Table Of ContentEl papel deE los deldo s epn la fuandaciópn de leas matlem átdicas e l Ruobén Esspino za Cóndor
dedos en la
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fundación de las
matemáticas
Rubén Espinoza Cóndor
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Editora
El papel de los
dedos en la
fundación de las
matemáticas
El papel de los
dedos en la
fundación de las
matemáticas
Rubén Espinoza Cóndor
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Editora
2018
DEDICATORIA
A mi amigo Pepe Lucho (José Luis de la Cruz
Montes), el amigo de mi hermano mayor que
se convirtió en mi hermano mayor. Gracias
por tus enseñanzas y por tu biblioteca.
Índice General
Dedicatoria 5
Índice General 6
Introducción 7
1 PRIMERA PARTE
Una historia que se empezó a contar con los dedos 11
1.1 Los dedos en la historia de la aritmética 12
1.2 El cardinal y el ordinal de un numero 23
1.3 Los dedos y los números enteros positivos 28
2
SEGUNDA PARTE
Percibir y discriminar nuestros dedos: los primeros pasos para el
conteo 37
2.1 La gnosis digital o el conocimiento de nuestros dedos 38
2.2 Dos puntos de vista opuestos con respecto al conteo con los
dedos: neurólogos y educadores 47
3 TERCERA PARTE
Como es posible “agarrar” los números 60
3.1 Efecto de la magnitud numérica en la abertura de agarre de la
mano 61
3.2 Efecto de los movimientos de agarre en el procesamiento de la
magnitud numérica 68
3.3 La interacción entre el espacio, los números y las manos 73
4 CUARTA PARTE
El conteo con los dedos influye en la aritmética desde la niñez
hasta la adultez 83
4.1 El conteo con los dedos en los niños 84
4.2 Ubicación del conteo con los dedos en el desarrollo de la
aritmética temprana 92
4.3 El conteo con los dedos en los adultos 97
5 QUINTA PARTE
Nuestro cerebro cuenta con los dedos 110
5.1 La relación entre los dedos y los números en el cerebro 111
5.2 La teoría del Reciclaje Neuronal 130
CONCLUSIÓN 142
El papel de los dedos en la fundación de las matemáticas Rubén Espinoza Cóndor
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Introducciónl
Todos los seres humanos normales poseemos un sentido numérico innato que nos permite
representar y procesar los estímulos numéricos no simbólicos presentes en el medio am-
biente, una habilidad que está presente incluso en etapas tan tempranas como a los pocos
días de nacido, y que es, además, independiente de la educación y el lenguaje. Esta habilidad para
responder a los estímulos numéricos visuales, sonoros o táctiles, es también compartido por varias
especies de animales. La cantidad de estímulos discretos que contienen los conjuntos de estímu-
los no simbólicos, se denomina numerosidad. Mediante experimentos estrictamente controlados,
los científicos han logrado determinar que muchas aves y otras especies de animales son capaces
de percibir la numerosidad de los estímulos sin la necesidad de un entrenamiento especial. Sin
embargo, también han logrado determinar que esta percepción no es exactamente precisa, ya que
esta precisión disminuye a medida que se incrementa la magnitud del número. Las aves, por ejem-
plo, solo pueden distinguir en forma correcta hasta 2 o 3 estímulos. Al igual que en los animales,
el sentido numérico en los seres humanos es también bastante limitado. Las investigaciones han
logrado determinar que el sentido numérico visual de un hombre civilizado promedio rara vez se
extiende más allá del cuatro. ¿Cómo hizo el ser humano para moverse más allá de un sistema nu-
mérico aproximado, propio de los animales? Aunque los bebes humanos han nacido con el mismo
sentido rudimentario observado en ratas y chimpancés, ellos poseen dos capacidades aritméticas
que rápidamente los han separado de del resto de animales. Uno es la habilidad del conteo. El otro
es el uso y la manipulación de símbolos que representan cantidades numéricas.
Como adultos educados utilizamos un sistema de símbolos abstractos culturalmente desarrollado
para representar las numerosidades exactas, en particular las palabras numéricas y los números
arábigos. Para llegar a alcanzar esta etapa, sin embargo, hemos tenido que pasar por una etapa
aparentemente transitoria en la que el conteo y el cálculo con los dedos era la actividad principal
cuando se trataba de representar y procesar las numerosidades. De hecho, el uso de los dedos
para representar la numerosidad es algo común en todas las épocas y culturas. Aún hoy en día, es
el único sistema que les permite a ciertas culturas primitivas realizar las actividades del conteo y
el cálculo.
Los niños utilizan sus dedos para contar espontáneamente, incluso si se les prohíbe hacerlo (ya sea
ocultando sus manos detrás de la espalda o debajo del pupitre), en la mayoría de las ocasiones mu-
cho antes de aprender a pronunciar la secuencia de las palabras numéricas. Además, la estrategia
del conteo con los dedos puede ser también utilizado por adultos diagnosticados con discalculia,
una enfermedad que no les permite a quienes lo padecen realizar una correcta representación
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numérica. Las ventajas del conteo con los dedos son evidentes: los dedos están fácilmente dispo-
nibles y son perceptualmente notables; la representación numérica con los dedos ayuda a sobre-
llevar la carga de la memoria de corto plazo; proporciona una relación uno a uno entre los objetos
a ser contado y sus representaciones; promueven la comprensión del sistema numérico de base
10 y permiten realizar operaciones aritméticas. Obviamente estas ventajas solo se hacen patente
cuando se trata de procesar números pequeños, de tal forma que un conteo con los dedos real-
mente eficaz está limitado a los números dentro del rango del 1 al 10. Los números más grandes
solo pueden ser representados en una forma menos perceptual: en forma simbólica. Sin embargo,
hasta inicios de nuestro siglo todavía existían manuales que ayudaba a los alumnos a contar con
dedos hasta el ¡9000!, existendo además en la actualidad técnicas para multiplicar con los dedos.
Gracias a sus diez dedos articulados, el ser humano ha podido alcanzar un éxito sorprendente en
el cálculo. Sin este instrumento de técnica numérica, el ser humano quizás no hubiera sido capaz
de avanzar más allá de su rudimentario sentido numérico. El conteo con los dedos es hoy un arte
olvidado entre las personas civilizadas, solamente utilizado por nuestros niños en su proceso de
aprendizaje o por nosotros mismos cuando en raras ocasiones deseamos enfatizar algún conteo
o alguna sucesión de acontecimientos (en primer lugar, esto, en segundo lugar, esto, etc.) El adveni-
miento de la escritura simplificó grandemente la numeración, y la universalización de la escuela
convirtió al conteo en un arte obsoleto y superfluo. Bajo estas circunstancias es normal subesti-
mar el papel que el conteo mediante los dedos ha jugado en el desarrollo de las matemáticas.
En años recientes, diversos estudios han reportado la existencia de una estrecha conexión entre la
representación de los dedos y el procesamiento numérico, sugiriendo que la representación de los
números mediante los dedos no es solo una etapa arbitraria y transitoria del desarrollo cognitivo.
A un nivel de los estudios de desarrollo, por ejemplo, el desempeño en la discriminación de los
dedos ha demostrado ser un buen predictor de las habilidades aritméticas. Consecuentemente,
algunos autores han sugerido que los dedos pueden ser “la herramienta perdida” que sustenta la
asimilación de las habilidades numéricas básicas o “el eslabón perdido” que permite la conexión
entre las numerosidades no simbólicas y la aritmética simbólica.
Desde una perspectiva neurocognitiva, el conteo con los dedos proporciona entradas multisen-
soriales que permiten obtener información sobre el aspecto cardinal y ordinal de los números. En
este punto de vista, el número de dedos y el ordenamiento que tienen en ambas manos permite
construir una representación externa de las magnitudes numéricas (cantidad de objetos, numero
de sonidos, etc.), de tal forma que esta representación sirve para resolver tareas de conteo y de
cálculo. Los dedos de la mano permiten así tener una representación encarnada o corporizada del
conteo. La importancia de la representación corporizada del conteo de la magnitud numérica esta
mayormente ilustrado por los hallazgos que sugieren que los niños ciegos e incluso los niños con
manos y antebrazos amputados utilizan sus manos y sus dedos (fantasmas) como un cuantifica-
dor externo, aunque menos frecuentemente y de una manera menos convencional que los niños
normales.
La representación numérica utilizando los dedos, parece ser un buen ejemplo de cognición encar-
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nada o corporizada. La cognición corporizada o encarnada (embodied cognition) agrupa un conjunto
de teorías que están basadas en la idea de que el conocimiento humano es un producto de la in-
teracción del sistema perceptual y el sistema motor en el mundo. Las formas de pensar, así como
las representaciones del conocimiento y los métodos para organizar y expresar la información, se
ven influenciados por los sistemas perceptuales y motores, incluyendo la forma y el movimiento
del cuerpo, los sistemas neuronales comprometidos con la planificación de la acción, y los sistemas
involucrados en la sensación y la percepción. De esta forma, todo nuestro conocimiento presente
es representado por una actividad sensorial y motora que también estuvo presente durante la
adquisición de este conocimiento. Como consecuencia de esto, incluso una actividad cognitiva
supuestamente abstracta como la cognición numérica reutiliza el substrato neuronal y hereda las
propiedades funcionales de procesos perceptuales y/o motores más básicos. Consistente con esta
suposición, los hábitos de conteo con los dedos y el procesamiento numérico interactúan incluso
en los adultos educados, cuestionando la supuesta la naturaleza abstracta de la representación
numérica.
El enlace entre la representación numérica y la representación de los dedos ha sido establecido
en diferentes estudios y experimentos. Por ejemplo, una línea de investigación ha sido investigar
la relación entre la gnosis de los dedos y las habilidades matemáticas. La gnosis de los dedos es la
habilidad para percibir y distinguir los dedos de nuestra propia mano sin una guía visual. Las típicas
pruebas para evaluar la gnosis de los dedos requieren ocultar la mano del participante de la vista
mientras que el examinador toca ligeramente uno o más dedos. Los participantes luego tienen que
identificar que dedo o dedos han sido tocados. Varios estudios han encontrado que una mejor
gnosis de los dedos está relacionada con altos niveles de competencia numérica.
Otra línea de investigación ha estudiado la influencia de los hábitos de la representación numérica
con los dedos en el procesamiento matemático, encontrando que estos influyen en el procesa-
miento numérico haciendo que se vean facilitados cuando la presentación del problema coincide
con los hábitos de conteo del participante. Además, estos hábitos de conteo (que incluyen con qué
mano empezar el conteo) proporcionan las bases para una representación espacial interna en la
cual, generalmente, las personas ubican los números pequeños en el lado de la mano con la cual
empiezan a contar, y los números grandes en el lado de la mano con la cual terminan el conteo.
También los estudios han encontrado que la magnitud numérica interfiere con la percepción de los
movimientos de agarre: la respuesta al agarre cerrado (preciso, abertura pequeña) se ve facilitado
por la proyección de números pequeños y la respuesta al agarre abierto (agarre de objetos grandes,
abertura grande) se ve facilitado por la proyección de números grandes. Lo opuesto también es
cierto: también los movimientos de agarre influyen en el procesamiento numérico, de tal forma
que los movimientos que imitan un agarre cerrado facilitan el procesamiento de los números pe-
queños, y los movimientos para agarrar cosas grandes, el procesamiento de los números grandes.
Incluso se ha observado estas interferencias de la magnitud numérica cuando las personas sim-
plemente observan o se imaginan un movimiento de los dedos para el conteo o el agarre, sin un
desempeño real. Además, los estudios realizados con imágenes cerebrales han encontrado que
el correlato neuronal de la representación de los dedos y la representación de los números están
localizados en área de la corteza cercanas o incluso, superpuestas, llegando a la conclusión de que
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los sistemas sensoriales y motores de los dedos son un componente intrínseco del procesamiento
numérico en el cerebro.
El objetivo de este libro es presentar las evidencias de que el sistema sensorial y motor de los
dedos han jugado (y juegan) un papel importante no solo en el proceso de asimilación de los
fundamentos del procesamiento numérico y el cálculo durante la niñez, sino que su influencia se
manifiesta incluso (de manera inconsciente), durante los procesos numéricos realizados por las
personas adultas educadas. De esta forma, este libro pone en entredicho la antigua y extendida
creencia de que la representación y el procesamiento numérico son los máximos exponentes de
la manipulación simbólica abstracta de la cognición humana, resaltando el hecho de que los pro-
cesos mentales no son una función exclusiva del cerebro, sino que es un proceso en el cual se ven
comprometidos diversas partes de nuestro cuerpo. Para este fin, se han revisado artículos que han
utilizado distintas metodologías, provenientes de distintas ramas del saber humano como neuro-
científicos del desarrollo, conductuales, educacional y estudios neurológicos trans-culturales. Las
preguntas que pretende responder este libro son los siguientes: ¿El conteo con los dedos es solo
una etapa transitoria y prescindible en el proceso la adquisición de la representación numérica
simbólica o por el contrario es una etapa necesaria? ¿Cuáles son los correlatos neuronales de la
relación dedos/número en el cerebro? ¿el conteo con los dedos influye en el procesamiento numé-
rico de los adultos? ¿Cómo pueden ser clasificados los sistemas de conteo con los dedos y como
los diferentes sistemas de conteo con los dedos influyen en la cognición numérica a través de las
culturas y poblaciones? ¿El conteo con los dedos debería ser alentado o desalentado en la educa-
ción matemática? ¿Cómo están enlazados los trastornos en la gnosis de los dedos y las habilidades
matemáticas?
En la primera parte de este libro se relata la historia del conteo con los dedos a través de las distin-
tas etapas de la historia, en distintas épocas y culturas. En la segunda parte, se muestra la relación
existente entre el reconocimiento de nuestros dedos (gnosis de los dedos) y el procesamiento
matemático. En la tercera parte se establece la existencia de un efecto de la magnitud numérica
en la abertura de agarre de la mano, y viceversa. La cuarta parte proporciona las pruebas de que
el conteo con los dedos influye en la aritmética desde la niñez hasta la adultez. Finalmente, en la
quinta parte, se señalan las relaciones anatómicas y funcionales de los correlatos neuronales del
procesamiento de los dedos y el procesamiento numérico en el cerebro.
