Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil: Anwendungen

342 Pages·2012·1.92 MB·German

by  Robert Fricke (auth.)

Die elliptischen
Funktionen
und ihre Anwendungen

Robert Fricke
Die elliptischen
Funktionen
und ihre Anwendungen
Dritter Teil
Anwendungen
AusdemNachlassherausgegebenvon
ClemensAdelmann,JürgenElstrodtundElenaKlimenko
Autor
GeheimerHofratProf.Dr.RobertFricke(1861–1930)
TechnischeHochschuleBraunschweig
Braunschweig
Deutschland
Herausgeber
Dr.ClemensAdelmann Prof.Dr.ElenaKlimenko
InstitutfürAnalysisundAlgebra MathematischesInstitut
TechnischeUniversitätBraunschweig UniversitätDüsseldorf
Pockelsstraße14 Universitätsstraße1
38106Braunschweig 40225Düsseldorf
Deutschland Deutschland
[email protected] [email protected]
Prof.Dr.JürgenElstrodt
MathematischesInstitut
UniversitätMünster
Einsteinstraße62
48149Münster
Deutschland
[email protected]
ISBN978-3-642-20953-6 e-ISBN978-3-642-20954-3
DOI10.1007/978-3-642-20954-3
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
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11F27,11G15,14H50,30F35,51M10,65D20.
©SpringerVerlagBerlinHeidelberg2012
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FRITZ GRUNEWALD
(1949–2010)
zum Geda¨chtnis
Robert Fricke
Vorwort der Herausgeber
ImVorwortderzweitenAuflagedeserstenTeilsseinesBuchsu¨berDieelliptischen
Funktionen und ihre Anwendungen (Leipzig und Berlin: Teubner 1930) schrieb
Robert Fricke im Juni 1930 u¨ber den geplanten dritten Teil: Der dritte, noch in
”
derBearbeitungbefindlicheBandsolleinigeAnwendungenderelliptischenFunk-
tionenbehandeln.IneinerEinleitungwerdendieMethodenundHilfsmittelzurnu-
merischen Berechnung der elliptischen Integrale und Funktionen gegeben. ... In
einemerstenvondreiAbschnittenwerdengeometrischeAnwendungenbesprochen,
imzweitenarithmetische.EndlichsollderdritteAbschnitteinigemechanischeund
physikalischeAnwendungenbehandeln.DielangeZwischenzeitseitErscheinendes
zweiten Bandes ist dem dritten jedenfalls insofern zugute gekommen, als es in-
zwischengelang,diearithmetischenAnwendungenaneinergewissen,auchdieall-
gemeineTransformationstheoriebetreffendenStelleneuerdingswesentlichzuver-
tiefen.DerTextderEinleitungundderbeidenerstenAbschnitteistfertigbearbeitet.
WennmirdieKraftbleibt,hoffeich,imLaufedesna¨chstenJahresdendrittenBand
herausgebenzuko¨nnen“.
Diese Hoffnung des Autors erfu¨llte sich nicht, denn Robert Fricke starb am
18.Juli 1930. Das Manuskript des dritten Bandes fand sich in seinem Nachlass
im oben beschriebenen Zustand vor: Der mathematische Teil existiert als fertiges
Schreibmaschinenmanuskript, in das Fricke die Formeln handschriftlich eingetra-
gen hat. Dieser Teil endet mit der (sog. ersten) Kroneckerschen Grenzformel.
Von diesem mathematischen Teil des Werks gibt es u¨berdies ein Manuskript von
der Hand des Verfassers. Vom geplanten dritten Abschnitt, der mechanische und
physikalischeAnwendungenbehandelnsollte,gibtesnureinenhandgeschriebenen
Entwurf eines Kapitels u¨ber die analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks.
Auseinemebenfallshandgeschriebenenfru¨herenEntwurfdesInhaltsverzeichnisses
des dritten Bandes geht hervor, welche weiteren physikalischen Anwendungen
Fricke im Sinn hatte: Ebenes und spha¨risches Pendel, Bewegung starrer Ko¨rper,
Kreiselbewegung, Wa¨rmeleitung, elastische Linien und Bewegungsmechanismen.
InsgesamtdecktsichdasSpektrumdermathematischenundphysikalischenAnwen-
dungsgebiete weitgehend mit denjenigen, die Fricke in seinem profunden Beitrag
u¨ber Elliptische Funktionen in Heft II B 3 der Encyklopa¨die der mathematischen
vii
viii VorwortderHerausgeber
Wissenschaftenbehandelthat.DieserArtikelgibteinenausgezeichnetenU¨berblick
u¨ber den behandelten Gegenstand bis zum Jahr 1913 und ist dank seiner um-
fassendenAuswertungderbiszumErscheinungsjahrpubliziertenLiteraturnachwie
vorvongro¨ßtemWert.NacheigenemBekundenverdankteFrickedieAnregungzu
seinemWerku¨berelliptischeFunktionenderArbeitandiesemEnzyklopa¨diebeitrag.
DiemathematischenAbschnittedesFrickeschenManuskriptszuBd.IIIsindals
abgeschlossenanzusehen.SieenthalteninAbschnittIeinenbuntenStraußgeome-
trischerAnwendungen,z.B.dieBogenla¨ngenvonLemniskate,EllipseundHyper-
bel, den Satz von Gauß u¨ber die Lemniskatenteilung, den Zusammenhang ebener
KurvendrittenGradesmitelliptischenFunktionenunddieWirkungderzugeho¨rigen
Transformationsgruppen,diePonceletschenPolygone,diegeoda¨tischenLinienauf
dem Umdrehungsellipsoid und den Zusammenhang zwischen spha¨rischer Trigo-
nometrieunddemAdditionstheoremelliptischerFunktionen.Unterdenarithmeti-
schenAnwendungenwidmetFrickederkomplexenMultiplikationderelliptischen
Funktionen und den Klassengleichungen seine besondere Aufmerksamkeit. Ein
erstes Ziel ist hier zuna¨chst ein Beweis des Satzes von Abel, demzufolge bei Vor-
liegen komplexer Multiplikation der singula¨re Modul“ j(ω) durch Wurzelziehen
”
im Bereich der rationalen Zahlen bestimmt werden kann. Zweites Ziel ist an-
schließenddieexpliziteBerechnungdieser Klasseninvarianten“.Alsentscheiden-
”
desHilfsmitteldientFrickedabeidassog. Klassenpolygon“.ImVorwortzuBd.II
”
des vorliegenden Werks bezeichnet er das Klassenpolygon als ein beziehungs-
”
reiches Gebilde, das die fru¨h bemerkte Beziehung der elliptischen Funktionen zur
Theorie der ganzzahligen bina¨ren quadratischen Formen in klarster Weise darlegt
undsichalseinwertvollesHilfsmittelzurBehandlungderTransformationstheorie
erwies“. Wa¨hrend zuvor bei zahlentheoretischen Anwendungen nur Modulformen
eingesetztwurden,zeigtFrickehiererstmalsdenNutzenderTheoriederautomor-
phen Formen fu¨r arithmetische Untersuchungen. Weitere zahlentheoretische An-
wendungenbetreffendenZusammenhangzwischenDarstellungsanzahlengewisser
quaterna¨rer quadratischer Formen und Teilersummen sowie die Bestimmung von
Klassenzahlrelationen.DasManuskriptendetziemlichabruptmitderHerleitungder
KroneckerschenGrenzformel.ObderVerfassernochAnwendungendieserFormel
geplanthat,istnichtbekannt.
Schon wenige Monate nach Frickes Tod wandte sich seine Familie an das Ver-
lagshausTeubnermitderBitteumeineHerausgabedesdrittenBandes.DerGang
derdamaligenU¨berlegungenla¨sstsichanHandvonBriefenausdemNachlassvon
Helmut Hasse nachvollziehen, die Clemens Adelmann in der Niedersa¨chsischen
Staats-undUniversita¨tsbibliothekGo¨ttingenaufgefundenhat,undanHandzweier
weiterer Briefe, die Emmy Noether an Frickes Tochter Gertrud Landauer schrieb.
Wirbeschra¨nkenunshieraufeineZusammenfassungderwesentlichenPunkte:Auf
Vorschlag des Funktionentheoretikers und Geometers Ludwig Bieberbach wandte
sichderTeubner-VerlagwegenderEditionundVervollsta¨ndigungdesFrickeschen
Manuskripts zuna¨chst an Lothar Koschmieder und informierte Frickes Familie
u¨ber diesen Schritt. Daraufhin schrieb Frickes Tochter Gertrud Landauer an Em-
my Noether mit der Bitte um Rat. Diese nannte in ihrem Antwortschreiben vom
29.September 1930 Lothar Koschmieder als Herausgeber ganz geeignet“ und
”
VorwortderHerausgeber ix
bezeichneteihnalseinen gutenKennerderelliptischenFunktionen“.Weiterdisku-
”
tierte sie die Option, an Hand des handschriftlichen Inhaltsverzeichnisses noch
”
einigephysikalischeAnwendungenzufu¨gen“zulassen;alternativ wa¨rejanochdie
”
Mo¨glichkeit,vonderwirauchinHarzburgzuerstsprachen,nurdiebeidenfertigen
erstenTeileals3.Bandzubringen“.DemgesamtenTenornachschieneseineaus-
gemachteSachezusein,dassdasManuskriptgedrucktwerdenwu¨rde–schließlich
hatteRobertFrickein40JahrenfruchtbarerZusammenarbeit(anfangsgemeinsam
mitFelixKlein)etlichegewichtigeWerkebeiTeubnerpubliziert.
Inzwischen hatte Koschmieder in seiner Antwort an den Verlag Helmut Hasse
alsHerausgebervorgeschlagen,daeinwesentlicherTeildesBuchmanuskriptsarith-
metischen Anwendungen gewidmet sei. Zweifellos war Hasse fu¨r die Herausgabe
des zahlentheoretischen Teils geradezu pra¨destiniert, hatte er doch damals gerade
seine Neue Begru¨ndung der komplexen Multiplikation (J. reine angew. Math. 158
(1927),228–259;II.ibid.165(1931),64–88)vollendet.Koschmiedererkla¨rtesich
u¨berdiesgrundsa¨tzlichbereit,beiBedarfdenAbschnittu¨bergeometrischeAnwen-
dungenherauszugebenunddenfehlendenAbschnittu¨berphysikalischeAnwendun-
genneuzuschreiben.
In den folgenden Briefen von 9. und 23. Dezember 1930 an Hasse machte der
Teubner-Verlagjedochnachdru¨cklichaufdiewirtschaftlichenRisikendesProjekts
aufmerksamundfu¨hrteaus,dasseinwenigstensdieKostendeckenderAbsatzdes
Buchs vonentscheidenderBedeutung“sei.HierwirdderErnstderwirtschaftlichen
”
LageinderZeitderWeltwirtschaftskrisenach1929deutlich.BereitsindenJahren
nach dem Ersten Weltkrieg war der Verlag B.G.Teubner in erhebliche finanzielle
Bedra¨ngnis geraten und konnte sich nicht mehr im bisherigen Umfang fu¨r das
Fach Mathematik engagieren. Das Hassesche Gutachten an den Verlag existiert
wahrscheinlichnichtmehr,dochgehtausderfolgendenKorrespondenzhervor,dass
esmitBezugaufdenzahlentheoretischenTeildasWort u¨berholt“enthielt.DerVer-
”
lag erhob daraufhin gro¨ßte Bedenken gegen die Vero¨ffentlichung“. Koschmieder
”
widersprachundlegtedar,dassder weitumfa¨nglichere“ nichtzahlentheoretische
”
Teil von Dingen handelt, die schon ihre klassischeGestalt haben und daher nicht
”
veraltenko¨nnen“.AuchHassewidersprachdemVerlagineinemBriefvom2.Mai
1931underkla¨rte,dass auchderzahlentheoretischeTeilgegenu¨berdenbishervor-
”
liegendenDarstellungendiesesGebietsstofflichsovielNeues“ enthalte, daßeine
”
Drucklegungganzgewißlohnenderscheint.“ SeineKritikhabesichhauptsa¨chlich
auf die Frickesche Darstellungsmethode“ bezogen; in dieser Hinsicht“ seien
” ”
in der letzten Zeit ... Fortschritte“ gemacht worden, die Fricke aber gar nicht
”
habe beru¨cksichtigen ko¨nnen, um nicht die Einheitlichkeit des Gesamtwerks zu
gefa¨hrden.Zusa¨tzlichbegru¨ndeteHasseausfu¨hrlichseineMeinung,dassdurchaus
ein ausreichender Absatz des Werks zu erwarten sei. Nach weiteren brieflichen
DiskussionenkamamEndejedocheinePublikationdesFrickeschendrittenBandes
durchdenTeubner-Verlagnichtzustande.
In ihrem zweiten Brief an Gertrud Landauer vom 12. August 1931 bemu¨ht
sich Emmy Noether, die Absage des Teubner-Verlags zu erkla¨ren: Ich glaube Sie
”
habenganzrichtigerkannt,daßinderMathematikaugenblicklicheinestarkeVer-
schiebung der Interessen sich vollzogen hat – ein U¨bergang von der durch Klein