Table Of ContentELEMENTE DER MATHEMATIK
VOM HÖHEREN STANDPUNKT AUS
Einführung
in die freie Geometrie
ebener Kurven
von
DR. LOUIS LOCHER-ERNST
Professor am Technikum des Kanton1 Zürich in Wintertbur
Springer Basel AG
ISBN 978-3-0348-6913-3 ISBN 978-3-0348-6912-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-6912-6
X achdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen
und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
Copyright 1952 by Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Basel 1952.
VORWORT
Das Ziel der folgenden Betrachtungen besteht darin, die den Verlauf
von ebenen Kurven regelnden Gesetze kennenzulernen und eine Über
sicht der einfachsten Kurvenformen zu gewinnen. Zugleich handelt es
sich um eine Einführung in einen modernen Zweig der Geometrie, der vor
etwa hundert Jahren veranlagt und um 1900 entwickelt wurde, heute
aber leider nur von wenigen Mathematikern Pflege erfährt. Die Veran
lagung findet man bei VON STAUDT1) und F. MoEBIUS2). Eine strenge
Grundlegung gab A. KNESER3). Dann war es vor allem der dänische
Mathematiker C. J UEL 4), dem man die erste Entwicklung verdankt. Lehr
bücher, die dieses neue Gebiet der Geometrie ausführlich darstellen,
existieren heute noch nicht. Es gibt wohl eine große Zahl von einzelnen
Abhandlungen, verstreut in zum Teil nicht ohne weiteres zugänglichen
Zeitschriften5). Den Anfang der Entwicklung bilden aber, soweit ich es
überschauen kann, zwei Abhandlungen von A. KNESER3) (1889 und 1893)
und die außerordentlich reichhaltige zusammenfassende Arbeit Einlei
tung in die Theorie der ebenen Elementarkurven dritter und vierter Ordnung
von C. JuEL4) aus den Jahren 1913 bis 1915.
Wir werden uns zunächst mit der Charakterisierung der betrachteten
Objekte zu beschäftigen haben. Im Laufe der letzten siebzig Jahre hat
sich immer deutlicher herausgestellt, daß es eine keineswegs einfache
Sache ist, den Begriff der Kurve befriedigend zu fassen. Jemand, der sich
mit diesem Problem nie beschäftigte, kann sich keine Vorstellungen dar
über bilden, welchen bedeutenden Schwierigkeiten man hier begegnet.
Eine zu weite Fassung des Kurvenbegriffs führt sehr bald zu schwie
rigen Fragen der Mengenlehre. Die sich darbietenden Verhältnisse sind
1) G. K. CH. voN STAUDT, Geonull"ie der Lage (Nümberg 1847), Paragraphen 11 bis 15.
2) A. F. MoEBJUS, Ober die Grundformen der Linien der dritten Ordt&ung (1852},
Gesamnulte Werke, Bd. 2 (Leipzig 1886).
8) A. KNESER, Allgenuine Sälze über die scheinbaren Sit~gularitälm beliebiger Raum
kurven, Math. Ann. 34, 204 (1889); Ei11ige allgenuine Sätze über die einfachsten GestaUen
ebener Kurven, Math. Ann. 11, 349 (1893).
•) C. juEL, Ei>&leitu>&g in die Theorie der ebenen Elenuntarkurven dritter und vierter Ord·
nung, Kg1. Danske Videnskabemc Sclsk. Skrifter. 7 R., 11, 111 (1913-1915}.
a} Hinweise auf die Literatur findet man in dem zusammenfassenden Bericht von
G. v. Sz. NAGY, Geonutrie endlicher Ordnu11g, Jber. DMV. 63, 103 (1943).
4 Vorwort
derart mannigfaltig, oft überraschend und vor allem unüberschaubar, daß
die Gefahr des Sichverlierens in engen Sonderfragen groß ist.
Bei der Beschränkung auf analytische oder gar algebraische Kurven
nimmt man in Kauf, daß die betrachteten Gebilde die Eigenschaft be
sitzen, in ihrer Ganzheit bereits durch ein beliebig kleines Stück fest
gelegt zu sein. Es ist aber für eine anschauliche Geometrie nicht einzu
sehen, warum man sich von vornherein dieser Beschränkung unterziehen
soll. Gm so bemerkenswerter ist die Tatsache, daß manche Eigenschaften,
von denen man früher überzeugt war, daß sie typisch algebraischer Natur
seien, sich als von viel allgemeinerer Art erweisen.
Wenn auch die Auffassung des kürzlich verstorbenen dänischen Ma
thematikers J. HJELMSLEV1) über das, was man <<natürliche Geometrie))
nennen kann, von der von mir gepflegten Anschauung wesentlich ab
weicht, möchte ich doch den folgenden Sätzen, die aus seinen tempera
mentvollen Hamburger Vorträgen stammen, zustimmen:
"Die gewöhnliche Theorie der Kurven und Flächen hat einen zu
stilisierten Charakter. \\'as wir gewöhnlich von unseren Kurven und
Flächen verlangen, sind Bequemlichkeitsbedingungen, die bei der Aus
führung der Rechnungen als natürlich und leicht eingeführt werden und
haben oft keine eigentliche Anknüpfung an unsere wirkliche Geometrie.
Einige einleitende Arbeiten in der Richtung einer anschaulichen Geo
metrie liegen schon vor. Die schönen Vntersuchungen von C.JUEL über
Kurven in der Ebene und im Haume und über Flächen dritter Ordnung
geben ein Beispiel für die Behandlung der einleitenden projektiv-topo
logisc hen Eigenschaften der krummen Ge bilde ... ».
Für eine anschauliche Geometrie wird es sich darum handeln, eine
gewisse Mitte in bezug auf zu weite und zu enge Fassung des Begriffes
"Kurven einzuhalten. Da der im folgenden verwendete Kurvenbegriff all
gemeiner ist als der Begriff der analytischen oder gar der algebraischen
Kurve, können die analytischen Funktionen, das mächtige Werkzeug der
klassischen analytischen Geometrie, als Hilfsmittel nicht herangezogen
werden. Das bedingt, daß man sich neuartige Methoden schaffen muß,
um die Eigenschaften der betrachteten geometrischen Gebilde begrifflich
streng behandeln zu können.
Ich spreche von einer freien Geometrie in dem Sinne, daß die Unter
suchungen frei von einem als Hilfsgerüst verwendeten Koordinatensystem
sind. Es war mein Ziel, eine freie Geometrie der Kurven und Bewegungen
möglichst aus dem unmittelbar Evidenten heraus begrifflich streng zu
entwickeln. Dieses Streben führte mich dazu, den Begriff der ••elemen
taren stetigen Bewegungn zugrunde zu legen.
1) J. HJELMSLEV, Die natürliche Geometrie. Vier Vorträge, Abh. matl1. Seminar Ham·
burgiseben Univ. 2. Bd. (1923).
Vorwort 5
Die wenigen zum Aufbau notwendigen, ganz elementaren Sätze
der projektiven Geometrie der Ebene werden im ersten Kapitel ent
wickelt, so daß zur Lektüre keine besonderen Vorkenntnisse nötig
sind. Mancher Leser wird sich freilich nur für die Inhalte der Sätze des
ersten Abschnittes, nicht für deren feingesponnene gegenseitige Be
ziehungen interessieren. Zum Verständnis der Kurvenlehre sind nur die
Inhalte nötig.
Der vorliegende Teil enthält nur projektive Kurvengeometrie der Ebene.
Die Begriffe «parallel n und «rechter Winkeln werden hier also keine Rolle
spielen.
Die Darstellung richtet sich an Leser, die s;ich für einen strengen Auf
bau der geometrischen Formenlehre interessieren. Außer dem Mathe
matiker werden sich auch Naturwissenschafter, die sich mit den in der
Xatur auftretenden Gestalten und ihren Metamorphosen beschäftigen,
angesprochen finden. Ferner werden Künstler, die mit der Freude an
den Formen auch erkennend in die Formensprache eindringen möchten,
gewisse Aufschlüsse gewinnen können. Dies zeigte sich in Vorträgen
und Kursen, die ich in verschiedenen Kreisen über dieses Thema ge
halten habe.
Der vorliegend veröffentlichte erste Teil stellt den Inhalt einer zwei
stündigen Vorlesung dar, die ich unter dem Titel ElemeHtarmathematik
vom höheren Standpunkt aus im Sommersemester 1951 an der Universität
Zürich hielt.
Es handelt sich hier um eine für Anfänger verständliche Einfüh
rung; sie geht bis zur vollständigen Cbersicht der Gebilde dritter Ord
nung bzw. Klasse und bringt noch Erzeugungsprinzipien für Gebilde
höherer Art. Doch wird auch der Kenner Xeues (zum Beispiel Beweis
eines bei VON STAUDT angegebenen allgemeinen Satzes, Eigenschaften
offener singularitätenfreier Bögen, Konstruktionen der Gebilde dritter
Ordnung bzw. Klasse mit Hilfe von Eilinien) finden. Ich habe ferner Wert
darauf gelegt, mit Hilfe vieler Zeichnungen eine möglichst anschauliche
Darstellung zu bieten. Einige am Schluß beigefügte Aufgaben mögen zur
selbständigen Beschäftigung anregen.
Herr Prof. Dr. B. L. VAN DER WAERDEN hatte die Liebenswürdig
keit, das Manuskript durchzulesen und mir zu manchen Einzelheiten
wichtige Bemerkungen zu machen. Den Aufbau der Axiome Dd bis Gg
verdanke ich im wesentlichen seiner brieflichen Mitteilung. Sein Vor
schlag, einen singularitätenfreien elementaren Bogen als Spiralenbogen
zu bezeichnen, war mir willkommen. Ich möchte ihm an dieser Stelle
meinen herzlichen Dank für seine Hilfe aussprechen.
6 Vorwort
Die Herren Prof. Dr. P. BucHNER und Dr. H. RAMSER haben mich
beim Lesen der Korrekturabzüge unterstützt und mir hierbei wertvolle
Hinweise gegeben. Auch ihnen sage ich für ihre Mitarbeit herzlichen Dank.
Wenn die folgenden Ausführungen das Interesse eines größeren Kreises
auf das hier behandelte Gebiet zu lenken vermögen, so ist ihr Haupt
zweck erreicht.
29. Oktober 1951 L. LOCHER-ERNST
INHALT
Vorwort .............. . 3
1. Grundlagen. . . . . . . . . . . . 9
2. Der elementare Bogen und die Elementarkurve 21
3. Die Singularitäten eines elementaren Bogens 28
4. Die Struktur des einfachen Bogens 35
5. Der C-Bogen und die Eilinie .. 38
6. Form und Gegenform . . . . . 42
7. Die Struktur des Spiralenbogens 44
8. Allgemeine Sätze über Elementarkurven 49
9. Elementarkurven dritter Ordnung. . . 54
10. Das Auflösen von Doppelpunkten und Doppeltangenten 61
11. Beispiele und Hinweise. 66
12. Aufgaben 68
Figuren ... 72
Sachverzeichnis. 87
Verzeichnis der Axiome und Sätze 88
1. GRU~DLAGEN
Wir geben in diesem vorbereitenden Abschnitt die einfachen Sätze an,
die zur Entwicklung der freien Geometrie der Kurven nachher zu Hilfe
gezogen werden. Die Sätze A und a, Bund b usw. bis I und i betrachten
wir als Grundsätze, als Urphänomene, die wir nicht auf einfachere Sach
verhalte zurückführen.
Die Grundelemente in der ebenen Geometrie sind der Punkt und die
Gerade1). Wir geben keine Definition dieser Gebilde, sondern schildern
einfach, welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen. Im logischen
Aufbau werden dann diese Beziehungen in mannigfaltige Verbindungen
gebracht.
A. Die Ebene enthält unbegrenzt viele Punkte; sie erscheint so als
Punktfeld.
a. Die Ebene enthält unbegrenzt viele Geraden; sie erscheint so als
Strahlenfeld.
B. In jeder Geraden liegen unbegrenzt viele Punkte; die Gerade er
scheint so als Träger einer Punktreihe.
b. Durch jeden Punkt gehen unbegrenzt viele Geraden; der Punkt er
scheint so als Träger eines Strahlenbüschels.
C. Zwei Punkte bestimmen eine und nur eine Gerade, die durch beide
Punkte geht.
c. Zwei Geraden bestimmen einen und nur einen Punkt, der in beiden
Geraden liegt.
Diese Grundsätze bedürfen, außer c, keiner näheren Erläuterung. Im
Vorstellungsraum, das heißt in dem Bilde, das wir uns mit unserer Fähig
keit des Vorstcllens von den Begriffen Ebene, Gerade usw. erzeugen, ist
Grundsatz c nicht durchwegs erfüllt. Das gewöhnliche Vorstellen führt
dazu, von «parallelen" Geraden zu sprechen, die keinen Schnittpunkt be
sitzen. Bringt man sich zum Bewußtsein, daß man vom Vorstellungsraum
nicht verlangen darf, alles Wesentliche eines Denkinhaltes zumAusdruck
bringen zu können, so wird man mehr auf die Begriffe selbst achten. Es
wird sich nun zeigen, daß der Verzicht auf die allgemeine Gültigkeit von c
eine nicht wieder zu behebende Störung im Gesamtaufbau zur Folge
hätte. Es ist vernünftig, im Reich der Begriffe auch c unbeschränkt an-
1) Statt • Gerade• brauchen wir auch das Wort • Strahl•.
10 Grundlagen
zuerkennen. Etwas nicht vorstellen können ist nicht dasselbe wie etwas
nicht denken können. Jedermann weiß, daß man den Schnittpunkt
paralleler Geraden als «u nendlichfernen » oder «u neigentlichen » Punkt
von den eigentlichen Punkten unterscheidet. C besagt, daß auch zwei
solche uneigentliche Punkte eine Gerade bestimmen: die« unendlichferne ))
oder «uneigentlichen Gerade der Ebene. Man kann, von einer Ebene im
Vorstellungsraum ausgehend, diese durch Einführen der uneigentlichen
Punkte als ideelle Gebilde zu der projektiven Ebene ergänzen, welche so
wohl als Punktfeld als auch als Strahlenfeld ein in sich geschlossenes
Gebilde darstellt. Wir gehen hier aber so vor, daß wir durch die Grund
sätze Aa, Bb, Ce von vornherein von der geschlossenen Ebene ausgehen.
Es wird sich oft die Gelegenheit bieten, das Verhältnis der projektiven
Ebene zum Vorstellungsraum im einzelnen zu erläutern.
Bevor wir die weiteren Axiome formulieren, schildern wir vorberei
tend einige anschauliche Sachverhalte. Die Punkte einer Punktreihe kön
nen von einem gegebenen Punkt A aus als Anfangspunkt udurchlaufen »
werden bis zurück nach A, derart, daß jeder von A verschiedene Punkt
genau einmal angetroffen wird. Es ist klar, was gemeint ist, wenn wir
sagen, dieses Durchlaufen weise keine Sprünge und keine Änderungen
des Bewegungssinnes auf. Die Geschwindigkeit spielt für uns hier keine
Rolle. Es genügt uns, daß die Punktreihe von A aus irgendwie durch
laufen werde. Entsprechend können die Strahlen eines Strahlenbüschels
von einem Anfangsstrahl a aus udurchlaufen » werden. Da die folgenden
Axiome für Punktreihen und Strahlenbüschel gemeinsam gelten, sprechen
wir statt von einem Punkte oder von einem Strahl kurz von einem Ele
ment. Wir werden nun den Begriff des Durchlaufens einer Punktreihe
oder eines Strahlenbüschels nicht direkt definieren, sondern gewisse an
schaulich ohne weiteres einleuchtende Axiome für diesen Begriff formulie
ren, das heißt Beziehungen dieses Begriffes zu anderen als bekannt vor
ausgesetzten Begriffen herstellen. Zu den letzteren gehört der Begriff
einer Reihenfolge einer endlichen Anzahl von Dingen, das heißt deren
Numerierung. Die Begriffe Bewegungssinn, zwischen und Sichtrennen
werden wir dann definieren können.
Dd. Zu jedem Durchlaufen einer Punktreihe oder eines Strahlen
büschels vom Element A aus gibt es ein entgegengesetztes Durchlaufen
von A aus mit der folgenden Eigenschaft: Werden zwei beliebige Ele
mente B und C beim ersten Durchlaufen in der Reihenfolge BC ange
troffen, so werden sie beim entgegengesetzten Durchlaufen in der Reihen
folge CB angetroffen.
Erklärung: Sind A, B, C drei verschiedene Elemente einer Punktreihe
oder eines Strahlenbüschels und werden bei einem Durchlaufen von A
