Table Of ContentDigitale Filter
Eine Einführung
Von Dr.-Ing. Wolfgang Hess
Professor an der Universität Bonn
2 .• vollständig überarbeitete
und erweiterte Auflage
mit 182 Bildern
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1993
Prof. Dr.-lng. Wolfgang Hess
Geboren 1940 in Stuttgart. Von 1960 bis 1965 Studium der Elektrotechnik
(Schwerpunkt Theoretische Nachrichtentechnik) an der TH Stuttgart. Von 1966
bis 1972 wiss. Assistent, von 1972 bis 1986 Oberingenieur am Lehrstuhl für
Datenverarbeitung der TU München. Promotion 1972, Habilitation 1979 mit dem
Lehrgebiet Digitale Signalverarbeitung, Ernennung zum Privatdozenten im Jahr
1980. Seit 1986 Professor für Kommunikationsforschung und Phonetik an der
Universität Bonn.
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Hess, Wollgang:
Digitale Filter : eine Einführung I von Wolfgang Hess. -
2., vollst. überarb. und erw. Aufl.
(Teubner Studienbücher : Elektrotechnik)
ISBN 978-3-519-16121-9 ISBN 978-3-322-96768-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96768-8
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Verviel
fältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
(cl Springer Fachmedien Wiesbaden 1993
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1993
Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach!Bergstraße
Umschlaggestaltung: M. Koch, Reuttingen
Vorwort zur 2. Auflage
Das vorliegende Buch ist aus den Skripten zu einigen meiner Vorlesungen an der TU
München (bis 1986) und an der Universität Bonn hervorgegangen. Die 1. Auflage erschien
im Herbst 1988.
Konzipiert ist das Buch in erster Linie als Einführung für Informations-und Nachrich
tentechniker, insbesondere auch für Studentinnen und Studenten dieser Fachrichtung an
Universitäten und Fachhochschulen. Jedoch reicht heutzutage das Interesse an der digita
len Signalverarbeitung im allgemeinen und an digitalen Filtern im besonderen weit über die
Nachrichtentechnik hinaus. Anwendungen ergeben sich aus spezifischen AufgabensteIlun
gen beispielsweise der Informatik, der Biologie, der Medizin, der MusikWissenschaft oder
der Experimentalphonetik. Bei diesem Leserkreis kann die Kenntnis der Netzwerk-und Sy
stemtheorie kontinuierlicher Systeme selbstverständlich nicht in dem Maß vorausgesetzt
werden wie bei einem Nachrichtentechniker. Aus diesem Grund versucht das Buch, die di
gitalen Filter unabhängig von der Theorie kontinuierlicher Systeme rein von der digitalen
Seite, also von den diskreten Systemen her zu erschließen; Ausblicke in den kontinuier
lichen Bereich sind sozusagen "Blicke über den Zaun."
Das Buch ist in 9 Kapitel gegliedert. Das einleitende Kapitel 1 stellt Grundbegriffe und
Grundaufgaben digitaler Filter vor und definiert die Zustandsgleichung, also die Beschrei
bung im Zeitbereich. Kapitel 2 behandelt die Grundlagen für die Analyse und Beschreibung
digitaler Filter. Nach einer Einführung in die z-Thansformation wird die Übertragungsfunk
tion als wichtigste Kenngröße im Frequenzbereich definiert; mit dem Abtasttheorem wird
die grundlegende Verbindung zwischen diskreten und kontinuierlichen Systemen herge
stellt. Die Diskussion von Frequenzgang und Impulsantwort schließt sich an; weiterhin wird
ein Matrizenverfahren zur Strukturbeschreibung vorgestellt. Kapitel 3 ist den digitalen Fil
tern 1. und 2. Grades, den Allpässen sowie den minimal-und linearphasigen Filtern gewid
met. Kapitel 4 beschäftigt sich mit Fragen realer digitaler Filter. Es behandelt zunächst an
hand einiger Beispiele die Auswirkung der Quantisierung auf das Filterverhalten und stellt
dann einige grundlegende Methoden der Filterrealisierung vor. Eine Auswahl von Ent
wurfsverfahren - vornehmlich für frequenzselektive Filter - schließt sich in Kapitel 5 an;
besonderer Raum ist den Entwurfsverfahren für Iinearphasige und minirnalphasige nichtre
kursive Filter gewidmet. Kapitel 6 stellt mit der linearen Prädiktion ein gängiges Verfahren
der adaptiven Filterung vor, das besonders in der Sprachsignalverarbeitung weite Anwen
dung gefunden hat. Sozusagen als Nebenprodukt erhalten wir einen einfach durchzuführen
den Stabilitätstest sowie eine arithmetisch besonders günstige Filterstruktur. Kapitel 7 be
handelt die Frage aufwandsgünstiger Filterung unter Veränderung der Abtastfrequenz
(multirate jiltering), und in Kapitel 8 werden komplexe Signale sowie Filter mit komplexen
4 Vorwort
KoeffIzienten vorgestellt. Mit der Diskussion der Wellendigitalfilter und ihrer Realisierung
bildet Kapitel 9 den Abschluß.
Der Thxt ist als einführendes Lehrbuch konzipiert. Manche theoretischen Grundlagen -
z.B. z-Transformation, Abtasttheorem oder Grundzüge der Signaltheorie - sind bewußt
knapp behandelt oder ganz weggelassen. Ihnen ist in anderen Bänden der gleichen Reihe
(Böhme, 1993; Fettweis, 1990b; Kammeyer und Kroschel, 21992) breiterer Raum gewidmet.
Über die im Thxt vermittelten Kenntnisse hinaus will das Buch auch zum Weiterstudium
anregen. Diesem Zweck dienen die zahlreichen eingestreuten Literaturhinweise (die aller
dings keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben) sowie eine kleine Bibliographie, die
grob nach den Abschnitten des Buches klassifiziert ist. Häufig sind auch Hinweise auf Lehr
bücher der Netzwerk-und Systemtheorie kontinuierlicher Systeme sowie auf mathemati
sche Nachschlagewerke gegeben, dies in erster Linie als Hilfestellung für den Nichtnach
richtentechniker. Hinweise auf andere Lehrbücher der digitalen Signalverarbeitung sind im
wesentlichen nur dann eingestreut, wenn das behandelte Gebiet in dem jeweiligen Lehr
buch besonders ausführlich dargestellt ist oder ein spezielles Forschungsgebiet des jeweili
gen Autors darstellt.
Am Ende der Kapitel 2, 3, 4 und 6 sind einige Übungsaufgaben (mit Angabe der Lösun
gen) eingestreut. In den Kapiteln 5, 7 und 9 sind die Übungsaufgaben ersetzt durch die Be
handlung eines konkreten Filterentwurfsbeispiels (siehe Abschnitt 5.2.3); das gleiche Filter
wird in verschiedenen Ausführungen mit verschiedenen Verfahren entworfen, und die ein
zelnen Varianten werden einander gegenübergestellt.
Neben der Beseitigung einiger offensichtlicher Mängel sowie der Umstellung der Vorla
ge auf ein zeitgemäßes Thxtverarbeitungssystem tragen die Erweiterungen der 2. Auflage
vor allem neueren Entwicklungen auf dem Gebiet der Filterentwurfsverfahren Rechnung.
Erweitert wurden u.a. die Abschnitte über Allpässe, Passivität und Verlustfreiheit, Über
laufverhalten, Systeme zur Veränderung der Abtastfrequenz sowie BruckenwellendigitalfIl
ter. Neu hinzugekommen sind u.a. Abschnitte über abstimmbare Filter, zur Eigenwertme
thode für den Entwurf nichtrekursiver Filter sowie über PolyphasenfIlter und IFIR-Filter,
eine Diskussion zur Übertragbarkeit von Entwurfsverfahren für frequenzselektive Filter
auf den Entwurf von Entzerrerfiltern und schließlich die Lösungen zu den Übungsaufgaben.
Der Gesamtumfang des Buches ist gegenüber der Erstauflage um etwa 12% gewachsen.
Allen Personen, die die Entstehung dieses Buches gefördert haben, darf ich an dieser
Stelle herzlich danken. Zuerst gilt mein Dank Herrn Dr. Schlembach vom Teubner-Verlag,
der die Erstellung beider Auflagen mit Rat und Tht unterstützt hat. Ohne seine Anfrage und
Anregung wäre das Manuskript wohl als Vorlesungsskript in meiner Schreibtischschublade
liegengeblieben. Des weiteren danke ich den Herren Kollegen Heute und Fettweis (heide
in Bochum) sowie meinem Mitarbeiter, Herrn Dipl.Phys. D. Lanre, für ihre Mühe und ihre
konstruktive Kritik bei der Durchsicht des Manuskripts zur Erstauflage. Den Hörerinnen
und Hörern meiner Vorlesungen sei für ihre Fragen und Diskussionsbeiträge gedankt. Ins
besondere danke ich jedoch meiner Frau Helga und meinen beiden Töchtern Patrizia und
Eurydice für ihre Liebe und Geduld und für ihren Beitrag in Form von Manuskriptabenden
und -wochenenden, ohne die keine der beiden Auflagen hätte fertiggestellt werden können.
Bonn und München, im August 1993 Wolfgang Hess
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung, Grundbegriffe der Signalverarbeitung .................... 11
1.1 Signal und Signal darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Der Begriff des Signals 12
1.1.2 Darstellung digitaler Signale 13
1.2 Der Begriff des Systems ........................................ 16
1.2.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 16
1.2.2 Grundsätzlicher Aufbau eines Systems der
digitalen Signalverarbeitung 19
1.3 Grundstruktur und Zustandsgleichung linearer digitaler Filter .... . . . . 20
1.3.1 Elemente digitaler Filter 20
1.3.2 Grundstruktur, Zustandsgleichung, Systemeigenschaften 22
1.3.3 Die wichtigsten Filtertypen 23
2. Beschreibung digitaler Filter in Zeit-und Frequenzbereich .... 26
2.1 Die z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Die einseitigez-ltansformation 26
2.1.2 Die zweiseitige z-ltansformation 32
2.2 Übertragungsfunktion und Grundstruktur
des digitalen Filters koten Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Die direkte Struktur. Übertragungsfunktion 33
2.2.2 Kanonische Direktstrukturen 35
2.2.3 Kaskaden-und Paralle1struktur 37
2.2.4 Prädiktorfilter und Transversalfilter 39
2.3 Übergang zu zeitkontinuierlichen Systemen; Abtastung . . ... . . . . . . . . . 41
2.3.1 Frequenzdarstellung in der z-Ebene
und für kontinuierliche Signale 41
2.3.2 Abtastung und Abtasttheorem 42
2.3.3 Beziehung zwischen der analogen und der digitalen Darstellung
im Frequenzbereich 45
6 In ha 1t sverze ichnis
2.4 Diskrete Fouriertransformation und inverse z-Transformation . . . . . . . . . 48
2.4.1 Die diskrete Fouriertransformation
als Sonderfall der z-Transformation 48
2.4.2 Inverse z-Transformation 49
2.5 Frequenzgang, Gruppenlaufzeit, Impulsantwort .................... 50
2.5.1 Frequenzgang und Gruppenlaufzeit 50
2.5.2 Impulsantwort 55
2.5.3 Stabilität, Pseudoleistung und Pseudoenergie 56
2.6 Signalflußgraph und Signalflußmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.1 Darstellung digitaler Filter mit Hilfe von
Signalflußgraph und -matrix 59
2.6.2 Berechnung der Übertragungsfunktion 63
2.6.3 Strukturumwandlung durch Aquivalenztransformation 65
2.6.4 Erweiterung der Zahl der Knoten; nichtkanonische Strukturen 68
2.6.5 Teil-und Restübertragungsfunktionen; transponierte Struktur 69
2.7 Praktische Berechnung von Signalen und Systemfunktionen .......... 71
2.7.1 Realisierung und Realisierbarkeit
einer gegebenen Filterstruktur 71
2.7.2 Praktische Berechnung von Übertragungsfunktionen 73
Übungsaufgaben zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Lösungen zu den Übungsaufgaben 77
3. Spezielle Systeme: Digitale Filter 1. und 2. Grades;
Allpässe; minimalphasige und linearphasige Filter ................... 80
3.1 Das digitale Filter 1. Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1.1 Zustandsgleichung und Struktur 80
3.1.2 Das rein rekursive Filter 1. Grades 82
3.1.3 Das nichtrekursive Filter 1. Grades 82
3.2 Das digitale Filter 2. Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Rein rekursives digitales Filter 2. Grades mit komplexen Polen 84
3.2.2 Spezielle Strukturen für rein rekursive digitale Filter 2. Grades 90
3.2.3 Das nichtrekursive digitale Filter 2. Grades 95
3.3 Allpaßfiiter - Eigenschaften und Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Übertragungsfunktion und Strukturen 98
3.3.2 Pseudopassivität und Pseudoverlustfrciheit 102
3.3.3 Laufzeitausgleich 104
3.3.4 Fiiterweichen; komplementäre Filter, Brückenschaltungen 104
3.3.4 Notch-Filter (Kerbfilter) 106
3.4 Minimalphasige Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Inhaltsverzeichnis 7
3.5 Linearphasige Filter. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.1 Grundeigenschaften 111
3.5.2 Nichtkausaler Ansatz 113
3.5.3 Die vier Grundformen 115
Übungsaufgaben zu Kapitel 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Lösungen zu den Übungsaufgaben 119
4. Verhalten realer digitaler Filter; Realisierungsmöglichkeiten .. 121
4.1 Verhalten realer digitaler Filter bei Quantisierung; Fehleranalyse . . . . . . 123
4.1.1 Verhalten linearer digitaler Systeme
bei endlicher Wortlänge der Koeffizienten 124
4.1.2 Verhalten digitaler Filter bei Beschränkung
des Wertevorrats der Zustandsvariablen (Uberlaufverhalten) 131
4.1.3 Verhalten digitaler Filter bei Vorhandensein von
Rundungsfehlern (endliche Wortlänge der
Zustandsvariablen, Grenzzyklen) 143
4.1.4 Quantisierungs-und Rundungsrauschen 151
4.2 Beispiele für die arithmetische Realisierung digitaler Filter . . . . . . . . . . . 159
4.2.1 Konzentrierte Arithmetik 159
4.2.2 Verteilte Arithmetik 161
4.2.3 Multipliziererfreie Strukturen 165
4.3 Realisierung nichtrekursiver Filter hohen Grades
durch segmentweise schnelle Faltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.3.1 Diskrete Faltung mit Hilfe der Fouriertransformation 168
4.3.2 Segmentweise diskrete Faltung 172
Übungsaufgaben zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Lösungen zu den Ubungsaufgaben 178
5. Ausgewählte Entwurfsverfahren für digitale Filter bei
Entwurfsvorschriften im Frequenzbereich ................................. 181
5.1 Frequenztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 182
5.1.1 Toleranzschema und normierter Tiefpaß 182
5.1.2 Allpaßtransformationen 183
5.1.3 Die Bilineartransformation 187
5.1.4 Reaktanztransformationen 188
5.2 Durchführung des Filterentwurfs mit Hilfe des Filterkataloges
sowie der Frequenztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2.1 Umwandlung von Tief-und Hochpässen
in den normierten Tiefpaß 190
8 Inhaltsverzeichnis
5.2.2 Umwandlung eines symmetrischen Bandpasses
in den normierten Tiefpaß 191
5.2.3 Ablauf des Filterentwurfs; Untersuchung eines Beispiels 193
5.2.4 Abstimmbare Filter 196
5.3 Entwurf frequenzselektiver rekursiver digitaler Filter ohne
Zuhilfenahme des Filterkatalogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3.1 Entwurf in der w-Ebene. Die charakteristische Funktion 197
5.3.2 Einige Standardlösungen 201
5.3.3 Ausblick auf einige weitere Entwurfsverfahren 203
5.4 Entwurf nichtrekursiver Filter - Wunschfunktion,
Thleranzschema, Frequenztransformationen ....................... 204
5.4.1 Kurzer Überblick über die diskutierten Verfahren 204
5.4.2 Frequenztransformationen für nichtrekursive Filter 206
5.5 Kleinste-Quadrate-Approximation für nichtrekursive Filter. . . . . . . . . . . 207
5.5.1 Approximation mit abgebrochener Fourierreihe 207
5.5.2 Modifizierte Fourierapproximation 209
5.5.3 Frequenzabtastverfahren 213
5.5.4 Eigenwertmethode 217
5.5.5 Erweiterung der Eigenwertmethode auf beliebige
nichtrekursive Filter 224
5.6 Thchebyscheffapproximation für linearphasige Filter. . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.6.1 Optimale Approximation im Thchebyscheffschen Sinn 227
5.6.2 Der Algorithmus von McOellan und Parks 228
5.6.3 Varianten 234
5.7 Entwurf frequenzselektiver minimalphasiger Filter
mit Thchebyscheffverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.7.1 Umwandlung eines linearphasigen Filters
in ein Minimalphasenfilter unter Berechnung der Nullstellen 240
5.7.2 Entwurf von Minimalphasenfiltern
mit teilweiser Berechnung der Nullstellen 243
5.7.3 Entwurf ohne Bestimmung der Nullstellen 245
5.8 Zum Entwurf von Entzerrerfiltern ....... .......... ..... ....... ... 255
6. Das Prinzip der linearen Prädiktion - oder der Entwurf eines
(rekursiven) Digitalfilters im Zeitbereich durch optimale
Annäherung der Impulsantwort .................................................. 258
6.1 Das Prinzip der linearen Prädiktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.2 Lineare Prädiktion nach der Methode des kleinsten Fehlerquadrats . . . . 261
6.2.1 Bemerkungen zur Kurzzeitanalyse 262
6.2.2 Kovarianzmethode oder nichtstationärer Ansatz 265
Inhaltsverzeichnis 9
6.2.3 Autokorrelationsmethode oder stationärer Ansatz 265
6.2.4 Betrachtung im Frequenzbereich 267
6.3 Rekursive Berechnung der Prädiktorkoeffizienten. Partielle Korrelation 249
6.3.1 Die Orthogonalitätsbeziehung 270
6.3.2 Rekursive Berechnung der Prädiktorkoeffizienten 274
6.4 Stabilitätsprüfung. Kreuzglied-und Leiterstrukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.4.1 Stabilitätsprüfung 279
6.4.2 Kreuzglied-und Leiterstrukturen 281
6.4.3 Einbinden des nichtrekursiven Teils in die
rekursive Kreuzgliedstruktur 286
6.4.4 Die lineare Prädiktion und der Entwurf von Entzerrerfiltern 288
6.5 Allpässe und linearphasige Filter in Kreuzgliedstruktur . . . . . . . . . . . . . . 288
Übungsaujgaben zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Lösungen zu den Übungsaujgaben 296
7. Filter mit reduziertem Aufwand unter Veränderung der
Abtastfrequenz ........ ....................... ............................................... 300
7.1 Prinzip der Erhöhung und Erniedrigung der Abtastfrequenz um einen
ganzzahligen Faktor ("decimation" und "interpolation"). . . . . . . . . . . . . . 301
7.1.1 Erhöhung um einen ganzzahligen Faktor 301
7.1.2 Erniedrigung um einen ganzzahligen Faktor 303
7.1.3 Veränderung der Abtastfrequenz um einen Faktor q=qA/% 305
7.2 Entwurfvon Interpolationsfiltern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.2.1 Idealer Interpolator 306
7.2.2 Lagrangeinterpolation 307
7.2.3 Entwurf von Interpolatorfiltern mit Hilfe einer
modifizierten Tschebyscheffapproximation 311
7.2.4 Weitere Entwurfsverfahren 313
7.2.5 Das Halbbandfilter 315
7.3 Zeitvariante Strukturen. Polyphasenprinzip und IFIR-Filter .......... 319
7.3.1 Realisierung des Tiefpaßfilters bei der Erhöhung der
Abtastfrequenz in zyklisch zeitvarianter Form 319
7.3.2 Das Polyphasenprinzip 322
7.3.3 Mehrstufige Anordnungen zur Veränderung der Abtastfrequenz 328
7.3.4 Mehrstufige Anordnungen ohne Änderung der
Abtastfrequenz. IFIR-Filter 331
7.4 Beispiel: Entwurf eines mehrstufigen Tiefpaßfilters und
Aufwandsvergleich verschiedener Entwurfslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7.4.1 Zweistufige Realisierungen mit Halbbandfiltern 335
7.4.2 Aufwandsvergleich 337
