Table Of ContentEin Materialgesetz für gefüllte Elastomere unter mehrachsiger
dynamischer Beanspruchung
Vorgelegt von
Dipl.-Ing. Andreas Pirscher
aus Berlin
Vom Fachbereich 11 – Maschinenbau und Produktionstechnik –
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Ingenieurwissenschaften
– Dr.-Ing. –
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuß:
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. D. Severin
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. H. Mertens
Gutachter: Prof. Dipl.-Ing. W. Zander
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 18. Juni 1999
Berlin 1999
D 83
Berichte aus dem Maschinenbau
Andreas Pirscher
Ein Materialgesetz für gefüllte Elastomere
unter mehrachsiger dynamischer Beanspruchung
.
D 83 (Diss. TU Berlin)
Shaker Verlag
Aachen 1999
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Pirscher, Andreas:
Ein Materialgesetz für gefüllte Elastomere unter mehrachsiger
dynamischer Beanspruchung / Andreas Pirscher.
- Als Ms. gedr. - Aachen : Shaker, 1999
(Berichte aus dem Maschinenbau)
Zugl.: Berlin, Techn. Univ., Diss., 1999
ISBN 3-8265-6735-8
.
Copyright Shaker Verlag 1999
Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen
oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungs-
anlagen und der Übersetzung, vorbehalten.
Als Manuskript gedruckt. Printed in Germany.
ISBN 3-8265-6735-8
ISSN 0945-0874
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2
Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand vom Mai 1993 bis April 1998 während meiner Tätigkeit als
wissenschaftlicher Mitarbeiter mit Lehraufgaben am Institut für Mechanik der Technischen
Universität Berlin.
Ich danke meinem verehrten Lehrer Herrn Professor W. Zander für die umfassende und kom-
pakte Vermittlung der Kontinuumsmechanik und Tensorrechnung. Dies versetzte mich in die
Lage, mich mit den notwendigen Theorien für diese Arbeit kritisch auseinanderzusetzen.
Wertvolle Diskussionen mit Herrn Professor Zander beeinflußten den Fortgang und schließ-
lich den erfolgreichen Abschluß der Arbeit positiv.
Ebenso dankbar bin ich Herrn Professor H. Mertens für die Anregung zu dieser Arbeit und für
die Bereitschaft zur Diskussion über den Fortschritt der Arbeit.
Sowohl Herrn Professor Zander als auch Herrn Professor Mertens gilt mein Dank für die
Übernahme der Berichte. Für die Übernahme des Vorsitzes des Promotionsausschusses danke
ich Herrn Professor D. Severin.
Meinen Kollegen Herrn Dipl.-Ing. Christopher Bode und Herrn Dr.-Ing. Rolf Alex bin ich
verbunden für kritische Diskussionen, die mir Anregungen für meine Arbeit gegeben haben.
Aufs herzlichste bedanke ich mich bei meiner Lebensgefährtin Ute, die mich in den letzten
Jahren mit Liebe, Geduld und Verständnis unterstützt hat. Meinen Eltern bin ich dankbar, daß
sie mir meine Ausbildung ermöglicht haben.
Berlin, im Dezember 1999
Inhalt 3
Inhaltsverzeichnis
0 Verwendete Formelzeichen...................................................................................6
0.1 Skalare Größen und abstrakte Symbole...................................................................6
0.2 Vektorielle Größen..................................................................................................9
0.3 Tensorielle Größen................................................................................................10
0.4 Generelle Indizierungen.........................................................................................12
0.5 Differentiationen....................................................................................................12
1 Einleitung..............................................................................................................13
2 Einachsige nichtlineare Modelle.........................................................................15
2.1 Weiterentwicklung des Kümmlee-Materialmodells durch Ziegenhagen..............15
2.2 Materialmodell von Lambertz...............................................................................21
2.3 Vergleich der Modelle von Ziegenhagen und Lambertz.......................................22
3 Grundlagen der Kontinuumsmechanik.............................................................23
3.1 Plazierungen eines Körpers...................................................................................23
3.2 Deformationsgradient, Verschiebungsgradient, Verzerrungsmaße.......................25
3.3 Verformungsgeschwindigkeiten............................................................................29
3.4 Zerlegung von Deformationen, multiplikative Zerlegung des Deformations-
gradienten...............................................................................................................30
3.5 Zerlegung der Verzerrungstensoren und Verformungsgeschwindigkeiten...........34
3.6 Zerlegung der Verformungsgeschwindigkeiten....................................................36
3.7 Spannungen............................................................................................................37
3.8 Materialgesetze......................................................................................................37
3.8.1 Allgemeine Prinzipien...........................................................................................37
3.8.2 Einfache Materialien..............................................................................................39
3.8.3 Zwangsbedingungen, speziell Inkompressibilitätsbedingung...............................39
4 Entwicklung eines Materialmodells für gefüllte Elastomere...........................42
4.1 Molekulare Struktur des gefüllten Elastomers......................................................42
4.2 Struktur des Stoffgesetzes......................................................................................43
4.3 Hyperelastisches Gesetz für die Matrix des gefüllten Elastomers.........................45
4.3.1 Ansatz von Mooney...............................................................................................46
4.3.2 Ansatz von Kilian (van-der-Waals-Modell)..........................................................51
4 Inhalt
4.4. Viskoplastisches Materialgesetz für die Füllstoffe................................................55
4.4.1 Konzept der Geschichtsfunktionale und Konzept der inneren Variablen..............55
4.4.2 Viskoplastisches Modell von Chaboche................................................................57
4.4.2.1 Von-Mises-Fließhypothese....................................................................................58
4.4.2.2 Plastisches Modell von Mróz.................................................................................61
4.4.3 Entwicklung des Füllstoff-Materialgesetzes aus dem Chaboche-Modell.............65
4.4.4 Rheologisches Ersatzmodell für das Füllstoff-Materialgesetz..............................71
4.4.5 Formulierung des Füllstoff-Materialgesetzes für endliche Deformationen...........75
4.4.6 Erweiterung des Modells zur Anpassung des Modells an verschiedene
Amplituden- und Frequenzbereiche.......................................................................76
4.5 Numerische Integration des Materialgesetzes.......................................................78
4.6 Algorithmus zur inkrementellen Berechnung der Spannungen mit
multiplikativer Zerlegung des Deformationsgradienten........................................79
4.7 Algorithmus zur inkrementellen Berechnung der Spannungen mit geome-
trischer Linearisierung (additiver Zerlegung der Verzerrungen)...........................81
5 Anpassung der Parameter..................................................................................84
5.1 Messungen mit einer Serienkupplung in der Arbeit von Kümmlee......................85
5.1.1 Beschreibung der verwendeten Serienkupplung....................................................85
5.1.2 Komplexe Steifigkeit.............................................................................................87
5.1.3 Geometrische Untersuchung der verwendeten Serienkupplung............................92
5.1.4 Näherungsweise Berechnung des Torsionsmomentes...........................................95
5.1.5 Rechenergebnisse der Optimierung mit dem Kümmlee-Versuch.........................99
5.1.6 Bewertung der Rechenergebnisse des Kümmlee-Versuchs................................105
5.2 Messungen mit zylindrischen Proben in der Arbeit von Lambertz ....................106
5.2.1 Versuchsbeschreibung.........................................................................................106
5.2.2 Untersuchung der Probengeometrie für den Scherversuch.................................113
5.2.3 Rechenergebnisse der Optimierung mit dem Lambertz-Versuch........................116
5.2.4 Bewertung der Rechenergebnisse des Lambertz-Versuchs.................................120
6 Überprüfung des Materialmodells auf thermodynamische Konsistenz.......122
6.1 Die wichtigsten Bilanzsätze der Thermodynamik...............................................122
6.2 Konzept des thermodynamischen Potentials für das Stoffgesetz der Matrix......123
( )
6.2.1 Van-der-Waals-Ansatz für die Verformungsenergiefunktion MwC ................126
Inhalt 5
6.3 Konzept des thermodynamischen Potentials für das Stoffgesetz
der Füllstoffe........................................................................................................127
( )
6.3.1 Van-der-Waals-Ansatz für die Verformungsenergiefunktion FwCˆ ................132
e
6.3.2 Ansatz für das Potential Fϕ∗ des Füllstoff-Materialgesetzes.............................133
1
6.4 Erweiterung des Modells: Berücksichtigung von Wärmeströmen......................136
6.4.1 Berücksichtigung von Wärmeströmen im Matrix-Stoffgesetz............................137
6.4.2 Berücksichtigung von Wärmeströmen im Füllstoff-Materialgesetz....................139
6.4.3 Berücksichtigung von Wärmeströmen für das Gesamt-Materialgesetz..............141
7 Zusammenfassung und Ausblick......................................................................143
7.1 Zusammenfassung...............................................................................................143
7.2 Ausblick...............................................................................................................145
8 Literatur.............................................................................................................146
A Anhang: Beispiel zur Veranschaulichung der nicht spannungsfreien
Zwischenkonfiguration......................................................................................150
Lebenslauf..........................................................................................................159
6 Verwendete Formelzeichen
0 Verwendete Formelzeichen
0.1 Skalare Größen und abstrakte Symbole
Zeichen Einheit Bedeutung
A,A mm2 Querschnittsflächen
0
a 1 Materialkonstante der van-der-Waals-Verformungsenergie-
funktion
C′ N/mm2 Dynamische Steifigkeit
C′′ N/mm2 Verluststeifigkeit
C, C N/mm2 Materialkonstanten der Verformungsenergiefunktion von
1 2
Mooney
c 1 Materialparameter des Ziegenhagen/Kümmlee-Modells
D 1 Materialfunktion, Teil der van-der-Waals-Verformungs-
1
energiefunktion
E N/mm2 Elastizitätsmodul
F N An der Gummifeder des Kümmlee-Versuchs angreifende Kraft
℘F -- Materialgesetz der Gummi-Füllstoffe
FC N/mm2 Materialparameter des Füllstoff-Materialgesetzes
Fk N/mm2 Fließspannung
FK, Fn 1 Materialparameter des Füllstoff-Materialgesetzes
Fγ 1 Materialparameter des Füllstoff-Materialgesetzes
-- Funktional eines allgemeinen Materialgesetzes
G N/mm2 Gleitmodul
G(t) N/mm2 Relaxationsfunktion
Verwendete Formelzeichen 7
GLM -- Kontravariante Metrikkoordinaten der Bezugsplazierung
g -- Kovariante Metrikkoordinaten der Momentanplazierung
ik
HB N/mm2 Hysteresebreite
J 1 Determinante des Deformationsgradienten F
J 1 Determinante des elastischen Anteils des Deformations-
e
gradienten F
e
()
J t 1 Kriechfunktion
( )
J A -- 1. Invariante des Tensors A
1
( )
J A -- 2. Invariante des Tensors A
2
( )
J A -- 3. Invariante des Tensors A
3
( )
A -- Spezielle 2. Invariante für den von-Mises-Fließzylinder
2
-- Körper
M℘ -- Materialgesetz der Gummimatrix
M Nm Torsionsmoment
T
m 1 Masingfaktor
N N Normalkraft
p N/mm2 hydrostatischer Druck
q Nm/(kg s) Skalare Wärmequelle
R N/mm2 Materialparameter des Lambertz-Modells
r 1 Akkumulierte viskoplastische Verzerrung
t s Zeit
t s Referenzzeitpunkt der Bezugsplazierung
0
8 Verwendete Formelzeichen
( )
X -- Infinitesimale Umgebung des Teilchens X in der Bezugs-
plazierung
v -- Innere Variable
i
w Nm/kg Verformungsenergiefunktion
X -- Teilchen eines Körpers
α 1 Materialkonstante der van-der-Waals-Verformungsenergie-
funktion
β 1 Materialkonstante der van-der-Waals-Verformungsenergie-
funktion
∆t s Zeitschritt
δj -- Kronecker-Symbol
k
ε 1 Dehnung
ε Nm/(kg s) Nur in Kapitel 6: Innere Energie
ε 1 Dehnung am Umkehrpunkt
U
γ 1 Gleitung
η Nm/(kg K) Massenspezifische Entropiedichte
Φ Nm/(mm3 s) Dissipationsfunktion
Φ Nm/(mm3 s) Lokaler Anteil der Dissipationsfunktion
1
Φ Nm/(mm3 s) Konvektiver Anteil der Dissipationsfunktion
2
ν 1 Querkontraktionszahl
θ K Absolute Temperatur
ϑ 1 Verdrehwinkel
ρ kg/m3 Dichte
