Table Of ContentLecture Notes in Economics and Mathematical Systems
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Vol. 101: W. M. Wonham, Linear Multivariable Control A Geo· Vol. 129: H.-J. Lilthi, Komplementaritäts-und Fixpunktalgorithmen in
metric Approach. X. 344 pages. 1974. der mathematischen Programmierung. Spieltheorie und Ökonomie.
Vol. 102: Analyse Convexe et Ses Applications. Comptes Rendus, VII, 145 Seiten. 1976.
Janvier 1974. Edited by J. • P. Aubin. IV, 244 pages. 1974. Vol. 130: Multiple Criteria Decision Making, Jouy-en-Josas, France.
Vol. 103: D. E. Boyce, A. Farhi, R. Weischedel, Optimal Subset Proceedings 1 975. Edited by H. Thiriez and S. Zionts. VI, 409 pages.
Seleetion. Multiple Regression, Interdependence and Optimal 1976.
Network Aigorithms. XIII, 187 pages. 1974. Vol. 131: Mathematical Systems Theory. Proceedings 1975. Edited
Vol. 104: S. Fujino, A Neo·Keynesian Theory of Inflation and by G. Marchesini and S. K. Mitter. X, 408 pages. 1976.
Economic Growth. V, 96 pages. 1974. Vol. 132: U. H. Funke, Mathematical Models in Marketing. A Collee
Vol. 105: Optimal Control Theory and its Applications. Part I. Pro· tion of Abstracts. XX, 514 pages. 1976.
ceedings 1973. Edited by B. J. Kirby. VI, 425 pages. 1974. Vol. 133: Warsaw Fall Seminars in Mathematical Economics 1975.
Edited by M. W. Los, J. Los, and A. Wieezorek. V. 159 pages. 1978.
Vol. 106: Optimal Control Theory and its Applications. Part 11. Pro
ceedings 1973. Edited by B. J. Kirby. VI. 403 pages. 1974. Vol. 134: Computing Methods in Applied Sciences and Engineering.
Proceedings 1975. VIII, 390 pages. 1976.
Vol. 107: Control Theory, Numerical Methods and Computer
Systems Modeling. International Symposium, Rocquencourt, June Vol. 135: H. Haga, A Disequilibrium - Equilib!ium Model with Money
17-21,1974. Edited byA. Bensoussan and J. L. Lions. VIII, 757 pages. and Bonds. A Keynesian - Walrasian Synthesis. VI, 119 pages. 1976.
1975. Vol. 136: E. Koller und G. Menges, Entscheidungen bei unvollständiger
Vol. 108: F. Bauer et al. Supercritical Wing Seetions 11. A Hand Information .. XII, 357 Seiten. 1976.
book. V, 296 pages. 1975. Vol. 137: R. Wets, Grundlagen Konvexer Optimierung. VI, 146 Seiten.
1976.
Vol. 109: R. von Randow, Introduction to the Theory of Matroids.
IX, 102 pages. 1975. Vol. 138: K Okuguchi, Expectations and Stsbility in Oligopoly Models.
VI, 103 pages. 1976.
Vol. 110: C. Striebel, Optimal Control of Discrete Time Stochastic
Systems. 111, 208 pages. 1975. Vol. 139: Production Theory and Its Applications. Proceedings. Edited
by H. Albach and G. Bergendahl. VIII, 193 pages. 1977.
Vol. 111: Variable Structure Systems with Application to Economics
and Biology. Proceedings 1974. Edited byA. Ruberti and R. R. Mohler. Vol. 140: W. Eichhorn and J. Voetler, Theory of the Price Index.
VI, 321 pages. 1975. Fisher's Test Approach and Generalizations. VII, 95 pages. 1976.
Vol. 112: J. Wilhelm, Objeetives and Multi-Objeetive Decision Making Vol. 141: Mathematical Economics and Game Theory. Essays in Honor
Under Uncertantly. IV, 111 pages. 1975. of Oskar Morgenstern. Edited by R. Henn and O. Moeschlin. XIV,
703 pages. 1977.
Vol. 113: G. A. Aschinger, Stabilitätsaussagen ilber Klassen von
Matrizen mit verschwindenden Zeilensummen. V, 102 Seiten 1975. Vol.142: J. S. Lane, On Optimal Population Patha. V, 123 pages.1977.
Vol. 114: G. Uebe, Produktionstheorie. XVII, 301 Seiten. 1976. Vol. 143: B. Näslund, An Analysis of Economic Size Distributions.
Vol: 115: Anderson et al., Foundations of System Theory: Finitary XV, 100 pages. 1977.
and Infinitary Conditions. VII, 93 pages. 1976 Vol. 144: Convex Analysis and Its Applications. Proceedings 1976.
Edited by A. Auslender. VI, 219 pages. 1977.
Vol. 116: K. Miyazawa, Input-Output Analysis and the Structure of
Income Distribution. IX, 135 pages. 1976. Vol. 145: J. RosenmillIer, Extreme Games and Their Solutions. IV,
126 pages. 1977.
Vol. 117: Optimization and Operations Research. Proceedings 1975.
Edited by W. Oettli and K. Ritter. IV, 316 pages. 1976. Vol. 146: In Search of Economic Indicators. Edited by W. H. Strigel.
XVI, 198 pages. 1977.
Vol. 118: Traffic Equilibrium Methods, Proceedings 1974. Edited by
M. A. Florian. XXIII, 432 pages. 1976. Vol. 147: Resource Allocation and Division of Space. Proceedings.
Edited by T. Fujii and R. Sato. VIII, 184 pages. 1977.
Vol. 119: Inflation in Small Countries. Proceedings 1974. Edited by
Vol. 148: C. E. Mandl, Simulationsteehnik und Simulationsmodelle
H. Frisch. VI, 356 pages. 1976.
in den Sozial-und Wirtschaftswissenschaften. IX, 173 Seiten. 1977.
Vol. 120: G. Hasenkamp, Specification and Estimation of Multiple
Output Production Functions. VII, 151 pages.lg76. Val. 149: Ststionäre und schrumpfende Bevölkerungen: Oemogra
Vol. 121: J. W. Cohen, On Regenerative Processes in Queueing phisches Null-und Negativwachstum in Österreich. Herausgegeben
Theory. IX, 93 pages. 1976. von G. Feichtinger. VI, 262 Seiten.-1977.
Vo~ 122: M. S. Bazaraa, and C. M. Shetty,Foundations of Optimization Vol. 150: Bauer et al., Supercritical Wing Sections 1Ii. VI, 179 pages.
VI. 193 pages. 1976 1977.
Vol. 123: Multiple Criteria Decision Making. Kyoto 1975. Edited by Val. 151: C. A. Schneeweiß, Inventory-Production Theory. VI, 116 pages.
M. Zeleny. XXVII, 345 pages.1976. 1977.
Vol. 124: M. J. Todd. The Computation of Fixed Points and Applica Vol. 152: Kirsch et al., Notwendige Optimalitätsbedingungen und
tions. VII, 129 pages. 1976. ihre Anwendung. VI, 157 Seiten. 1978.
Vol. 125: Karl C. Mosler. Optimale Transportnetze. Zur Bestimmung
Vol. 153: Kombinatorische Entscheidungsprobleme: Methoden und
ihres kostengilnstigsten Standorts bei gegebener Nachfrage. VI,
Anwendungen. Herausgegeben von T. M. Liebling und M. Rössler.
142 Seiten. 1976.
Viii, 206 Seiten. 1978.
Vol. 126: Energy, Regional Science and Public Policy. Energy and
Environment I. Proceedings 1975. Edited by M. Chatterji and P. Van Vol. 154: Problems and Instruments of Business Cycle Analysis.
Rompuy. VIII, 316 pages. 1976. Proceedings 1977. Edited by W. H. Strigel. VI, 442 pages. 1978.
Vol. 127: Environment Regional Science and Interregional Modeling. Vol. 155: Multiple Criteria Problem Solving. Proceedings 1977. Edited
Energy and Environment 11. Proceedings 1975. Edited by M. Chatterji by S. Zionts. VIII, 567 pages. 1978.
and P. Van Rompuy. IX, 211 pages. 1976.
Vol. 156: B. Näslund and B. Sellstedt, Neo-Ricardian Theory. With
Vol. 128: Integer Programming and Related Areas. A Classified Applications to So me Current Economic Problems. VI, 165 pages.
Bibliography. Edited by C. Kastning. XII, 495 pages. 1976. 1978.
contInuation on P8118 241
Lectu re Notes
in Economics and
Mathematical Systems
Managing Editors: M. Beckmann and W. Krelle
258
Helmut Funke
Eine allgemeine Theorie der
Polypol- und
Oligopolpreisbildung
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Editorial Board
H. Albach M. Beckmann (Managing Editor) P. Dhrymes
G. Fandei J. Green W. Hildenbrand W. Krelle (Managing Editor) H.P. Künzi
G.L. Nemhauser K. Ritter R. Sato U. Schittko P. Schönfeld R. Selten
Managing Editors
Prof. Dr. M. Beckmann
Brown University
Providence, RI 02912, USA
Prof. Dr. W. Krelle
Institut für Gesellschafts-und Wirtschaftswissenschaften
der Universität Bonn
Adenauerallee 24-42, D-5300 Bonn, FRG
Autor
Dr. Helmut Funke-Lambertz
Abteilung tür Wirtschaftswissenschaften der Universität Ulm
Oberer Eselsberg, D-7900 Ulm, FRG
ISBN 978-3-540-15993-3
CI P-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Funke, Helmut: Eine allgemeine Theorie der
Polypol· und Oligopolpreisbildung I Helmut Funke. - Berlin ; Heidelberg; New York; Tokyo:
Springer, 1985. (Lecture notes in economics and mathematical systems; 258) In d. Vorlage auch:
Helmut Funke-Lambertz
ISBN 978-3-540-15993-3 ISBN 978-3-662-01604-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01604-6
N E:GT
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1985
2142/3140-543210
Vorwort
Zahlreichen Kollegen in Ulm und Karlsruhe danke ich
herzlich für die anregenden Diskussionen und Rat
schläge. Mein besonderer Dank gilt Wolfgang Eichhorn,
der mich in vielfältiger Weise unterstützt hat, und
dessen Rat mir jederzeit zur Verfügung stand. Ferner
danke ich der Deutschen Forschungsgemeinschaft, die
mich während meiner Arbeit an dieser Habilitations
schrift mit einem Habilitandenstipendium unterstützt
hat.
Inha lt
1. Einleitung
2. Modell grundlagen 12
2.1 Verallgemeinerungen des Zwischenwertsatzes 16
2.2 Stabilitäts- und Gleichgewichtseigenschaften unter
Monotoniebedingungen 24
2.3 Eindeutigkeit von Gleichgewichten 61
3. Anwendungen: Parti al marktmodell e 87
3.1 Exkurs: Gleichgewichtsbegriffe für vollkommene Märkte
eines Gutes 91
3.2 Interdependenz und Gleichgewichte mehrerer vollkommener
Märkte 114
3.3 Vergleiche von Marktpreisvektoren 122
3.4 Mehrprodukteno 1i gopol e auf unvoll kommenen Märkten 133
3.5 Vergleiche und Stabilität von Gleichgewichtspreisvektoren
des unvollkommenen Oligopols 149
4. Weitere Anwendungen 196
4.1 Anwendungen auf vo 11 kommene Märkte mi t Total charakter 196
4.2 Anwendungen auf Modelle der Produktions-, Kosten- und
Wachstumstheorie 218
5. Literatur 232
1. Einleitung
Wirtschaften heißt entscheiden, und zwar über die alternative Herstellung
und Verwendung knapper Güter. Für dieses Entscheiden ist wegen der Substi
tuierbarkeit vieler Güter ein echter Spielraum vorhanden. Die Frage nach
günstigen oder sogar optimalen Austauschverhältnissen stellt sich bekannt
lich als die Frage nach den betreffenden Preisen. Die Bedeutung dieses
Problems zeigt sich in der langen Tradition, die die Preistheorie als
Teil der Wirtschaftstheorie hat. Im Laufe der Zeit wurden Theorien über
Nachfrage und Konsum, über Angebot und Produktion sowie über Gleichge
wichte einbezogen.
Für die in dieser Arbeit dargestellte Preistheorie, bei der besonderes
Interesse auf substitutionale Nachfragebeziehungen gerichtet ist, wird zu
nächst (in Kapitel 2) das mathematische Instrumentarium bereitgestellt
beziehungsweise erarbeitet. Die dort entwickelten Methoden knüpfen unmit
telbar an der Eigenschaft der Substitutionalität an, die mathematisch
nichts anderes als das Zusammenwirken bestimmter Monotoniebedingungen be
deutet. Die Herleitung der theoretischen Grundlagen kommt erfreulicher
weise mit einfachen formalen Voraussetzungen aus. Dabei handelt es sich in
der Hauptsache um Ordnungseigenschaften, wie Monotonie- und monotonieähn
liche Bedingungen, kurz: um Eigenschaften, die über Ungleichungen defi
niert sind. Die Beweise der zugehörigen Sätze basieren auf ökonomisch
motivierten Ideen und sind daher trotz ihres teilweise großen Umfangs an
Einzelheiten leicht zu überblicken. Es ist bemerkenswert, daß die formalen
Ergebnisse auch außerhalb preistheoretischer Fragestellungen zahlreiche
Anwendungen erlauben, und zwar überall dort, wo substitutionale Systeme
eine Rolle spielen. Dies ist der Fall bei gewissen Problemstellungen in
gleichgewichtstheoretischen Totalmodellen sowie in der Produktions-,
Kosten- und Wachstumstheorie. Diesem Umstand trägt die vorlieqende Arbeit
dadurch Rechnung, daß die beiden folgenden Kapitel, nämlich "Modellgrund
lagen" und "Anwendungen: Partialmarktmodelle" , durch ein weiteres Kapitel
mit der überschrift: "Weitere Anwendungen" ergänzt werden.
Traditionelle Preistheorie befaßt sich vorwiegend mit Modellen vollkommener
Konkurrenz, deren erste Ansätze dank des Jevonschen Gesetzes (der Unter-
2
schiedslosigkeit der Preise) noch leicht zu analysieren sind. Als schon
wesentlich aufwendiger erweisen sich Untersuchungen des vollkommenen Oligo
pol s auf einem Ein - Gut - Markt. Nach Cournot (1838) haben sich in neuerer
Zeit Opitz (1970), Okuguchi (1976, 1979, 1983), Friedman (1977), Gehrig
(1981), Grossman (1981), Szidarovszky / Yakowitz (1982) und Ono (1982) mit
entsprechenden Themen befaßt.
Den wohl größten Anreiz zur Kritik an solchen Modellen gibt die Annahme der
Vollkommenheit beziehungweise Homogenität des Marktes. Im übrigen sind die
daraus resultierenden Nachfragebeziehungen als extrem anzusehen, weil
kleine Preisänderungen einzelner Anbieter deren Absatzmöglichkeiten schlag
artig ändern können. Auf solche Modelle folgen unmittelbar Modifikationen
in Richtung auf unvollkommene Märkte mit einem Gut (je Anbieter), wobei es
naheliegend ist, von substitutionaler Nachfrage auszugehen. Arbeiten über
entsprechende Modelle des unvollkommenen (oder auch: heterogenen) Oligopols
auf dem Ein-Gut-Markt - nach Chamberlin (1938) Modelle "monopolistischer
Konkurrenz" - finden sich neuerdings bei Franke (1973), Okuguchi (1976,
1978), Weichhardt (1976), Friedman (1977), Furth (1979), Heertje/Furth
(1980), Schoch (1981) und VanderWeide/Zalkind (1981).
Erst in jüngerer Zeit sind Ergebnisse über Marktmodelle mit Mehr - Produkt
Anbietern zu finden, d. h. Modelle sogenannter Mehrproduktenoligopole. In
den betreffenden Arbeiten wird der Gleichgewichtsbegriff von Nash ange
wandt, der sich in preistheoretischem Zusammenhang aus der (Verhaltens-)
Annahme monopolistischer Konkurrenz ergibt; man vergleiche Selten (1970),
Eichhorn (1971,1972), Eichhorn/Funke/Stehling (1977), Eichhorn/Müller
(1977), Funke (1977) und Haupt (1977). Krelle (1976) gibt einen überblick
über eine Reihe anderer Verhaltensannahmen, deren Konsequenzen er unter
sucht.
Die (realistische) Annahme, daß die Anbieter mehrere Produkte führen, hat
neben der prinzipiellen Möglichkeit, daß Ergebnisse der bisherigen Theorie
nun nicht mehr stimmen, auch ein höheres mathematisches Anspruchsniveau für
die Analyse mit sich gebracht. Um die allgemeineren Modelle methodisch noch
bewältigen zu können, wurden zur Darstellung der Nachfrage-, Umsatz- und
Kostenzusammenhänge einfache Funktionenklassen, etwa lineare oder linear-
3
quadratische, herangezogen, oder es wurden einschneidende Symmetrieannahmen
gemacht. Fälle (allgemein) nichtlinearer Gleichungen als Gleichgewichtsbe
dingungen bringen eine größere Komplexität mit sich, die die Gefahr un
sauberer Darstellung in sich birgt. Dies trifft unter Umständen auch schon
für nichtlineare Bedingungen beziehungsweise Gleichungen in einer Variablen
zu. Etwa beim bekannten Vergleich des Gleichgewichtspreises im vollkommenen
Polypol ("Preis = Grenzkosten") mit dem des Monopols ("Preis = Grenzumsatz
> Gren~kosten") hängt das Ergebnis von den Eigenschaften der Preiselastizi
tät der Nachfrage ab. Bei einem seiner Beispiele geht Branson (1972, S. 99,
100) von konstanter Elastizität aus, wodurch das Wesentliche an den zugehö
rigen Fixpunktproblemen verdeckt wird. Ähnliche Mängel finden sich auch bei
Haupt (1977, S. 50, letzte Ungleichung) und bei Ott (1966, S. 107). Die be
treffenden Behauptungen können ohne zusätzliche Annahmen nicht als richtig
angesehen werden. Bei den genannten drei Beispielen handelt es sich wie ge
sagt um Probleme mit nur einer Variablen. Es ist zu erwarten, daß bei
Mehr - Güter - Modell en, bei denen al s notwendige Gl eichgewichtsbedingungen
Gleichungssysteme auftreten, die Gefahr von Trugschlüssen
vergleich~weise
höher ist, und zwar vor allem dann, wenn Nichtlinearitäten auftreten.
Untersuchungen über hinreichende Bedingungen zur Vergleichbarkeit von
Gleichgewichten im Sinne der im lRn üblichen Ordnung "~" bilden den An
fang di eser Arbeit. Im Mi tte1 p unkt des folgenden Kapi te 1s 2 ("Mode 11 grund
lagen") stehen Nullstellenprobleme, die als Marginalbedingungen für Gleich
gewichte Aussagen über deren Existenz, Eindeutigkeit, Vergleichbarkeit und
Stabilität erlauben. Für die betreffenden Funktionen, deren Nullstellen zu
betrachten sind, können aus ökonomisch sinnvollen Annahmen Eigenschaften
abgeleitet werden, die mit Hilfe der im lRn übl ichen Ordnung "~" definiert
sind, und daher unter dem Oberbegriff "Ordnungseigenschaften" zu sehen
sind. Beispielsweise für bestimmte (mehrdimensionale) Intervalle kann die
Existenz einer Nullstelle der betreffenden Funktion nachgewiesen werden,
wenn diese an beiden Intervallenden (der minimale und der maximale Punkt
des Intervalls im Sinne der Ordnung "~") die folgenden Restriktionen er
füllt: Erstens ist am unteren Intervallende die betreffende Funktion in
allen Komponenten nichtnegativ. Diese Bedingung wird in der Regel für den
durch die minimalen Grenzkosten gegebenen Punkt erfüllt. Zweitens sind am
oberen Intervallende alle Komponenten der betreffenden Funktion nichtposi-
4
tiv. Das obere Intervallende ist in der Regel durch einen weiteren Gleich
gewichtspunkt gegeben, der mit anderen (von außen vorgegebenen) Bedingungen
korrespondiert als der zu untersuchende Gleichgewichtspunkt. Im Falle bei
der Intervallenden handelt es sich um Vorzeichenrestriktionen, also um
Ordnungseigenschaften. Ohne hier näher darauf einzugehen, nennen wir noch
alle weiteren, die unter die Bezeichnung Ordnungseigenschaften fallen:
Substitutionalität, d. h. verschieden starke Versionen partieller Monoto
nie, Gültigkeit einer Budgetrestriktion und verschiedene Varianten von Kon
vexität oder Konkavität. Auch die Resultate über die Existenz von Gleichge
wichten können wegen der oben erwähnten Bedeutung der beiden Intervallenden
als Ordnungseigenschaften interpretiert werden: Das neue Gleichgewicht
liegt (im Sinne von ~~") zwischen dem Vektor der minimalen Grenzkosten und
dem alten Gleichgewicht.
Die verwendeten Untersuchungsmethoden können mit dem Stichwort "Ordnungs
bezeichnet werden; es wird nämlich vorwiegend mit Unglei
eigenschaften~
chungen operiert, etwa um monotone Konvergenz für gewisse Lösungen von
Differenzengleichungssystemen nachweisen zu können. Diese entspringen Pro
blemen der Bestimmung von Nullstellen, d. h. letztlich den Optimierungsvor
haben der einzelnen Spieler beziehungsweise Marktteilnehmer. Unter den ge
gebenen Voraussetzungen kann man zeigen, daß die Lösung gewisser Differen
zengleichungen mit dem unteren Intervallende als Anfangswert erstens mono
ton wächst und zweitens im gegebenen Intervall verbleibt, also konvergiert.
Stetigkeitsargumente reichen hin, daß der Limes einer solchen Lösung
gleichzeitig eine der gesuchten Nullstellen ist, d. h. aus ökonomischer
Sicht einen Gleichgewichtskandidaten darstellt. Kann man Eindeutigkeit der
Nullstelle voraussetzen, so sind mit dieser Untersuchungsmethode alle übri
gen Ziele, nämlich Existenz, Vergleichbarkeit und Stabilität, erreicht.
Allerdings sind die betrachteten Gleichgewichte nicht effizient, was nicht
weiter verwunderlich ist, da bekanntlich Nash - Gleichgewichtspunkte in
nichttrivialen Spielen mit substitutionalem Charakter nicht effizient
sind.
Zu vergleichbaren Ergebnissen kommen auch Sandberg (1978), Yun (1979) und
Fujimoto (1980a). Alle drei Autoren setzen Substitutionalität in der in der
Literatur ublichen Version voraus, nämlich im Sinne globaler Monotoniebe-
