電磁気学とベクトル解析 = Electromagnetism and Vector Analysis

316 Pages·2019·17.501 MB·Japanese

by  吉田善章

シリーズ「数学と物理の交差点」の刊行によせて
自然科学の基礎として，人類の進歩に大きな役割を果たしてきた数学と物理
学は，その発祥の時から互いを糧とし，刺激し合い，手を携えて発展してきた．
数学は物理を記述する言葉である． しかしそれは単なる言葉ではない．物理学
は数学によって思考するのである．
数え上げや，測量，天文学など実用と科学的探究心から誕生した数論や幾何
学は様々な物理学との交流と，独自の一般化・抽象化を通して発展してきた．
物体の運動の記述のために誕生した微分積分学も古典力学や流体力学などとの
交流と，独自の厳密化・精密化を経て飛躍的に発展してきたのである．一方，
量子力学や一般相対性理論などにおける物理学の抽象的な記述はこのように発
展した数学なしには可能とはならなかったであろう．したがって， このような
レベルにおける物理学のさらなる発展もまた数学なしにはありえない．数学と
物理学は表裏一体の存在なのである．
現在，社会の急速な複雑化によって高度な自然科学的思考力がより強く求め
られている． これは自然科学の基礎の確固とした理解があって初めて獲得でき
る．物理学と数学の関わり合いに留意することはこのための大きな力になる．
しかしながら，独立な科目として学習されるためからか， とくにわが国におい
て， このような深い関連性を意識しながら学ぶ機会が乏しくなっている． これ
は高校・大学の物理や数学の教員の共通の認識であろう．
本シリーズは， このような状況において現代の数学と物理学の具体的な交差
の場面を様々な角度から鮮明に例示して， 読者がこの重要な自然科学の基礎
を学び，あるいは教育するための手助けとなることを目標として企画されたも
のである． この企画が人類の貴重な文化遺産である自然科学の基礎を深く理解
し味わおうとする意欲的な読者のための一助となれば幸いである．
令和元年を迎えて 編集委員
谷島賢二

まえがき
電磁気学は，力学とならんで，物理の根本に至る主要な街道の役割を果たし
てきた．同時に，エネルギーやエレクトロニクスといった現代社会を支える技
術の基盤でもある．その重要性は，あらためて強調するまでもないだろう．
しかし，電磁気学は多くの理工系の学生たちにとって高いハードルになって
いるようである．異口同音に言われることは，初学者にとって電磁気学は，出
てくる数学が難しいために，根本を理解する前に挫折してしまう．「難しい」と
いう苦情の内容は，「ベクトル」なるものが現れて，その代数演算や微分・積分
をしなくてはならない，そのことの複雑さ，不可解さを訴えるものである．も
し「だれにでもわかる電磁気学」というものがあるとするなら，それはできる
だけ数学を使わず，電磁現象を直感に訴えながら説明するようなものだと考え
られることが多い． しかし，これは物理と数学の強いつながりを学ぶせっかく
の好機を台無しにする思想である．ガリレオの有名な言葉を思い出そう．「自
然は数学の言葉で書かれた書物である．」これを読む力を涵養し，自然の根本
原理を理解できるようになるために，電磁気学は格好の題材なのである．
本書の目的は，電磁気学という「織物」を見ることで，物理学という縦糸
と，数学という横糸がどのように絡み合うのかを理解することである．縦糸・
横糸といったが，それぞれの「糸」はそれぞれに独立した大きな文脈をもって
いる．例えば，電磁波という物理の糸はそれだけで大著になるような膨大な物
理や工学のテーマをつないでいる．あるいは微分形式という数学の糸もさまざ
まな理論へ延びていく長大な道である．本書が注目するのは，それぞれの「素
材」のアレンジメントである．それらを何かある閉じた主題に帰属させるので
はなく，アレンジメントとして見渡したい．
数学の教科書として見ると，本書は異色かもしれない．伝統的な数学書は，
vi まえがき
十全な準備から始めて，その上に理論を展開していく． しかし本書では，必要
に応じて基盤を築きながら前へ進む．例えば「ベクトル」という概念は，幾度
も定義し直され，それぞれの局面で意味づけられる．それは「泥縄」というも
のだと謗りを受けるかもしれない． しかし，数学の本が（物理や工学を学ぶ人
にとって）わかりにくいのは，さまざまな道具概念の意味が「必要性Jとして
理解しにくいからだ．意味は目的によって生じてくる．私たちは，様々な電磁
現象を理解し応用するという目的のもとで，数学の諸概念の実践的な意味を理
解することを目指そう．
本書は三つの章で構成され，それぞれ(1)物理学， (2)幾何学， (3)解析学の
視点を紹介している．ベクトル場，カレント，時空，メトリックといった概念
が，それぞれの視点からどのようにテーマ化されるのかを説明する．統一を目
指すのではなく，多様性を学ぶことが目標である．電磁気学という街道をたど
りながら，幾多の「交差点」の風景を描きたい．そこには，力学，熱力学，流
体物理，さらには量子論の諸概念も立ち現れる．電磁気を閉じた領域として記
述することは物理の感性をゆがめることになる．電磁気と交流する諸分野は，
それぞれ深い内容をもつ学問であるから，直ちにそれらの内奥を理解すること
は難しいかもしれない．それでも， まずは多様な「文化」に触れ，それらを記
憶にとどめながら街道を進めばよい．諸概念のアレンジメントを見渡すことを
最大の目的として，本書を読んでもらいたい．
2019年8月 吉田善章
目 次
第1章電磁気の物理学.................................................I
1.1 電磁気とは何か 1
1.1.1 磁力 2
1.1.2 電荷と電流 5
1.2 ベクトル場 その視覚的イメージ 6
1.2.1 ベクトル場の構造：発散と回転 7
1.2.2 力線（流線） 7
1.3 基本的な数学の準備 12
1.3.1 ベクトル（素朴な定義） 12
1.3.2 ベクトル場 18
1.3.3 微分作用素 20
1.3.4 積分にかかわる公式 22
1.4 マックスウェルの方程式 28
1.4.1 電磁場の基本方程式 28
1.4.2 電荷と電流 31
1.4.3 電磁場のエネルギー 33
1.4.4 電磁場の4元ポテンシャル 36
1.4.5 電磁波とローレンツ変換 39
1.4.6 現象論的な電磁気モデル 44
1.5 電磁力と運動方程式 51
1.5.1 荷電粒子に働く力：ローレンツカ 51
1.5.2 マックスウェルの応力 54
1.5.3 4次元時空における運動量とエネルギーの統合 56
...
vm 目次
1.5.4 電場と磁場の統一：ファラデーテンソル 59
1.5.5 電磁場と物体の結合：プラズマ 61
1.5.6 非相対論の極限 65
1.6 電磁気の単位とスケーリング 66
1.6.1 単位と次元 66
1.6.2 規格化（無次元化） 69
1.6.3 SI単位系で表される電磁気諸量 70
1.6.4 cgsガウス単位系で表される電磁気諸量 72
第2章電磁気の幾何学.........................................・・・・・・. 77
2.1 ベクトル（一般的な定義） 77
2.1.1 ベクトル算法 77
2.1.2 ベクトル空間の位柑 80
2.1.3 双対空間 84
2.2 接ベクトル 87
2.2.1 狭義の〈ベクトル〉：物の動きを生じる作用 87
2.2.2 微分作用素による〈ベクトル〉の表現 91
2.2.3 多様体上の接ベクトル場 95
2.3 余接ベクトル・微分形式 103
2.3.1 余接ベクトル場 103
2.3.2 微分形式，外積および内部積 107
2.3.3 リーマン計量 113
2.3.4 外微分 117
2.4 微分形式と図形の双対性 124
2.4.1 微分形式の積分 125
2.4.2 引き戻し 127
2.4.3 ストークスの定理 133
2.4.4 ホッジ双対 136
2.4.5 ラプラス・ベルトラミ作用素，調和微分形式 140
2.4.6 コホモロジ一 147
2.5 運動の幾何学的理論 157
目次 ix
2.5.1 リー微分 158
2.5.2 カルタンの公式 161
2.5.3 時空における運動 164
2.6 ミンコフスキー時空（特殊相対論） 171
2.6.1 ローレンツ計量 171
2.6.2 ローレンツ変換 174
2.6.3 ローレンツ変換に関する共変成分と反変成分 177
2.6.4 ミンコフスキ一時空における電磁気学 180
2.6.5 ダランベルシャン 183
2.6.6 ミンコフスキ一時空における運動 185
第3章電磁気の解析学...............................................187
3.1 カ線（流線）の構造 187
3.1.1 ベクトル場の凩テンシャル表現 188
3.1.2 2次元の調和ベクトル場，複素関数の応用 192
3.1.3 カ線（流線）方程式の積分可能性 194
3.1.4 磁力線方程式のハミルトン形式 198
3.1.5 クレブシュ表現 201
3.2 ポテンシャル論 203
3.2.1 定常電磁場のポテンシャル 203
3.2.2 変分原理 207
3.2.3 ニュートンポテンシャル 211
3.2.4 境界の影轡，グリーン関数 214
3.2.5 ベクトルポテンシャルとビオ・サヴァールの法則 218
3.2.6 境界条件の物理的意味 223
3.3 波動論 227
3.3.1 真空中の電磁波 227
3.3.2 物質中の電磁波 233
3.3.3 波動方程式と特性常微分方程式 237
3.3.4 波の伝播 242
3.3.5 変分原理（最小作用の原理） 248
目次
X
3.3.6 遅延ポテンシャル 257
3.4 関数空間 260
3.4.1 無限次元ベクトル空間 261
3.4.2 ぴ空間，ソボレフ空間 265
3.4.3 境界値：トレース 271
3.4.4 ベクトル値関数の境界値 276
3.4.5 ベクトル場の直和分解 280
付録..............................................................287
A.l 記号に関する約束 287
A.2 3次元ベクトルに関する公式 289
A.3 微分幾何学の公式 293
参考文献...............................................................297
索弓I................................................................. 299