Einführung in die Systemtheorie: Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik

570 Pages·2003·14.72 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Bernd Girod

Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger
Einführung in die Systemtheorie
Signale und Systeme in der Elektrotechnik
und Informationstechnik
Bernd Girod, Rudolf Rabenstein,
Alexander Stenger
Einführung in
die Systemtheorie
Signale und Systeme
in der Elektrotechnik
und Informationstechnik
2., korrigierte und aktualisierte Auflage
Mit 388 Abbildungen und 113 Beispielen sowie
200 Übungsaufgaben mit Lösungen
Im
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr.-Ing. Bernd Girod ist Professor an der Stanford University.
Dr.-Ing. habil. Rudolf Rabenstein ist Privatdozent und lehrt an der Universität Erlangen-Nürnberg.
Dr.-Ing. Alexander Stenger arbeitet als Projektingenieur und Algorithmenentwickler bei Philips
Semiconductors.
1. Aufl. 1997
2. korrigierte und aktualisierte Auflage Juli 2003
Alle Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003
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gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne
der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von
jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-519-16194-3 ISBN 978-3-322-99346-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-99346-5
Vorwort zur 2. Auflage
Die erste Auflage der "Einführung in die Systemtheorie" entstand mit der Ab
sicht, einen möglichst einfachen Zugang zu diesem grundlegenden Gebiet der Elektro
und Informationstechnik zu bieten, ohne jedoch auf das Verständnis der tiefgehenden
Konzepte zu verzichten. Seitdem hat sich dieses Lehrbuch als Grundlage etlicher Vor
lesungen an verschiedenen Hochschulen etabliert. Auch eine englische Ausgabe liegt
inzwischen vor. Aus Gesprächen mit vielen Studenten und Dozenten und mit unserem
Verlag haben wir Zuspruch erhalten, dieses Buch weiter anzubieten.
Für die jetzt notwendig gewordene Neuauflage haben wir den bewährten Aufbau
beibehalten und nur an wenigen Stellen Ergänzungen und Erläuterungen eingefügt. So
wurde das Konzept der Dualität ausführlicher dargestellt, die Linearität von Systemen
mit Anfangszuständen behandelt und ein Abschnitt über Regelkreise aufgenommen.
Für den weiteren Gebrauch des Buchs am wichtigsten dürfte jedoch die Neufassung
einiger Grafiken, die Präzisierung vieler Formulierungen und die Korrektur zahlreicher
Druckfehler sein.
Hier ist vor allem den zahlreichen Einsendern von Emails mit Korrekturvorschlägen
zu danken. Wir haben die weit über hundert Anmerkungen aufmerksam gelesen und
in diese Neufassung des Textes eingearbeitet. Gerade die besonders lästigen Fehler in
den Lösungen der Aufgaben am Ende des Buchs sollten nun weitestgehend korrigiert
sein.
Die Sichtung und Zusammenstellung der Korrekturen haben Hubert Rubenbauer
und Marion Schabert übernommen. Von Marion Schabert stammen darüber hinaus
viele wertvolle Anregungen für die Gestaltung als vorlesungsbegleitender Text. Viktor
Wesselak und Christoph Wurmthaler haben die Hinweise zur Regelungstechnik aus der
Sicht ihres Fachgebiets begutachtet und korrigiert. Ihnen allen danken wir herzlich,
ebenso wie dem Teubner Verlag für die professionelle Begleitung auch dieser zweiten
Auflage.
Wir freuen uns auch weiterhin über Anmerkung und Korrekturen, Lob und Kritik
von unseren Lesern. Wenn kein persönliches Gespräch möglich ist, bietet die Email
Adresse stbucMlLNT. de den schnellsten Kontakt zu uns.
Erlangen, Mai 2003
Bernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger
Stanford University Universtität Erlangen-Nürnberg Philips Semiconductors
Vorwort zur 1. Auflage
Die Analyse und der Entwurf von Systemen mit Hilfe geeigneter mathematischer Werk
zeuge ist für den Elektroingenieur außerordentlich wichtig. Entsprechend ist die Sy
sterntheorie ein Kerngebiet der modernen Elektrotechnik, auf dem eine große Zahl von
Teildisziplinen aufbaut und deren sichere Beherrschung für den erfolgreichen Zugang
zu Spezialgebieten Voraussetzung ist.
Eine Einführung in die Systemtheorie beginnt sinnvoll mit der einfachsten Ab
straktion, den linearen, zeitinvarianten Systemen. Anwendungen dieser Systeme sind
allgegenwärtig, und ihre Theorie besitzt heute eine große Reife und Eleganz. Bei Studie
renden, die sich zum ersten Mal mit der Theorie linearer, zeitinvarianter Systeme aus
einandersetzen, gilt das Fach leider oft als schwierig, und ist, wenn sich der erwünschte
und verdiente Lernerfolg nicht einstellen will, vielleicht sogar richtiggehend unbeliebt.
Das mag mit der Abstraktheit des Stoffes zusammenhängen und mit seiner deduktiven
und unanschaulichen Präsentation in manchen Vorlesungen. Da sich ein Mißerfolg in
den Grundlagen der Systemtheorie aber für viele Vertiefungsfächer verheerend auswir
ken würde, darf er keinesfalls hingenommen werden.
Wir haben das vorliegende Buch als eine leicht zugängliche Einführung für Studie
rende der Elektrotechnik geschrieben. Die Inhalte, die präsentiert werden, sind nicht
neu. Sie wurden schon oft in anderen Bücher aufgeschrieben. Neu ist die Art der Präsen
tation des Stoffes. Unsere Absicht ist es, die abstrakten Konzepte und Zusammenhänge
der Systemtheorie durch kleine anschauliche Schritte der Erklärung so einfach darzu
stellen, daß das Lernen leicht fällt und Spaß macht. Ob uns das gelungen ist, können
natürlich nur Sie, liebe Leserin und lieber Leser, entscheiden.
Für den einfachen Zugang wählen wir in der Regel die induktive Darstellung, gehen
also vorn Beispiel aus und verallgemeinern anschließend. Weitere Beispiele illustrieren
dann zusätzliche Aspekte einer Idee. Wo wir durch ein Bild oder eine Graphik den Text
unterstützen können, haben wir sie gezeichnet. Darüber hinaus werden die Aussagen
der Systemtheorie im fortlaufenden Text immer wieder in den Gesamtzusammenhang
eingeordnet. Entsprechend hat die Diskussion der Bedeutung einer mathematischen
Formel oder eines Satzes in diesem Buch Vorrang vor ihrem Beweis. Auf eine Herleitung
einer Gleichung darf verzichtet werden, auf die Besprechung ihrer Anwendungen und
Folgen aber nie! Die zahlreichen Aufgaben am Ende jedes Kapitels (mit ausführlichen
Lösungen im Anhang) erlauben es, das Wissen zu festigen.
Auch wenn wir dieses Buch vor allem für das Studium geschrieben haben, sollte
es dennoch auch in der Berufspraxis nützlich sein. Der Elektroingenieur, der in kurzer
Zeit noch einmal über ein Thema nachlesen möchte, wird aus der leichten Lesbarkeit
des Textes, der anwendungsorientierten Darstellung und den vielen Beispielen Nutzen
ziehen.
Dieses Buch entstand aus einer Vorlesung Systemtheorie mit dazugehörigen Übun
gen an der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-N ürnberg. Sie wird für Studie
rende der Elektrotechnik direkt nach dem Vor diplom im 5. Semester als verpflichtende
Vorwort VII
Veranstaltung angeboten. Der Stoff dieses Buches wird dabei in etwa 50 Vorlesungs
und 25 Übungsstunden vollständig durchgearbeitet. Die Grundzüge der Ingenieurma
thematik (Differential- und Integralrechnung, lineare Algebra) und Grundkenntnisse
elektrischer Netzwerke werden dabei vorausgesetzt. Wenn diese Kenntnisse schon früh
genug erlernt werden, ist der Stoff auch für eine Präsentation im 3. oder 4. Semester ge
eignet. Kenntnisse der komplexen Funktionentheorie und der Wahrscheinlichkeitslehre
werden häufig ebenfalls in einem ingenieurwissenschaftlichen Grundstudium erworben,
sie sind hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt. Das Buch ist auch zum Selbststu
dium geeignet. Bei ganztägiger, konzentrierter Arbeit sind zur Erarbeitung des Stoffes
etwa 4 - 6 Wochen zu veranschlagen.
Die Präsentation beginnt mit den kontinuierlichen Signalen und Systemen. Anders
als in manchen anderen Büchern, in denen erst ausführlich Beschreibungsformen für
Signale eingeführt werden und viel später Systeme, behandeln wir Signale und Syste
me parallel. Die Zweckmäßigkeit der Beschreibung von Signalen durch ihre Laplace
oder Fourier-Transformierten ergibt sich nämlich erst aus den Eigenschaften von li
nearen, zeitinvarianten Systemen. In der Präsentation betonen wir das anschauliche
Konzept von Eigenfunktionen, die von Systemen in ihrer Form nicht verändert werden.
Zur korrekten Berücksichtigung von Anfangsbedingungen verwenden wir die Zustands
raumsbeschreibung, aus der elegant die Überlagerung eines externen und eines internen
Anteils der Systemantwort folgt. Nach der Behandlung der Abtastung werden zeitdis
krete Signale und Systeme eingeführt und die für den kontinuierlichen Fall bekannten
Konzepte erweitert. Im weiteren Verlauf werden dann diskrete und kontinuierliche Si
gnale und Systeme gemeinsam behandelt. Den Abschluß bildet die heute so wichtige
Behandlung von Zufallssignalen.
Um den mühseligen und nur selten perfekten Schritt der Korrektur von Druckfah
nen zu umgehen, haben wir das Layout an der Universität selbst übernommen. Alle
Formeln und der größte Teil der Bilder wurden dazu mit LaTeX gesetzt und zunächst
auf Overhead-Folien übernommen, die zwei Jahre lang in der Systemtheorie-Vorlesung
verwendet wurden. Den etwa 200 Hörern der Vorlesung, die sich mit aufmerksamer und
scharfsinniger Kritik am "Debuggen" der Präsentation und der gesetzten Gleichungen
beteiligt haben, gilt unser herzlicher Dank. Zusätzlich hat ein Jahrgang die erste Ver
sion des Manuskriptes gelesen und vielfältige Verbesserungsvorschläge gemacht. Als
studentische Hilfskräfte haben Lutz und Alexander Lampe, Stephan Gödde, Marion
Schabert und Stefan von der Mark mit großem Engagement am Satz und der Kor
rektur des Buches und an den Lösungen zu den Übungsaufgaben mitgewirkt. Herzlich
sei Frau Bärtsch gedankt, die große Teile des Textes getippt und korrigiert hat, sowie
Frau Koschny, der wir viele Zeichnungen verdanken. Als aufmerksamen und ausdau
ernden Korrekturlesern gilt den Herren Peter Eisert, Achim Hummel, Wolfgang Sörgel,
Gerhard Runze und Dr.-Ing. Reinhard Bernstein unser besonderer Dank. Für Diskus
sionen über knifflige mathematische Fragen standen Herr Priv. Doz. Dr. Pete r Stef
fen und Herr Dr.-Ing. Ulrich Forster immer gerne zur Verfügung, Ihnen sei ebenfalls
herzlich gedankt. Schließlich danken wir dem Teubner Verlag für die unkomplizierte
Zusammenarbeit und die Unterstützung dieses Projekts.
Wenn eine zweite Auflage dieses Buches erscheint, wollen wir noch weiteren Per
sonen danken können. Deshalb möchten wir eine herzliche Bitte an Sie, liebe Leserin
VIII Vorwort
oder lieber Leser, richten. Teilen Sie uns bitte Ihre Anmerkungen und Anregungen
mit. Am einfachsten geht das per Email [email protected].
Auch wenn Sie irgendwo einen Fehler entdecken, sei er auch noch so klein, behalten Sie
ihn bitte nicht für sich. Wir versprechen Ihnen, daß wir alle ernsthaften Kommentare
beherzigen werden.
Erlangen, August 1997
Bernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Signale............ 1
1.2 Systeme........... 5
1.2.1 Was ist ein System? 5
1.2.2 Der Anspruch der Systemtheorie 7
1.2.3 Lineare, zeitinvariante Systeme . 7
1.2.3.1 Linearität eines Systems 7
1.2.3.2 Zeitinvarianz eines Systems 9
1.2.3.3 LTI-Systeme..... 10
1.2.4 Beispiele für Systeme ..... 10
1.2.4.1 Elektrische Netzwerke 10
1.2.4.2 Weitere Beispiele für Systeme 11
1.2.5 Einteilung von Systemen 12
1.3 Übersicht über dieses Buch 13
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 14
2 Beschreibung kontinuierlicher LTI-Systeme im Zeit bereich 17
2.1 Differentialgleichungen...................... 17
2.1.1 Systemanalyse ...................... 17
2.1.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. 18
2.2 Blockdiagramme . . 19
2.2.1 Direktform I . 20
2.2.2 Direktform II . 20
2.2.3 Direktform III 24
2.2.4 Warum realisiert man LTI-Systeme nicht mit Differenzierern? 26
2.2.5 Elektrische Realisierung eines Integrierers mit einem Operations-
verstärker ................ 27
2.3 Zustandsraumbeschreibung von LTI-Systemen. . . . . . 29
2.3.1 Beispiel zur Zustandsraumbeschreibung . . . . . 29
2.3.2 Allgemeine Form der Zustandsraumbeschreibung 30
2.4 Differentialgleichung, Blockdiagramm und Zustandsraumbeschreibung 31
2.5 Äquivalente Zustandsraumdarstellungen 33
2.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
x Inhaltsverzeichnis
2.7 Zusammenfassung 37
2.8 Aufgaben . . . . . 40
3 Beschreibung von LTI-Systemen im Frequenzbereich 43
3.1 Komplexe Frequenzen . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Was ist eine komplexe Frequenz? . . 44
3.1.2 Komplexe Frequenz: Beispielsignale 44
3.1.3 Die komplexe Frequenz-Ebene. 45
3.2 Eigenfunktionen ............ 46
3.2.1 Was sind Eigenfunktionen? . . 46
3.2.2 Eigenfunktionen von LTI-Systemen . 48
3.2.3 Beispiel: RLC-Netzwerk 49
3.2.4 Impedanz. 51
3.2.5 Normierung 52
3.3 Aufgaben . . . . . 56
4 Laplace-Transformation 58
4.1 Verallgemeinerung des Eigenfunktionsansatzes . 58
4.2 Definition der Laplace-Transformation . . . . . 58
4.3 Einseitige und zweiseitige Laplace-Transformation 60
4.4 Beispiele zur Laplace-Transformation . . . . . . 61
4.5 Konvergenzbereich der Laplace-Transformation 64
4.5.1 Uneigentliche Integrale. . . . . . . . . 65
4.5.2 Singularitäten............... 65
4.5.3 Eigenschaften des Konvergenzbereichs . 67
4.6 Existenz und Eindeutigkeit der Laplace-Transformierten 68
4.6.1 Existenz der Laplace-Transformierten .. . . . . 68
4.6.2 Eindeutigkeit der inversen Laplace-Transformation 70
4.7 Eigenschaften und Sätze der Laplace-Transformation . . . 72
4.7.1 Linearität der Laplace-Transformation . . . . . . . 72
4.7.2 Verschiebung im Zeitbereich oder Frequenzbereich 73
4.7.3 Skalierung der Zeitachse oder der Frequenzebene 73
4.7.4 Differentiation und Integration im Zeit bereich . . 74
4.7.5 Differentiationssatz und Integrationssatz für die
einseitige Laplace-Transformation. . . . . . . . . 74
4.7.6 Differentiationssatz für stückweise glatte Signale 76
4.7.7 Differentiation im Frequenzbereich . . . . . . . . 79
4.7.8 Tabelle der wichtigsten Laplace-Transformierten 79
4.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Komplexe Funktionentheorie und inverse Laplace-Transformation 82
5.1 Wegintegral in der komplexen Ebene 82
5.2 Hauptsatz der Funktionentheorie 83
5.3 Ringintegrale um Singularitäten . 84
5.4 Integralformel von Cauchy . . . . 86
Inhaltsverzeichnis XI
5.4.1 Residuenberechnung . . . . . . . . . . . . 87
5.4.2 Integration parallel zur imaginären Achse 88
5.4.3 Bedeutung der Integralformel von Cauchy 90
5.5 Inverse Laplace-Transformation . . . . . . . . . . 90
5.5.1 Inverse einseitige Laplace-Transformation 90
5.5.2 Inverse zweiseitige Laplace-Transformation 91
5.5.3 Integrationsweg für die inverse Laplace-Transformation 92
5.5.4 Berechnung der inversen Laplace-Transformation mit dem Resi-
duensatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5.5 Praktische Berechnung der inversen Laplace-Transformation. 96
5.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Analyse zeitkontinuierlicher LTI-Systeme mit der Laplace-Transfor-
mation 100
6.1 Systemreaktion auf zweiseitige Eingangssignale 100
6.2 Berechung der Systemfunktion ......... 102
6.3 Pole und Nullstellen der Systemfunktion . . . . 105
6.4 Berechnung der Systemfunktion aus Differentialgleichungen 107
6.5 Zusammenfassendes Beispiel. . . . . . . . 108
6.6 Kombination von einfachen LTI-Systemen 110
6.6.1 Reihenschaltung 110
6.6.2 Parallelschaltung.......... 111
6.6.3 Rückkopplung ........... 111
6.7 Kombination von LTI-Systemen mit mehreren Ein- und Ausgängen . 113
6.7.1 Reihenschaltung 114
6.7.2 Parallelschaltung.......... 114
6.7.3 Rückkopplung ........... 115
6.8 Analyse von Zustandsraumbeschreibungen 116
6.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Lösung von Anfangswertproblemen mit der Laplace-Transformationl20
7.1 Systeme erster Ordnung .. 120
7.1.1 Klassische Lösung von Anfangswertproblemen . 121
7.1.2 Externer und interner Anteil der Lösung . 122
7.1.3 Anfangswert und Anfangszustand . 124
7.1.4 Beispiel: Anfangswertproblem mit harmonischer Erregung 127
7.1.5 Zusammenfassung 130
7.2 Systeme zweiter Ordnung .. 130
7.3 Systeme höherer Ordnung .. 132
7.3.1 Lösung der Zustandsraumdifferentialgleichung . 132
7.3.2 Berechnung des Anfangszustands aus den Anfangswerten 137
7.3.3 Berechnung des internen Anteils im Zeitbereich . 139
7.4 Bewertung der Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen 142
7.5 Linearität von Systemen mit Anfangszustand 144
7.6 Aufgaben 145