Table Of ContentUlf Friedrichsdorf
Einftihrung in die klassische
nnd intensionale Logik
____ Aus dem Programm __________- -.....
Mathematik / Logik
Mengenlehre fUr den Mathematiker
von Vlf Friedrichsdorf und Alexander Prestel
EinfUhrung in die mathematische Logik nnd Modelltheorie
von Alexander Prestel
Berechenbarkeit, Komplexitiit, Logik.
Aigorithmen, Sprachen nnd Kalkiile nnter besonderer
Beriicksichtigung ihrer Komplexitiit
von Egan Borger
Grundlagen des maschinellen Beweisens.
Eine EinfUhrung fUr Informatiker nnd Mathematiker
von Dieter Hofbauer und Ralf-Detlef Kutsche
Formalisieren nnd Beweisen. Logik fUr Informatiker
von Dirk Siefkes
Logische Grundlagen der Knnstlichen Intelligenz
von Michael R. Genesereth und Nils J. Nilsson
__ Vieweg __________________________________ _
~
Ulf Friedrichsdorf
Einfuhmng
in die klassische
nnd intensionale
Logik
I I
Vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Friedrichsdorf Ulf:
Einftihrung in die k1assische und intensionale Logik I
Ulf Friedrichsdorf. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1992
Dr. Ulf Friedrichsdorf
Universitat Konstanz
Fakultat fUr Mathematik
Postfach 55 60
7750 Konstanz
AIle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig I Wiesbaden, 1992
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Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr
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rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf saurefreiem Papier
ISBN-13: 978-3-528-06489-1 e-ISBN-13: 978-3-322-84990-8
001: 10.1007/978-3-322-84990-8
Vorwort
Neben der klassischen Pradikatenlogik haben in der theoretischen Lingu
istik und Informatik auch intensionale Systeme in Form von Modal-, Zeit
und Berechnungslogiken Beachtung gefunden. Selbst in der formalen
Arithmetik sind diese Systeme von Nutzen, wie zum Beispiel der Solovay
sche Vollstandigskeitssatz zeigt.
Intensionale Logiken, so wie sie hier verstanden werden, halten an der
klassischen zweiwertigen Logik fest, erweitern aber deren Ausdrucks
fahigkeit durch EinfUhrung von Modal-, Zeit- und Zustandsoperatoren.
Auf Seiten der Semantik wird der (auf A. Tarski zurUckgehende) Modell
begriff der gewohnlichen Pradikatenlogik durch EinfUhrung weiterer Para
meter der neuen Situation angepaBt. Diese Entwicklung ist wesentlich
durch S. Kripkes Untersuchungen zur Semantik modaler Systeme [38],
[39] und [40] beeinfluBt worden.
Das vorliegende Buch, als EinfUhrung in die mathematische Logik konzi
piert, versucht neben den klassischen Systemen auch intensionale gebUh
rend zu berUcksichtigen. Der Text ist letztlich aus Vorlesungen hervor
gegangen, die der Verfasser regelmaBig fUr Studierende der theoreti
schen Linguistik an der Universitat Konstanz hielt. Dabei ist in manchen
Teilen der Umfang der jetzigen Darstellung weit Uber den Stoff dieser
Vorlesung hinausgewachsen. Der einfUhrende Charakter des Textes bringt
es mit sich, daB wenig Originelles darin zu finden ist. Hinsichtlich der
Darstellung konnten eine Reihe ausgezeichneter BUcher und Artikel zu
Rate gezogen werden. Besonders erwahnt seien [8], [26], [36], [53],
[54] und [57]. - Der Text gliedert sich grob wie folgt:
1m ersten Paragraphen wird die zugrunde gelegte mengentheoretische
Notation erklart und einige Ubliche Konventionen getroffen. 1m folgenden
Paragraphen wird die formale Sprache der Aussagenlogik eingefUhrt und
diese dann mittels genau umschriebener semantischer Funktionen gedeu
tet. Hier und auch im weiteren wird eine strikte Trennung der (mathe
matischen) Umgangssprache, auch Metasprache genannt, von der zu
untersuchenden formalen Sprache, auch Objektsprache genannt, vorge
nommen. Die Untersuchungen zur Aussagenlogik dienen als Beispiel fUr
die Behandlung komplizierterer Systeme. Der dritte Paragraph ist der
modalen Aussagenlogik gewidmet. 1m vierten werden dann einige Varian
ten hierzu diskutiert. Insbesondere wird die dynamische Aussagenlogik
betrachtet und ein Vollstandigkeitssatz bewiesen. 1m fUnften Paragraphen
werden die Grundlagen der gewohnlichen (erststufigen) Pradikatenlogik
VI
prasentiert, die im sechsten und siebenten Paragraphen durch die Satze
von Herbrand und Godel vertieft werden. Paragraph 8 beginnt mit einer
Skizze der Godelschen Unvollstandigkeitssatze, deren modallogische
Aspekte dann naher beleuchtet werden. Dieser Paragraph schlieBt mit
Betrachtungen zum Solovayschen Volistandigkeitssatz. 1m nachsten Para
graphen werden die Anfange der Modelltheorie entwickelt und schlieBlich
an einem Beispiel gezeigt, wie diese Maschinerie zum Nachweis modal
logischer Fakten eingesetzt werden kann. 1m zehnten Paragraphen werden
einige modale pradikatenlogische Systeme behandelt, worauf der elfte
ausschlieBlich ein spezielles System der dynamischen Pradikatenlogik
studiert. SchlieBlich werden in den Paragraphen 12 und 13 hoherstufige
Logiken behandelt.
Generell ist zu bemerken, daB in dieser EinfUhrung Grundlagenprobleme
nicht diskutiert werden. Regelsysteme samt zugehoriger Semantik werden
mit den Ublichen mathematischen Methoden untersucht. Das bedeutet
genauer, daB wir in der Metatheorie eine Version der Zermelo-Fraenkel
schen Mengenlehre mit Auswahlaxiom zugrunde legen. Andere wichtige
Bereiche der Logik (wie zum Beispiel die Beweistheorie) werden ebenfalls
nicht behandelt. Historische Anmerkungen sind nur gelegentlich zu finden.
Die groben Abhangigkeitsverhaltnisse der einzelnen Paragraphen unterein
ander kann man dem Leitfaden entnehmen.
Zur Notation ist noch zu sagen, daB wir ein Beweisende gewohnlich
durch ein "0" markieren. Weiter bedeutet "X:= B", daB X nach Definition
mit Y identisch ist. Entsprechend sagt "A:~B", daB A und B nach Defi
nition immer genau denselben Wahrheitswert haben. Aile weiteren Notati
onen werden im Text erklart.
Ich danke den Herren C. v.BUlow, Dr. K. Engesser, J. Koenigsmann und
insbesondere Herrn Dr. B. Heinemann, die Teile des Textes durchgesehen
und mich auf viele kleinere Fehler und Ungenauigkeiten aufmerksam ge
macht haben.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VI
§1 Mengen, Relationen und Funktionen
§2 Aussagenlogik 19
§3 Modale Aussagenlogik 45
§4 Varianten der modalen Aussagenlogik 89
§5 Grundbegriffe der Pradikatenlogik 109
§6 Normalformen und der Satz von Herbrand 143
§7 Der Godelsche Vollstandigkeitssatz 154
§8 Modallogische Aspekte der Godelschen Unvollstandigkeitssatze 171
§9 Einige modelltheoretische 8egriffe und Satze 209
§10 Modale Pradikatenlogik 259
§11 Dynamische Pradikatenlogik 273
§12 Hoherstufige Pradikatenlogik 293
§13 Typentheorie 309
Mengentheoretis cher Anhang 333
literatur 343
Symbole und Notationen 347
Register 349
Leitfaden
5---..
I
6
7 7
\8
11 9
12
I
13
§ 1 Mengen, Relationen und Funktionen
Zunachst wollen wir einige fUr das weitere verbindliche sprachliche Nor
mierungen treffen. Danach werden dann wichtige mathematische Grundbe
griffe erlautert.
Die Definitionen und Erlauterungen werden in unserer Umgangssprache (in
diesem Faile also deutschl abgefaBt. Da aber die Umgangssprache in
mancherlei Hinsicht nicht ganz prazise ist und vieles einer impliziten
Ubereinkunft der Sprachgruppe bzw. Sprachgemeinschaft UberlaBt, sehen
wir uns gezwungen, einige Dinge explizit zu vereinbaren, um MiBver
standnisse auszuschlieBen.
Eine solche Prazisierung ist nicht nur fUr die wissenschaftliche Be
schreibung von Sachverhalten und Beobachtungen notig, sondern sie wird
unerlaBlich, wenn aus den beschreibenden Aussagen Foigerungen gezogen
werden. - Wenn man z.B. festgestellt hat, daB jedes Objekt einer gewis
sen Theorie die Eigenschaft D oder die Eigenschaft E hat, so laBt sich
aus der Aussage, daB ein bestimmtes Objekt die Eigenschaft D nicht hat,
schlieBen, daB dieses Objekt die Eigenschaft E haben muB. Aber aus der
Aussage, daB ein Objekt x die Eigenschaft D hat, laBt sich nur dann
schlieBen, daB x die Eigenschaft E nicht hat, wenn man das "oder" im
Sinne von "entweder ... oder ... " auffaBt. - Schon dieses Beispiel zeigt,
daB wir Abmachungen fUr den Gebrauch von Junktoren wie "oder", "und",
"wenn ... , so ... " benotigen.
1m folgenden nehmen wir an, daB den Satzen, die wir betrachten, durch
gewisse "Umstandsbestimmungen" oder - wie wir auch sagen - durch
"Bestimmung der Satzparameter" ein eindeutig bestimmter Wahrheitswert
"wahr" beziehungsweise "falsch" zukommt.
Beispielsweise hat ein Satz wie "Friedrich schlaft" nur dann einen
Wahrheitswert, wenn klar ist, auf welche "Situation" er Bezug nimmt,
d.h. es muB mindestens klar sein, auf welches Individuum der Name
"Friedrich" und auf welche Eigenschaft von Individuen das Wort "schlaft"
jeweils referieren. Weiter ist auch die Zeit zu berUcksichtigen. Erst
wenn diese Parameter festgelegt sind, kann Uberhaupt von einem Wahr
heitswert des Satzes die Rede sein.
FUr das folgende ist die Vorstellung hilfreich, daB die Information eines
Satzes darin besteht, im Bereich der Situationen, in denen aile Satz
parameter festgelegt sind, eine Teilung vorzunehmen - namlich in die
Situationen, in denen der Satz wahr ist, und die Situationen, in denen
2 §1 Mengen, Relationen und Funktionen
der Satz falsch ist. "Information tragen" heiBt also in dieser einfachen
Vorstellung "unter Situationen zu differenzieren".
Es sind zwei extreme Faile der Differenzierung durch Satze denkbar:
1m ersten Fall ist ein Satz in allen Situationen, in denen er erklart ist,
wahr. Ein solcher Satz heiBt tautologisch.
1m zweiten Fall ist er in keiner Situation, in der er erklart ist. wahr,
d.h. in allen diesen Situationen falsch. In diesem Faile heiBt der Satz
kontradiktoris ch.
Ein Satz. der nicht zu diesen beiden extremen Typen gehort, der also in
gewissen Situationen wahr und in anderen falsch ist. wird als kontingent
bezeichnet.
1m folgenden stellen wir uns also vor, daB gewisse Satzparameter und
damit der Bereich der Situationen, in denen die Parameter eine Deutung
haben. vorgegeben sind. Jeder Satz, der hochstens von den vorgegebenen
Parametern abhangt. hat somit in jeder dieser Situationen einen eindeutig
bestimmten Wahrheitswert. FUr diese wahrheitsdefiniten Satze fUhren wir
den Begriff "Aussage" ein. Ob ein Satz eine Aussage ist, hangt also von
der jeweils ins Auge gefaBten Parametermenge abo
Satze verbinden sich mittels Junktoren wie "Es ist nicht der Fall. daB ......
" ... und ... ". " ... oder ... ". "wenn .... so ... ". " ... genau dann. wenn ... " zu neuen
Satzen.
Man erhalt z.B. aus "2 teilt 6" und "4 ist groBer als 2" die Satze:
2 teilt 6 oder 4 ist groBer als zwei.
Wenn 2 6 teilt und 4 groBer als 2 ist, so ist es nicht der Fall. daB
4 groBer als 2 ist.
2 teilt 6 genau dann, wenn 4 groBer als zwei ist.
Wir nehmen im folgenden an, daB jeder Satz. der mit Hilfe der oben ge
nannten Junktoren aus Aussagen entsteht. selbst wieder eine Aussage
ist. Das heiBt. daB jede Parameterbestimmung. die gegebenen Aussagen
Wahrheitswerte zuweist. auch den mittels Junktoren daraus zusammenge
setzten Satzen jeweils einen Wahrheitswert gibt. FUr die Wahrheitswerte
so zusammengesetzter Aussagen sind folgende Festsetzungen Ublich:
Die Negation einer Aussage A, d.h. der Satz "Es ist nicht der Fall. daB
A", den wir auch kUrzer mit "Nicht A" bezeichnen, sehen wir als wahr
an, wenn die Aussage A falsch ist. und als falsch, wenn die Aussage A
3
§1 Mengen, Relationen und Funktionen
wahr ist. Schreibt man kurz "W" fUr "wahr" und "F" fUr "falsch", so
laBt sich dies in Form einer Tabelle notieren:
A Nicht A
W F
F W
FUr die Konjunktion "A und B" zweier Aussagen A, B setzen wir:
A B A und B
W W W
W F F
F W F
F F F
Die Konjunktion "A und B" wird also genau dann wahr, wenn beide Kon
junktionsglieder wahr sind; unter den anderen drei moglichen Wahrheits
wertkombinationen erhalt sie den Wert falsch.
Die Disjunktion (oder auch A djunktion) "A oder B" zweier Aussagen A, B
verwenden wir im Sinne des lateinischen "vel", d.h.:
A B A oder B
W W W
W F W
F W W
F F F
Eine Disjunktion wird genau dann falsch, wenn beide Komponentenaus
sagen falsch sind. In allen anderen Fallen wird sie als wahr angesehen.
Die /mplikation "Wenn A, so B" verwenden wir ausschlieBlich im Sinne
von "(Nicht A) oder B·':
A B Wenn A, so B
W W W
W F F
F W W
F F W
Eine Implikation wird also nur dann als falsch angesehen, wenn das vor
dere Glied der Implikation (die Pramisse) A wahr ist und das hintere
Glied der Implikation (die Konklusion) falsch ist - in allen anderen Fallen
ist eine Implikation nach Definition wahr.
