Klaus Hulek (auth.)

Aufbaukurs Mathematik
Herausgegebenvon
MartinAigner
PeterGritzmann
VolkerMehrmann
GisbertWüstholz
InderReihe,,AufbaukursMathematik“werdenLehrbücherzuklassischenundmodernen
Teilgebieten derMathematik passendzudenStandardvorlesungen desMathematikstudi-
umsabdemzweitenStudienjahrveröffentlicht.DieLehrwerkesinddidaktischgutaufbe-
reitetundführenumfassendundsystematischindasmathematischeGebietein.Siestellen
diemathematischenGrundlagenbereitundenthaltenvieleBeispieleundÜbungsaufgaben.
ZielgruppesindStudierendederMathematikallerStudiengänge,sowieStudierendederIn-
formatik, Naturwissenschaften undTechnik.AuchfürStudierende,diesichimLaufedes
StudiumsindemGebietweitervertiefenundspezialisierenmöchten,sinddieBüchergut
geeignet.DieReiheexistiertseit1980undenthältvieleerfolgreicheKlassikerinaktualisier-
terNeuauflage.
Klaus Hulek
Elementare
Algebraische Geometrie
Grundlegende Begriffe und Techniken
mit zahlreichen Beispielen
und Anwendungen
2., überarbeitete Auflage
KlausHulek
InstitutfürAlgebraischeGeometrie
LeibnitzUniversitätHannover
Deutschland
ISBN978-3-8348-1964-2 ISBN978-3-8348-2348-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-2348-9
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cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
DieWiedergabe vonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe-
rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
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benutztwerdendürften.
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Vorwort zur zweiten Auflage
Eshatmichgefreut,dassmichderVerlagSpringerSpektrumermunterthat,eine
Neuauflage des Buches Elementare Algebraische Geometrie zu erarbeiten. Der
TextdieserAusgabefolgtinweitenTeilendererstenAuflage,essindjedochauch
eine Reihe von A¨nderungen und Erg¨anzungen vorgenommen worden. Zun¨achst
war es mir ein Anliegen, die, leider allzu zahlreichen, Irrtu¨mer der ersten Auflage
zu beseitigen. Daru¨ber hinaus wurde der Text an einigen Stellen u¨berarbeitet
in der Hoffnung ihn so lesbarer zu machen und die Motivationen fu¨r bestimmte
Definitionen und Konzepte klarer darzustellen. Die Zeichnungen in der zweiten
AuflagewurdenweitgehendausderinzwischenerfolgtenamerikanischenAusgabe
u¨bernommen.
Neu an dieser Auflage ist auch, dass fu¨r die U¨bungsaufgaben, von denen mehrere
neu aufgenommen wurden, L¨osungshinweise gegeben werden. Das Literaturver-
zeichnis wurde ebenfalls aktualisiert.
AndieserStellem¨ochteichauchaufdieinteraktiveAusstellungImaginaryverwei-
sen, welche in den letzten Jahren vom Mathematischen Forschungsinstitut Ober-
wolfach entwickelt wurde. Dort k¨onnen die Leserinnen und Leser dieses Buchs
viele Bilder finden, die ihnen die Konzepte, welche in diesem Buch dargestellt
werden, anschaulich n¨aher bringen.
Mein besonderer Dank gilt an dieser Stelle Herrn Malek Joumaah. Er hat mich
bei der U¨berarbeitung des Werkes in wertvoller Weise unterstu¨tzt. Dies betrifft
nicht nur Verbesserungen bei Layout und Zeichnungen, sondern vor allem auch
die Unterstu¨tzung bei der Erstellung der L¨osungshinweise, welche teilweise von
ihm erarbeitet wurden.
Des weiteren gilt mein Dank folgenden Kolleginnen und Kollegen in Hannover:
W. Ebeling, A. Fru¨hbis-Kru¨ger, S. Krug, D. Ploog, F. Schulze, O. Tommasi und
M.Wandel.SieallehabenTeiledesManuskriptsKorrekturgelesen.Esistmu¨ßig
zu betonen, dass s¨amtliche verbleibenden Fehler in meiner Verantwortung liegen.
Hannover, im Mai 2012 Klaus Hulek
Vorwort
Bei dem vorliegenden Buch handelt es sich um die Ausarbeitung einer Vorle-
sungu¨berAlgebraischeGeometrie,dieichmehrfachanderUniversit¨atHannover
gehalten habe. Die Vorlesung richtet sich an Studierende, die die einfu¨hrenden
Vorlesungen u¨ber Algebra und Funktionentheorie geh¨ort haben. Daru¨ber hin-
ausgehende Vorkenntnisse sind nicht notwendig. Besonders wichtig war es mir,
in diesem Buch das Wechselspiel zwischen allgemeiner Theorie einerseits und
konkreten Beispielen und Anwendungen andererseits darzustellen. Der Umfang
entsprichtdemStoffeiner1-semestrigen4-stu¨ndigenVorlesung.AufGarben-und
KohomologietheoriewurdeindiesemBuchverzichtet.DievorliegendeEinfu¨hrung
sollaberdieStudierendendaraufvorbereiten,sichfortgeschrittenereTextezuer-
arbeiten.
Von den im Literaturverzeichnis angegebenen Bu¨chern habe ich mich insbeson-
dere auf das Buch Undergraduate Algebraic Geometry von M. Reid gestu¨tzt. Vor
allem das Kapitel V, in dem ein elementarer Beweis fu¨r die Existenz der 27 Ge-
raden auf einer glatten kubischen Fl¨ache gegeben wird, beruht auf diesem Buch.
Ich danke Herrn S. Schr¨oder und Frau S. Guttner sehr herzlich fu¨r die sorgf¨altige
Erstellung des TEX-Skriptums und fu¨r die Anfertigung der Zeichnungen. Herrn
Dr. A. Gathmann und Herrn Dr. J. Spandaw danke ich fu¨r Hilfe beim Korrek-
turlesen. Ebenso danke ich einigen H¨orerinnen und H¨orern meiner Vorlesung fu¨r
Hinweise auf Druckfehler.
Hannover, im Juli 2000 Klaus Hulek
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
1 Affine Variet¨aten 16
1.1 Der Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Polynomiale Funktionen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Rationale Funktionen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Projektive Variet¨aten 52
2.1 Projektive R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Projektive Variet¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Rationale Funktionen und Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Glatte Punkte und Dimension 81
3.1 Glatte und singul¨are Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Algebraische Charakterisierung der Dimension . . . . . . . . . . . 86
4 Ebene kubische Kurven 95
4.1 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Schnittmultiplizit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Klassifikation glatter Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Die Gruppenstruktur einer elliptischen Kurve . . . . . . . . . . . 113
5 Kubische Fl¨achen 118
5.1 Existenz von Geraden auf einer Kubik . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Die Konfiguration der 27 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
VIII INHALTSVERZEICHNIS
5.3 Rationalit¨at von Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Theorie der Kurven 137
6.1 Divisoren auf Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Der Grad von Hauptdivisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 Der Satz von B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4 Linearsysteme auf Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5 Differentialformen auf Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.6 Projektive Einbettungen von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . 160
L¨osungshinweise 173
0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1 Affine Variet¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2 Projektive Variet¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3 Glatte Punkte und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4 Ebene kubische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5 Kubische Fl¨achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6 Theorie der Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Literaturverzeichnis 186
A Kommutative Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B Grundlegende algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C Fortgeschrittene algebraische Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . 188
D Weitere Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
E Kommentare und Verweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Abbildungsverzeichnis
Einleitung 1
1 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Entartete Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Kubik mit Doppelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Neilsche Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Deformationen der Kurven C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
λ
8 Torus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 Aufgeschnittene Sph¨are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10 Verklebung zweier aufgeschnittener Sph¨aren . . . . . . . . . . . . 10
11 Entstehung eines Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
12 Das Gitter Λ mit Fundamentalgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . 10
τ
13 Torus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
14 Zweischaliges Hyperboloid, einschaliges Hyperboloid, Kugel und
Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Affine Variet¨aten 16
1 Achsenkreuz als Beispiel einer reduziblen Variet¨at . . . . . . . . . 18
2 Geometrische Deutung der Noether-Normalisierung . . . . . . . . 28
3 V als affine Variet¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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