Einführung in die höhere Analysis: Topologische Räume, Funktionentheorie, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis Index.- Literaturverzeichnis.

395 Pages·2009·3.92 MB·German

by  Dirk Werner (auth.)

Springer-Lehrbuch
Dirk Werner
Einfu¨hrung in die
ho¨here Analysis
Topologische Ra¨ume
Funktionentheorie
Gewo¨hnliche Differentialgleichungen
Maß- und Integrationstheorie
Funktionalanalysis
2., korrigierte Auflage
Mit 13 Abbildungen
123
Prof.Dr.DirkWerner
FachbereichMathematikundInformatik
FreieUniversita¨tBerlin
Arnimallee6
14195Berlin
Deutschland
[email protected]
ISBN978-3-540-79599-5 e-ISBN978-3-540-79696-1
DOI10.1007/978-3-540-79696-1
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
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MathematicsSubjectClassification(2000):28-01,30-01,34-01,46-01,54-01
(cid:2)c 2009, 2006 Springer-VerlagBerlinHeidelberg
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9 8 7 6 5 4 3 2 1
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F¨ur Irina, Felix und Nina
Vorwort
Das vorliegende Buch versucht einen Einblick in die Analysis jenseits der Vor-
lesungen der ersten beiden Semester zu geben. Es umfasst fu¨nf weitgehend
voneinanderunabh¨angigeKapitelu¨bertopologischeR¨aume,Funktionentheorie,
gew¨ohnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie sowie Funk-
tionalanalysis.InihnenwerdendiegrundlegendenBegriffeundResultatedieser
Gebiete behandelt, die fu¨r potenziell alle Studierenden relevant sind. Ich habe
allerdings nicht angestrebt, jeweils den Inhalt einer vierstu¨ndigen Vorlesung zu
vermitteln, sondern mich auf die Grundkenntnisse konzentriert, die hier also in
kompakter Form pr¨asentiert werden.
Imeinzelnenenth¨altKapitelI,ausgehendvonder alsbekanntvorausgesetz-
ten elementarenTheorie metrischerR¨aume,eine Einfu¨hrung in die Sprache der
mengentheoretischenTopologie.HierstehtinderTatdasVokabularimVorder-
grund, denn tiefliegende Resultate sind in den Anfangsgru¨nden der Topologie
eher die Ausnahme als die Regel.
Das zweite Kapitel besch¨aftigt sich mit der Funktionentheorie und bringt
die Grundtatsachenu¨ber analytischeund meromorphe Funktionen bis zum Re-
siduensatzundseinenAnwendungen;derCauchyscheIntegralsatzwirdinseiner
Homotopieversionbewiesen.
Kapitel III u¨ber gew¨ohnliche Differentialgleichungen konzentriert sich nach
der Diskussion des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes von Picard-Lindel¨of auf
SystemelinearerDifferentialgleichungen;aberesgibtaucheinenAbschnittu¨ber
die Stabilit¨atstheorie von Gleichgewichtspunkten nichtlinearer Systeme.
ImviertenKapitelwirddieLebesguescheIntegrationstheorieaufmaßtheore-
tischerGrundlagedargestellt.Selbstwennmanhaupts¨achlichanderIntegration
von Funktionen auf R oder Rd und ergo am Lebesguemaß interessiert ist, ist
der hier gew¨ahlte Zugang u¨ber abstrakte σ-additive Maße und die zugeh¨ori-
gen Integrale vom technischen Aufwand her kaum komplizierter, aber fu¨r die
Bedu¨rfnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie unumg¨anglich.
VIII Vorwort
Das letzte Kapitel fu¨hrt in die Funktionalanalysis ein; dort findet man die
wichtigsten Aussagen u¨ber Banach- und Hilbertr¨aume sowie die auf ihnen ope-
rierendenbeschr¨anktenlinearen(insbesonderekompakten)Operatoren.Manche
Resultate werden separat bzw. ausschließlich im Hilbertraumkontext bewiesen,
z.B. die Fredholmsche Alternative, um die Beweise u¨bersichtlicher zu halten.
Außer dem Grundkanon, wie er oben skizziert wurde, enth¨alt jedes Kapi-
tel noch (mindestens) einen apokryphen Abschnitt, etwa u¨ber Anwendungen
des Baireschen Kategoriensatzes in der Analysis, den Primzahlsatz, Sturm-
Liouvillesche Rand- und Eigenwertprobleme, den Brouwerschen Fixpunktsatz
oder den Satz von Hahn-Banach und reflexive R¨aume. Diese eleganten Ergeb-
nisseaufzunehmenkonnteichmirbeiallerKonzentrationaufsWesentlichenicht
entsagen!
Zu jedem Kapitel gibt es am Schluss ein kurzes Literaturverzeichnis; im
Text wird dabei z.B. auf das 1978 erschienene Buch von Birkhoff und Rota als
Birkhoff/Rota [1978] verwiesen.
DasManuskriptbasiertaufVorlesungen,dieichanderFUBerlinundander
National University of Ireland, Galway, gehalten habe. Zahlreiche Studierende
und Kollegen haben mit ihrer Kritik geholfen, den Text zu verbessern. Herzli-
chen Dank dafu¨r! Insbesondere m¨ochte ich an dieser Stelle Ehrhard Behrends
erw¨ahnen, auf den im u¨brigen die Idee zuru¨ckgeht, dieses Buch zu schreiben.
Auch Ihre Kommentare, liebe Leserinnen und Leser, sind sehr willkommen;
bittelassenSiemichalleUnstimmigkeiten,dieIhnenauffallen,wissen(gernper
email an [email protected]).Ich habe vor, notwendige Korrekturen
auf meiner Internetseite
www.math.fu-berlin.de/∼werner
zu dokumentieren.
Berlin, im Mai 2006 Dirk Werner
In der neuen Auflage habe ich die mir bekannt gewordenen Tipp- und sonsti-
genFehlerkorrigiert;dergravierendstewargewissderunzul¨anglicheBeweisder
Jordan-ZerlegungeinessigniertenMaßes.Zuku¨nftigeLeserinnenundLeserwer-
den besonders von den Bemerkungen von Hans Crauel, Felix Poloczek, Tarik
KilianScheltat,MarioUllrich,Ju¨rgenVoigtundJochenWengenrothprofitieren!
Berlin, im November 2008 Dirk Werner
Inhaltsverzeichnis
I. Topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Prolog:Metrische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Stetige Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.5 Kompakte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.6 Zusammenh¨angende R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.7 Existenz stetiger Funktionen, normale R¨aume . . . . . . . . . . 34
I.8 Der Satz von Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
I.10 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II. Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II.1 Der Begriff der analytischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.2 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II.3 Die Haupts¨atze u¨ber analytische Funktionen . . . . . . . . . . . 77
II.4 Isolierte Singularit¨aten und Residuenkalku¨l . . . . . . . . . . . . 93
II.5 Der Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
II.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
II.7 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
III. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 129
III.1 Beispiele und elementare L¨osungsmethoden. . . . . . . . . . . . 130
III.2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindel¨of. . . . 142
III.3 Abh¨angigkeit der L¨osung von den Daten . . . . . . . . . . . . . 151
III.4 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
III.5 Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 158
III.6 Lineare Differentialgleichungen h¨oherer Ordnung. . . . . . . . . 167
X Inhaltsverzeichnis
III.7 Qualitative Theorie nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . 177
III.8 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
III.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
III.10 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
IV. Maß- und Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
IV.1 σ-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
IV.2 Inhalte und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
IV.3 Konstruktion von Maßen; das Lebesguemaß . . . . . . . . . . . 219
IV.4 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
IV.5 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
IV.6 Konvergenzs¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
IV.7 Die Lp-R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
IV.8 Produktmaße und der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . 253
IV.9 Einige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
IV.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
IV.11 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
V. Funktionalanalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
V.1 Normierte R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
V.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
V.3 Hilbertr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
V.4 Orthonormalbasenund Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . 329
V.5 Der Satz von Hahn-Banach; Reflexivit¨at . . . . . . . . . . . . . 340
V.6 Eigenwerttheorie kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . . 352
V.7 Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . 366
V.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
V.9 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Kapitel I
Topologische R¨aume
Wenn eine Menge T mit einer Metrik d versehen wird, haben wir die intui-
tive Idee des Abstands mathematisch pr¨azise gefasst. Wir k¨onnen quantitativ
bestimmen, wie nahe zwei Punkte einander sind, und wir k¨onnen qualitativ
feststellen, ob ein Punkt t unendlich nahe“ bei einer Menge M liegt (pr¨azise:
”
ob t ∈ M); fu¨r letzteres wird die Maschinerie der offenen und abgeschlossenen
Mengen entwickelt.
Auf Rd betrachtet man zum Beispiel die Metriken (s = (s ,...,s ), t =
1 d
(t ,...,t ))
1 d
(cid:2)d
d (s,t) = |s −t |,
1 k k
k=1
(cid:3) (cid:4)
(cid:2)d 1/2
d (s,t) = |s −t |2 ,
2 k k
k=1
d (s,t) = max|s −t |.
3 k k
k
Diese sind zwar verschieden, aber insofern qualitativ gleichwertig, als sie die-
selben offenen Mengen auf Rd generieren. Anders liegen die Verh¨altnisse auf
unendlichdimensionalen R¨aumen. Sei
C[0,1]={f: [0,1]→R: f ist stetig}.
Die Metriken (cid:5)
1
d (f,g)= |f(s)−g(s)|ds
1
0
und
d (f,g)= sup |f(s)−g(s)|
2
s∈[0,1]
messen qualitativ unterschiedliche Abstandsbegriffe, da man leicht f ∈C[0,1]
n
mit d (f ,0) ≤ 1/n, aber d (f ,0) ≥ n konstruiert. (Im d -Sinn ist f sehr
1 n 2 n 1 n
D. Werner, Einführung in die höhere Analysis, 2nd ed., Springer-Lehrbuch,
DOI 10.1007/978-3-540-79696-1_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009