ecuaciones diferenciales tácnicas de solución y aplicaciones

252 Pages·2012·3.4 MB·Spanish

ECUACIONES DIFERENCIALES
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TECNICAS DE SOLUCION y APLlCACIONES
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JOSÉ VENTURA BECERRIL ESPINOSA
D AVID ELlZARRARAZ M ARTíNEZ
UNMRSICWJ~
I'JJTONOMA.
METROPOUTmA
"""""""'. """" Azcapotzalco
JOSÉ V ENTURA
BECERRIL ESPINOSA
Cursó la Licenciatura en Física y Ma
temáticas en la ESFM del IPN, titu
lándose en 1985. Obtuvo el grado de
Maestro en Ciencias en la Sección
de Matemática Educativa del CIN
VESTAV en 1987 con la tesis "Algunos
resultados clásicos de la integración
de funciones elementales" Ingresó de
forma definitiva a la Universidad Au
tónoma Metropolitana, Azcapotzalco
en 1985, en el Departamento de Cien
cias Básicas. Desde entonces ha pu
blicado materiales diversos para la
docencia, así como reportes de inves
tigación que se han presentado en con
gresos nacionales tanto de Matemáti
cas, como de investigación educativa.
Actualmente es miembro del Grupo
de Investigación de Matemática Edu
cativa, donde trabaja en la aplicación
de la tecnología para la enseñanza de
las matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES
TÉCNICAS DE SOLUCiÓN Y APLICACIONES
COLECCION I LIBROS DE TEXTO Y MANUALES DE PRACTICA
SERIE I MATERIAL DE APOYO A LA DOCENCIA
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UJIMR$IDAD AI/TOfI)U lIETlIOI"OlnNIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TÉCNICAS DE SOLUCiÓN Y APLICACIONES
José Ventura Becerril Espinosa)
David Elizarraraz Martínez
&n;lAZCAPOTZALCO
~ MHI Idl'
2893957
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA
Dr. Luis Mier y Terán Casanueva
RECJOR GENERAL.
Dr. Ricardo Solís Rosales
SECRETARIO GENERAL
UNIDAD AZCAPOTZALCO
Mtro. Víctor Manuel Sosa Godínez
RECTOR
Mtro. Cristian Eduardo Leriche Guzmán
SECRETARIO
Mtra. María Aguirre Tarnez
COORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO
DCG. Ma. Teresa Olalde Ramos
COORDINAOORA DE EXTENSiÓN UNrVERSITARlA
DCC. Silvia Guzmán Bofill
JEFA DE LA 5EcaÓN DE PROOUcaÓN y DIS'I1UBUa ÓN EDITORIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES. TÉCNICAS DE SOLUCIÓN Y APLICACIONES
Primera edición, 2004
D.R.@2004 Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Azcapotzalco
Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas
C. P. 02200, México, D. F.
e.mail: [email protected]
Diseño y producción editorial-nopase. Eugenia Herrera/lsrael Ayala
Ilustración de portada. ©Israel Ayala.
Fotografía de autores. ©Roberto Cano
ISBN 970-31-0230-1
Impreso en México/Printed in Mexico
Prólogo
Este libro está diseñado para un curso trimestral de ecuaciones diferenciales or
dinarias. Presentamos los teoremas y técnicas de solución que consideramos básicos en
un est.udio introductorio de ésta importante disciplina de las Matemáticas. Aunque no
hemos puesto énfasis en las demostraciones, proporcionamos una buena cantidad de ejer
cicios resueltos, de modo que un estudiante de Ingeniería podría obtener, mediante su
análisis, un nivel satisfactorio en los diferentes métodos de solución de ecuaciones dife
renciales y sus aplicaciones elementales más comunes. Para el curso sugerimos seguir
el orden previsto, no obstante, si algún lector considera que es demasiado material se
pueden omitir las secciones 2.8, 2.9 Y 2.10.
Los diferentes temas se exponen en forma clara y sencilla para su inmediata com
prensión. En las primeras secciones los desarrollos se hacen de manera exhaustiva. Más
adelante, lo que ya es conocido no se desarrolla completamente, sino que se dejan al lector
los detalles que en ese momento ya está en capacidad de realizar. En consecuencia. el
texto se puede utilizar para un curso tradicional o bien, para un curso en el Sistema de
Aprendizaje Individualizado, en el que el alumno estudia por su propia cuenta.
En el capítulo uno ilustramos la aplicación de las ecuaciones diferenciales. Más que la
solución y el entendimiento de los problemas planteados, buscamos motivar el interés en
estudiar ecuaciones diferenciales, a través de problemas actuales como son el crecimiento
de poblaciones, el impacto de la publicidad y las curvas de persecución, entre otros.
El capítulo 2 está dedicado a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden. Se analizan, uno por uno, varios de los métodos más usuales e incluimos
la sección 2.7 en la que se aborda el problema de resolver una ecuación dada empleando
el método más conveniente. En esta sección se proponen 80 ejercicios, debido a que
usualmente los libros de texto estudian la solución de ecuaciones diferenciales por tema
y el alumno sabe que las ecuaciones que se le plantean son del tema estudiado; pero en
la práctica y en sus cursos posteriores las ecuaciones con que se encuentra las tiene que
resolver sin conocer de antemano de que tipo son.
El capítulo 3 muestra la aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, entre las cuales están las más accesibles para los estudiantes, ya que se espera que
ellos sean capaces de entenderlas y resolver problemas relacionados con éstas.
En el capítulo 4 nos concentramos en resolver ecuaciones diferenciales ordinarias linea
les de orden dos. Pensamos que no nes difícil entender los resultados para orden mayor que
dos y aplicarlos a casos sencillos de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes,
razón por la cual aparece la sección 4.5.
Finalmente, el capítulo cinco contiene diversas aplicaciones de las ecuaciones diferen
ciales ordinarias lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Proponemos sólo
como ejercicios los correspondientes al movimiento vibratorio de una masa sujeta a un
resorte .Y de circuitos eléctricos, para no caer en un exceso de material, aunque en el
capítulo aparecen otras aplicaciones.
Queremos destacar que en las páginas 220 a la 243 se encuent.ran las respuestas
de todos los ejercicios propuest.os, lo cual será de gran ayuda para que el est.udiante
compruebe sus conocimientos.
El libro incorpora el producto del trabajo realizado por los autores al impartir en
varias ocasiones el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias en la UAM-A. También
agradecemos a la M. en M. Marina Salazar Antúnez y al M. en C. José Luis Huerta
Flores por sus valiosos comentarios y problemas aportados.
Al final, presentamos algunas referencias bibliográficas que esperamos sean útiles para
los lectores interesados en profundizar en el estudio de algún tema o de conocer otras
aplicaciones.