Table Of ContentELEMENTE DER MATHEMATIK
VOM HÖHEREN STANDPUNKT AUS
Band VII
Herausgegeben von E.Trost
EINFÜHRUNG IN DIE
TRANSFINITE ALGEBRA
von
ANDOR KERTESZ
Professor der Mathematik
an der Kossuth-Lajos-Universität Debrecen
Springer Basel AG
Gemeinschaftsausgabe des BirkhäuserVerlags, Basel und Stuttgart,
des VEBDeutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin,
und des Akaderniai Kiad6, Budapest
ISBN 978-3-7643-0735-6 ISBN 978-3-0348-7673-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7673-5
© SpringerBasel AG1975
UrsprünglicherschienenbeiAkaderniai Kiad6, Budapest 1975.
Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus einer sechzehnstiindigen Vorlesung
hervorgegangen, die ich im Jahre 1971 am Mathematischen Institut
der Universitat zu Jyvaskyla in Finnland gehalten habe.
Mit diesem Buch wende ich mich an Studenten der Mathematik,
die einegewisse Fertigkeit und Sicherheitin der Anwendung transfiniter
Methoden auf die Untersuchung unendlicher algebraischer Strukturen
erwerben mochten. Ich war bestrebt, aus zumeist klassischem Material
eine geeignete und abwechslungsreiche Auswahl zu treffen. Obwohl
diese Schrift yom Inhalt her dem Spezialisten kaum etwas Neues zu
bieten hat, diirfte siein methodischer Hinsicht an einigen Stellen mehr
oder weniger neue Gesichtspunkte enthalten.
Die Lektiire diesesBuches erfordert keine besonderen mathemati
schen Vorkenntnisse, doch setzt sie eine gewisseVertrautheit mit der
abstrakten Algebra und der Mengenlehre sowie vielleicht ein wenig
Routine im mathematischen Denken voraus, iiber die aber ein Student
in hoheren Semesternverfiigt. Die im Rahmen diesesBuchesnicht defi
nierten Begriffe kann der Leser in jedem ausfiihrlicheren Lehrbuch
der Algebra und der Mengenlehre, z. B. in dem von REDEl [1]1 und
HALMOS [1], finden. Das Literaturverzeichnis am Ende dieses Buches
solI bei einem vertiefteren Studium helfen.
Mein aufrichtiger Dank gilt denHerrenProf.Dr. G.FODORund Dr.
G. POLLAK, die das Manuskript dieses Buches sorgfaltig durchgelesen
und mir durch kritische Bemerkungen geholfenhaben. Mein besonderer
Dank gilt meinem Freund, Herrn Dr. CARL-GuNTER D'AMBLY, der
den Text des Manuskriptes kritisch gepriift und mich in Fragen des
deutschen Stils beraten hat.
Debrecen, 31. Januar 1974 ANDOR KERTESZ
1Die Nummern in eckigen Klammern verweisenauf dasLiteraturverzeichnis
am Ende diesesBuches.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 3
Standige Bezeichnungen 7
I. Einfiihrung . . 9
II. Vorbereitungen 12
III.Das Auswahlaxiom und seine Xquivalente 18
IV. Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . 24
1.Der Satz von KRULL . . . • . . . . . 24
2.Existenz einer Basis eines Vektorraumes 24
3.Die Cauchysche Funktionalgleichung . . 25
4.Uber die Existenz algebraischer Strukturen aufeiner
nichtleeren Menge 27
5.Anordnungsfahige abelsche Gruppen und Korper 33
6.Subdirekte Zerlegung von Ringen 37
V. Eine abstrakte Abhangigkeit . • . . . . . . . . . 42
VI. Anwendungendes Invarianzsatzes von unabhangigen Mengen 46
VII. Anwendungen fur Moduln 50
1.Allgemeines tiber Moduln . . 50
2.Vollstandig reduzible Moduln 53
3.Injektive Moduln ... . . 56
VIII. Das Jacobsonsche Radikal eines Ringes 61
IX. Literaturverzeichnis 70
X. Namen- und Sachregister 73
Stiindige Bezeichnungen
(J leere Menge
(x,y, .. .) Menge der Elemente x, y, ...
A".B Differenzmenge
&Jl Menge der natiirlichen Zahlen
8J Ring derganzenrationalen Zahlen
8Ifo Kerper der rationalen Zahlen
8If Primkorper der Charakteristik p
p
&l- Kerper der reellen Zahlen
EB, l;ffJ diskrete direkte Summe
l;ffJ komplette direkte Summe
I. Einfiihrung
Dber die Entwicklung der Mathematik in der Gegenwart schreibt
MICHAEL F. ATIYAH [I]:
»Die Entwicklung der Mathematik kann am besten als eine natiir
liche Reaktion auf die wachsende Schwierigkeit und Komplexitat
der Probleme verstanden werden, mit denen sie sich befassen muB.
Soweit diese Probleme, direkt oder indirekt, ihren Ursprung in den
Naturwissenschaften oder anderen Wissenschaften haben, spiegelt diese
Komplexitat an sich schon die zunehmende Kompliziertheit und
Differenziertheit der modernen Wissenschaften wider.«
Das 19. Jahrhundert war eine goldene Epoche der Naturwissen
schaftenund derMathematik.ObwohldamalsdasmenschlicheWissenim
Vergleichzu heute, wasseinen Umfang anlangt, erheblich geringer war,
hatte essich Ende des 19.Jahrhunderts doch schon so weitkompliziert,
daBdieWissenschaftlersich veranlalstsahen,radikal neue Methoden zu
ersinnen, um die wachsende Komplexitat der Probleme zu bewaltigen,
Wollte man in der Geschichte der Mathematik dort einen Meilen
stein setzen, wo die moderne Mathematik ihren Anfang nahm, so hatte
dies sicher an der Stelle zu geschehen, an der die Mengenlehre dem
genialen Geist GEORG CANTORS entsprang. CANTOR zahlt zu den Ge
lehrten, die ihr Zeitalter weit iiberfliigelt haben, durch ihre bahnbre
chenden Forschungen der Wissenschaft wesentliche Impulse verleihen,
deren revolutionare Ideen bei den Zeitgenossen jedoch auf wenig Ver
standnis stollen und kaum Beifallernten. SeinLebenswerk,die Mengen
lehre, ist erst Jahrzehnte nach ihrer Entstehung mathematisches Allge
meingut geworden. Mehr als fiinfzig Jahre nach CANTORS Tode sind
wir heute noch immer nicht imstande, richtig zu ermessen, was seine
ideenreiche mathematische Tatigkeit fiir die Entwicklung der Wissen
schaft und insbesondere der Mathematik bedeutet. Doch eines konnen
wir schon jetzt deutlich sehen und sagen: Das Verdienst des groBen
Hallenser Mathematikers besteht nicht nur darin, daf er durch die
Schaffung der Mengenlehre eine neue mathematische Disziplin ins
Leben rief, sondern vielmehr darin, daf er durch die Mengenlehre der
gesamten Mathematik eine ihrem Wesen nach vollig neue Anschauung
aufgepragt hat. Dies ist die mengentheoretische Betrachtungsweise, der
heute kein Mathematiker entraten kann. Sie hat die Entwicklung der
Mathematik unseres Jahrhunderts vollstandig bestimmt.
10 A. KERTESZ
Die Algebra, die sich in den letzten Jahrzehnten zu einer axioma
tisch aufgebauten, mengentheoretischen Wissenschaft entwickelt hat,
verdankt der Genialitat CANTORS und den mengentheoretischen Metho
den besonders viel.
Unter dem Druck der praktischen Anforderungen verwandelte
sich die klassische Algebra in eine ganz und gar neue Disziplin. Auf
verschiedenen Gebieten der Mathematik sowie bei ihren Anwendungen
in der Naturwissenschaft traten Phanomene auf, die an das Rechnen
mit Zahlen erinnerten, obwohl man es nicht mit Zahlen, sondern mit
Objekten ganz anderer Natur zu tun hatte. Es handelt sich also urn
Mengen, fur deren Elemente Operationen erklart sind, die herkomm
lichen Rechenoperationen ahneln. Daher liegt es sehr nahe, eine solche
mit Operationen versehene Menge, die man als algebraische Struktur
ansprechen kann, so zu untersuchen, daB man von der konkreten
Beschaffenheit der Elemente abstrahiert und nur diejenigen Eigenschaf
ten beriicksichtigt, die allen »gleichartigen« algebraischen Strukturen
gemeinsam sind. Hierbei ist die zunachst ziemlich vage, abstrakte Be
griffsbildung der algebraischen Struktur natiirlich noch unzureichend
und bedarfder mathematisch einwandfreien Fassung. Dazu muf genau
gesagt werden, welche algebraischen Strukturen als im algebraischen
Sinne iiquiualent gelten und welche Eigenschaften einer algebraischen
Struktur als algebraische Eigenschaften angesehen werden solien.
Wir verdanken ERNST STEINITZ die epochemachende Erkenntnis,
daBdas Wesen der Algebra durch das Isomorphieprinzip gekennzeichnet
werden kann. Wie STEINITZ in seiner im Jahre 1910im »Journal ftlr die
reine und angewandte Mathematik« erschienenen Arbeit [1] formuliert
hat, besteht die Aufgabe der Korpertheorie darin, »eine Ubersicht iiber
aile moglichen Korpertypen zu gewinnen und ihre Beziehungen unter
einander in ihren Grundziigen festzustellen«. Dabei ist der Begriff der
Isomorphie fundamental. Denn das von STEINITZ aufgestellte Programm
laBt sich auch so formulieren, daB die Aufgabe der Korpertheorie im
Studium derjenigen Eigenschaften von Korpern besteht, die bei Iso
morphismen invariant sind. Das Isomorphieprinzip ist jedoch nicht
auf die Korpertheorie beschrankt. Vielmehr hat diese neue Auffassung
die gesamte Algebra befruchtet und die Richtung der algebraischen
Untersuchungen bestimmt. In dem zweibandigenWerk Moderne Algebra
von VAN DER WAERDEN, das in den Jahren 1930 und 1931 erschien,
wurde diese revolutionierte Algebra zum ersten Male dargestellt. Ein
einfuhrendesKapitel iiber Mengenlehre sollte dem Leser helfen, sich die
neuartigen axiomatisch-mengentheoretischen Begriffsbildungen der
Algebra anzueignen. Seit dieser Zeit ist die Mengenlehre das tagliche
Brot der Algebraiker geworden. Auch diejenigen, die sich mit endlichen
algebraischen Strukturenbeschaftigen, konnen und mochtendie mengen
theoretische Betrachtungsweisenicht mehrentbehren. DieUntersuchung
unendlicherStrukturenerfordert dariiberhinaustieferliegendeMethoden
I. EINFUHRUNG 11
und Ergebnisse der Mengenlehre. Schon in der erwahnten Arbeit von
STEINITZ findet der sogenannte Wohlordnungssatz, einer der grund
legenden Satze der Mengenlehre, wichtige Anwendungen.
In jiingerer Zeit stellte sich heraus, daBin vielen Fallen, in denen
zum Beweis einer Behauptung iiber eine algebraische Struktur der
Wohlordnungssatz bzw. die Methode der transfiniten Induktion ver
wendet wird, diese durch das Kuratowski-Zornsche Lemma ersetzt
werden konnen. Obwohl das letztere eine zum Wohlordnungssatz
aquivalenteAussagedarstellt,erscheintdieAnwendung des Kuratowski
Zornschen LemmasvomStandpunkt desAlgebraikersaus zweckmafsiger
und asthetisch befriedigender. Wahrend namlich zur Durchfiihrung der
transfinitenInduktiondieimallgemeinennichtwohlgeordnetvorliegende
algebraische Struktur zum Zwecke des Beweises (und lediglich hierfiir)
mit einer Wohlordnungsrelation ausgestattet werdenmuB,braucht man
der Struktur bei Verwendung des Kuratowski-Zornschen Lemmas als
Beweisinstrument keine zusatzliche Relation als »kiinstlicheZutat: auf
zupragen. Dadurch wird der Beweis in der Regel einfacher und uber
sichtlicher.
Im Mittelpunkt dieses Buches steht das Kuratowski-Zornsche
Lemma. Es wird gezeigt, daB viele klassische und neuere Ergebnisse
iiber unendliche algebraische Strukturen einen Beweis mit dem Kura
towski-Zornschen Lemma statt der transfiniten Induktion erlauben,
so daBdie Methode der transfiniten Induktion weitgehend aus der Al
gebra eliminiert werden kann.
II. Vorbereitungen
In diesem Kapitel, das vorbereitenden Charakter besitzt, wer
den wir die fiir das Folgende notwendigen Begriffe, Bezeichnungen und
Tatsachen der Mengenlehre bereitstellen.
Urn die Formulierungen kiirzer und iibersichtlicher gestalten zu
konnen, werden wir die folgenden Bezeichnungen benutzen:
Sind A und B zwei Behauptungen, dann bedeuten
A = B: »aus A folgt B«;
A<=> B: »A gilt dann und nur dann, wenn B gilt«.
Das Zeichen ~ driickt eine Gleichheit aus, die das auf der Iinken
Seite des Zeichens stehende Objekt definiert.
Das Zeichen ~ dient fur Definitionen. A ~ B bedeutet:
»Agilt nach Definition dann und nur dann, wenn B gilt«.
1stA(x) eine Aussage iiber das Element x einer Menge M, so wollen
wir die Tatsache, daB die Aussage A(x) fur jedes Element x EM richtig
ist, durch
A(x) Vx EM
ausdriicken.
Wir setzen den Begriff der Mengesowie elementare Kenntnisse der
Mengenlehre als bekannt voraus. Naheres iiber die Grundlagen der
Mengenlehre findet man in den Lehrbiichern der Mengentheorie;
siehe z. B. HALMOS [IJ.
1st a ein Element der Menge M, so schreiben wir
aEM.
Das Zeichen a ~ M bedeutet, daB a kein Element der Menge Mist.
Die leere Menge, d.h. die Menge, die kein Element enthalt, werden wir
mit £$ bezeichnen, Mit (x, y,...) bezeichnen wir die aus den Elementen
x, y, ... bestehende Menge. Die Menge, die nur das einzige Element x
enthalt, wird meistens statt mit (x) einfach durch x bezeichnet. Es sei
A eine Aussage iiber gewisse Elemente x. Mit
(x IA)
bezeichnen wir die Menge aller Elemente x, fur die die Aussage A zu
trifft.
