Differentialgeometrie: Kurven und Flächen

207 Pages·1997·7.25 MB·German

by  Prof. Dr. Volkmar Wünsch (auth.)

V. Wünsch
Differentialgeometrie
Differentialgeometrie
Kurven und Flächen
Von Prof. Dr. Volkmar Wünsch
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart . Leipzig 1997
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Günter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Otfried Beyer
Autor:
Prof. Dr. Volkmar Wünsch
Friedrich-Schiller-Universität Jena
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Wünsch, Volkmar:
Differentialgeometrie : Kurven und Flächen /
von Volkmar Wünsch.
[Verantw. Hrsg. dieses Bd.: Otfried Beyer). -
Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1997
(Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler)
ISBN 978-3-8154-2095-9 ISBN 978-3-663-05981-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05981-3
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© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997
Umschlaggestaltung : E. Kretschmer, Leipzig
Meinem verehrten Lehrer
Professor Dr. Paul Günther
(1926 -1996)
zum Gedenken
Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen,
nicht das Besitzen, sondern das Erwerben,
nicht das Dasein, sondern das Hinkommen,
was den größten Genuß gewährt. Wenn ich
eine Sache ganz ins Klare gebracht und
erschöpft habe, so wende ich mich davon weg,
um wieder ins Dunkle zu gehen; so sonderbar
ist der nimmersatte Mensch, hat er ein Gebäude
vollendet, so ist es nicht, um ruhig darin zu
wohnen, sondern um ein anderes anzufangen.
earl Friedrich Gauß (1777-1855)
Vorwort
Die Geschichte der Differentialgeometrie ist eng mit der Entwicklung der Infini
tesimalrechnung und der analytischen Geometrie einerseits, mit der Geodäsie,
der Kartographie und der Physik andererseits verknüpft. Sie ist zwar durch
Idealisierung der Erfahrungswelt entstanden, hat sich aber im Laufe der letzten
beiden Jahrhunderte zu einer deduktiven, mit strengen Beweisen arbeitenden
Wissenschaft herausgebildet. Heute sind zahlreiche Disziplinen der Mathema
tik, aber auch der Physik und Technik mit differentialgeometrischen Begriffs
bildungen durchsetzt. Diese interdisziplinäre Verzahnung - man denke etwa an
die Darstellung geometrischer Objekte mit den Methoden der Numerik und
Informatik (CAGD) oder an die Geometrisierung der modernen Physik - hält
unvermindert an.
Mit dem vorliegenden Buch wird einem möglichst großen Interessentenkreis eine
brauchbare Grundlage für eine klassisch- und anwendungsorientierte Kurven
und Flächentheorie geliefert. In der Differentialgeometrie kann ein Studieren
der die in der Differential- und Integralrechnung sowie in der analytischen
Geometrie erworbenen Techniken anwenden und geometrische Vorstellungen
entwickeln. Dem Leser sollen Brücken zwischen Theorie und Praxis aufgezeigt
werden. Im Vordergrund stehen die lokale Differentialgeometrie und ihre An
wendungsmöglichkeiten, wobei lokale und globale Aspekte klar unterschieden
werden. Gelegentlich wird dem technisch Wichtigen der Vorrang vor dem geo
metrisch Wertvollen eingeräumt. Gleichwohl sollen die technischen Anwendun
gen nicht von den geometrischen Grundgedanken ablenken. Differentialgeo
metrie wird eben nicht nur als Grundlage technischer Bildung, sondern auch
wegen ihres Stellenwertes im Rahmen der Mathematik und ihrer kulturellen
Bedeutung betrieben. Neben den Anwendern sind daher die geometrisch in
teressierten Mathematiker und Lehrer angesprochen, die auch der Auffassung
sind, daß der Anschauung verpflichtete Geometrie mit der nötigen Strenge ge
lehrt werden sollte.
Natürlich mußte aus der Fülle des zur Verfügung stehenden Stoffes eine strenge
Auswahl getroffen werden. Besonderer Wert wird auf die klare Herausarbei
tung der Grundbegriffe und ihre geometrische Veranschaulichung gelegt. Der
8 Vorwort
"harte Kern" der Flächentheorie in Abschnitt 4.6 ist straff gehalten und kann
vom Anwender bei erster Lektüre überschlagen werden. Bezüglich des weite
ren Aufbaus der Theorie, insbesondere der globalen Differentialgeometrie, der
konstruktiven Geometrie, der geometrischen Datenverarbeitung, zusätzlicher
physikalischer und technischer Anwendungen sowie einiger Beweise muß auf
die Literatur verwiesen werden. Einen Ausblick auf weitere Anwendungen und
einen Abriß zur Geschichte der Differentialgeometrie findet der Leser am Buch
ende. Zahlreiche Abbildungen, Beispiele, Anwendungen, Aufgaben, Tabellen
und Rückverweise sollen zum Verständnis beitragen und Übungsmöglichkei
ten anbieten. Formalismen treten bewußt in den Hintergrund, das geometrisch
Wesentliche soll nicht vom analytischen Aufwand verdeckt werden. Als das
adäquate Werkzeug zur Beschreibung der geometrischen Eigenschaften erweist
sich der Tensorkalkül. Der Leser wird gewiß schnell einsehen, wie einfach Ten
soren zu handhaben sind, wenn er erst einmal die anfängliche Scheu" vor den
Indizes" verloren hat.
Dieses einführende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studierende der Inge
nieur- und Naturwissenschaften, aber auch der Mathematik, der Technomathe
matik und des Lehramtes. Möge es dazu beitragen, daß in stärkerem Ausmaß
als bisher an Universitäten und Fachhochschulen Differentialgeometrie auch
für Nichtmathematiker gelehrt wird.
Ich danke dem verantwortlichen Herausgeber dieses Bandes, Herrn Prof. Dr.
O. Beyer, sowie den Herren Doz. Dr. M. Belger, Doz. Dr. R. Illge und Doz.
Dr. R. Schimming für wertvolle Hinweise und Anregungen. Mein besonderer
Dank gilt Herrn N. Nerlich für die mit großer Sorgfalt vorgenommene Über
tragung des Manuskriptes in eine reproduktions reife Fassung, insbesondere für
die Gestaltung zahlreicher Bildentwürfe. Mit unerschöpflicher Geduld und mit
Elan ging er auf alle Wünsche des Autors und des Verlages ein und trug so
wesentlich dazu bei, dem Buch eine ansprechende Form zu geben.
Nicht zuletzt spreche ich dem Verlag B. G. Teubner, insbesondere Herrn J.
Weiß, für die verständnisvolle gute Zusammenarbeit meinen verbindlichen
Dank aus.
Jena, im Februar 1997 Volkmar Wünsch
Inhalt
o
Vorbereitungen................................................ 11
0.1 Der Euklidische Raum ffi3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Vektorfunktionen ............................ " . .. . .. . . .. . .. .. .. . 20
1 Lokale Kurventheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1 Der Kurvenbegriff. ............................................... 30
1.2 Bogenlänge...................................................... 39
1.3 Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion ............. " . .. . 44
1.4 Frenetsche Gleichungen .................... , .. . . . . . .. . .. . ... .. . .. 50
1.5 Fundamentalsatz der Kurventheorie, Invarianten.. . . .. .. . . .. .. . . . . 56
1.6 Krümmung und Torsion bei beliebiger Parametrisierung. . . . . . . . . . . 59
1. 7 Anwendungen in der Mechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Ebene Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1 Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Singuläre Punkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 Fraktale Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4 Evolute und Evolvente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 Einige bedeutende ebene Kurven .. " ..................... '" .. . . . 83
3 Globale Eigenschaften ebener Kurven....................... 88
3.1 Die isoperimetrische Ungleichung ......................... '" .. " . 89
3.2 Der Umlaufsatz .. . . . ... . . . . .. . . . . . .. . .. . .. .. . .. . . . . . . . . .. . .. .. . . . 90
3.3 Konvexe Kurven und Vierscheitelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Lokale Flächentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1 Der Flächenbegriff ............................................... 95
4.2 Tangentialebene, Gaußsches begleitendes Dreibein. . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Die erste Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Die zweite Fundamentalform ...... " ........ " . .. . ... . .. . .. . .. .. . 111
4.5 Die Krümmungen einer Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6 Ableitungsgleichungen, Theorema egregium, Fundamentalsatz . . .. 129
4.7 Geodätische Krümmung, geodätische Linien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10 Inhalt
5 Spezielle Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1 Regelfächen..................................................... 143
5.2 Drehflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 Nichteuklidische Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5 Schraubflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.6 Minimalflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.7 Flächen konstanter mittlerer Krümmung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6 Abbildungen von Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.1 Isometrische Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Konforme Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Weitere Abbildungen von Flächen. . .. .. . . . .. . . .. . .. . . . . . . . .. . . . . . 171
6.4 Kartennetzentwürfe.............................................. 173
7 Globale Eigenschaften von Flächen.......................... 176
7.1 Der Integralsatz von Gauß-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.2 Eiflächen........................................................ 183
8 Ausblick: Weitere Anwendungen der Differentialgeometrie 185
9 Abriß zur Geschichte der Differentialgeometrie............ 188
Lösungen der Aufgaben...................................... 191
Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Bildquellennachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Sachregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
o
Vorbereitungen
0.1 Der Euklidische Raum IR3
Da wir Kurven und Flächen im Euklidischen Raum IR3 studieren wollen, be
ginnen wir mit der Zusammenstellung einiger algebraischer Eigenschaften des
IR3 (s. [Bär], [Fil], [Eis], [HRS], [MSV], [Zei]).
Mit IR3 bezeichnen wir den Vektorraum aller geordneten Tripel x = (Xl, X2, X3)
reeller Zahlen Xl, X2, X3, auf dem durch
(0.1)
ein Skalarprodukt erklärt ist. Der Nullvektor 0 E IR3 und die Vektoren el, e2, e3
der kanonischen (natürlichen) Basis des IR3 sind definiert durch 0 ;= (0,0,0)
und
el ;= (1,0,0), e2 ;= (0,1,0), e3 ;= (0,0,1). (0.2)
Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahlen A E ]R3 erfolgen gemäß
Die reelle Zahl
(004)
heißt Norm (auch Betrag oder Länge) von x E IR3. Hierfür gilt die Dreiecks
ungleichung
Ix+yl lxi + lyl· (0.5)
~
Für x, y E IR3 heißt
d(x, y) Ix - yl (0.6)
;=
(Euklidischer )Abstand von x und y. Sind x, y i= 0, so heißt die durch
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