Die Differentialgleichungen des Ingenieurs: Darstellung der für die Ingenieurwissenschaften wichtigsten gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen sowie der zu ihrer Lösung dienenden genauen und angenäherten Verfahren einschließlich der mechanisc

551 Pages·1914·14.832 MB·German

by  Dipl.-Ing. Dr. phil. W. Hort (auth.)

Die
Differentialgleichungen
des Ingenieurs
Darstellung der fur die Ingenieurwissenschaften wichtigsten ge
wahnlichen und partiellen Differentialgleichungen sowie der zu
ihrer Lasung dienenden genauen und angenaherten
Verfahren einschlieBlich der mechanischen
und graphischen Hilfsmittel
Von
Dipl.-Ing. Dr. phil. W. Hort
Ingenieur der Siemens·Schnckert· Werke
Mit 255 Textfiguren
Berlin
Verlag von Julius Springer
1914
ISBN-13:978-3-642-93741-5 e-ISBN-13:978-3-642-94141-2
DOl: 10.1007/978-3-642-94141-2
AIle Rechte, insbesondere das der Dbersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
Copyright by Julius Springer in Berlin 1914.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1914
Vorwort.
In den Lehrbiichern der Differential- und Integralrechnung,
die fiir die Zwecke der Ingenieure gedacht sind, finden auch die
Differentialgleichungen Beriicksichtigung. Zumeist gehen jedoch
diese Lehrbiicher iiber eine Anfangseinfiihrung in die Theorie
der Differentialgleichungen nicht hinaus, so daB der Lernende
nur einen fliichtigen Uberblick iiber das Gebiet erhalt.
Ferner werden die numerischen, graphischen und mechani
schen Verfahren zur Losung von Differentialgleichungen in der
vorhandenen Lehrbuchliteratur fast gar nicht beriicksichtigt.
Hiervon ausgehend habe ich versucht, die Lehre von den
Differentialgleichungen, soweit sie fiir den Ingenieur von Be
deutung ist, im Zusammenhang an wichtigen technischen und
physikalischen Beispielen darzustellen.
Urspriinglich hatte ich die Absicht, die Differential- und
Integralrechnung iiberall in dem Werke als bekannt voraus
zusetzen. Bald zeigte es sich jedoch als zweckmiWig, eine kurze
Darlegung zur Verstandigung vorauszuschicken, die als Ab
schnitt I erscheint. Hier habe ich den Versuch gemacht, 'zuerst
den Integralbegriff zu erortern und dann erst zum Differential
quotient en iiberzugehen, da mich die Ankniipfung an den Flachen
inhalt und an den Summenbegriff anschaulicher diinkt als qie
Ankniipfung an die Kurventangente, iiber deren inneren Zweck
der Lernende zunachst im unklaren bleibt.
Abgesehen von den so gewonnenen Grundtatsachen der
Differential- und Integralrechnung werden im Verlaufe des
Buches eine Reihe von Formeln benutzt, deren Ableitung mit
Riicksicht auf den verfiigbaren Raum nicht gegeben werden
konnte. Diese der Differential-und Integralrechnung entnommenen
Ansatze habe ich als rechnerisches jedem zur Verfiigung stehendes
Handwerkszeug betrachtet, zu welchem Standpunkt ich mich
berechtigt glaube, da es sich fast ausschlieBlich urn Tatsachen
IV Vonvort.
handelt, die im Tasehenbueh Hiitte naehgesehlagen werden
konnen. In den Anmerkungen habe ieh die betreffenden Stellen
der Hiitte zitiert. Ieh moehte hier nieht verfehlen, die mathe
matisehe Formelmmmlung der Hiitte als naeh meinen Erfahrungen
reeht gesehiekt ausgewahlt zu bezeiehnen. Ansatze. die die
Hiitte nieht gibt, sind ebenfalls in den Anmerkungen naeh
ihren Quellen namhaft gemaeht.
Bei der Behandlung des eigentliehen Themas des Buehes
habe ieh mieh zunaehst der iibliehen Einteilung der Differential
gleiehungen in gewohnliehe und partielle angesehlossen. Inner
halb dieser Einteilung werden die exakten Transformations- und
Substitutionsmethoden dargelegt und auf zahlreiehe Beispiele
der Teehnik und Physik angewendet.
Da ieh mogliehst aIle fUr Aufgaben des Ingenieurwesens
wiehtigen Methoden bring en wollte, habe ieh mieh veranlaBt
gesehen, die Reihenentwiekelungen naeh Frobenius nebst der
damit in Zusammenhang stehenden Ermittlung der logarithmen
behafteten Integrale linearer Differentialgleiehungen zu be
handeln. Bekanntlich werden diese Verfahren in der Behalter
theorie gebraueht. Daneben werden einige Fragen, die mit der
Teehnik nicht in unmittelbarem Zusammenhang stehen, wie
z. B. die Integration der Differentialgleiehungen der Planet en
bewegung, ihres allgemeinen Interesses halber erortert.
Einen ausgedehnten Raum nimmt die Bespreehung der
Instrumente zur Ausfiihrung von Integrationen sowie die Er
orterung graphiseher und reehneriseher Annaherungsverfahren ein.
Es ist wohl das erste Mal, daB diese Stoffe in einem Lehrbueh
der Differentialgleiehungen umfangreiehere Behandlung finden.
Im Interesse der Anwendungen sind aueh die Differenzen
gleiehungen wenigstens in einem kurzen AbriB aufgenommell
worden.
Die partiellen Differentialgleiehungen habe ieh von einem
etwas anderen Gesiehtspunkt aus behandelt. Einerseits gibt es
hier noeh verhaltllismaBig wenig Annaherungsverfahren, anderer
seits beriihrt die eigelltliehe Theorie der partiellen Differential
gleiehungen den Ingenieur fast gar nieht. Es handelt sieh stets
um das Stoffgebiet der Differentialgleiehungen der mathematisehen
Physik. Der zweite Teil des Buehes hat infolgedessen ein etwas
mehr theoretisehes Geprage als der erste. Ieh hoffe aber, daB
Vonvort. v
eine Darstel1ung der mannigfachen Operationen, die man mit
den partiellen Differentialgleichungen der Physik vornehmen
kann, auch lngenieuren willkommen sein wird. Die Gleichungen
del' Elastizitat, Hydrodynamik und Elektrodynamik sind ja
neuerdings zur Bewaltigung verwickelter praktischer Aufgaben
unentbehrlich geworden. lch erinnere nur an die Lorenzsche
Turbinentheorie und an die Ausgleichsvorgange auf
elektrischen Leitungen.
Sach- und Namenregister, Anmerkungen und Angaben der
benutzten und weiterer Literatur nebst Formelverzeichnis werden,
wie ich glaube, den Gebrauch des Buches erleichtern.
Beim AbschluB des Druckes ersehe ich aus Nr. 20 der Zeit
schrift des Vereines deutscher lngenieure, daB der deutsche
AusschuB fur technisches Schulwesen in seinem fiinften Bericht
den gleichen Anschauungen Ausdruck gibt, die mir den AnstoB
zur Abfassung dieses Buches gegeben haben, weshalb ich zu hoffen
wage, daB mein Werk als erster Versuch, die Lehre von den
Differentialgleichungen in engeren Zusammenhang mit den An
wendungen zu bringen, wenigstens dem Grunde nach die Billigung
der Fachgenossen findet.
lch gestatte mir auch an dieser Stelle, Herrn Dr. Lichten
stein fur Beratung zu § 44 sowie Herrn Dr. K. W. Wagner
fur Namhaftmachung von Literatur zu § 97 bestens zu danken.
Mein Kollege, Herr Dipl.-lng. Feise, hat mich in dankens
werter vVeise bei der Revision unterstutzt.
Die Bildst6cke fur die beschriebenen mathematischen In
strumente hat die Firma G. Coradi -Zurich zur Verfugung ge
stellt.
Und schlieBlich gebuhrt dem Herrn Verleger fur die sorg
faltige Herstellung der Figuren und die Ausstattung des Buches
besondere Anerkennung.
Berlin-Siemensstadt, im September 1914.
Dr. 'V. Hort.
Inhaltsverzeichnis.
Erster TeiI: Gewohnliche DifferentiaIgleichungen.
I. Einlei tung. Seite
§ 1. Allgemeine Festsetzungen iiber Koordinaten und Funktionen 1
§ 2. Die graphische Summierung der Geraden y = a 4
§ 3. Die graphische Summierung der Geraden y = a + b x. 8
§ 4. Graphische Summierung einer beliebigen Kurve. 9
§ 5. Der Begriff des Integrals . 11
§ 6. Berechnung eines bestimmten und eines unbestimmten Integrals 14
§ 7. Der Differenzen- und der Differentialquotient. 15
§ 8. Der Zusammenhang zwischen den Formeln des unbestimmten
Integrals und des Differentialquotienten . 18
§ 9. Geometrische Betrachtungen iiber das Wesen des Differential-
quotienten und Anwendungen. 19
§ 10. Geometrische Betrachtungen iiber das Wesen der Integralkurve 23
§ 11. Die mechanische Herstellung der Integralkurve mittels des
Integraphen von Abdank-Abakanowicz. 25
§ 12. Instrumente zur mechanischen Herstellung spezieller bestimmter
Integrale: Flachen- und Momentenplanimeter. 27
§ 13. Allgemeine Regeln iiber die Durchfiihrung von Differentiationen 42
§ 14. Bestimmung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen 47
§ 15. Zusammenstellung der Grundformeln der Differentialrechnung 50
II. Differentialgleichungen erster Ordnung.
§ 16. Differentialquotient und Differentialgleichung. . . . . 52
§ 17. Anwendungsbeispiel: Die Spiegelkurve eines fiieBenden Ge
wassers. Angenaherte Integration einer Differentialgleichung 54
§ 18. Integration bei allgemeineren Formen der Differentialgleichung.
Trennung der Variabeln . . . . . . . . 66
§ 19. Anwendungsbeispiel: Grundwasserspiegel. . . . . . . 67
§ 20. Bernoullis Substitutionsmethode. . . . . . . . . . . 69
§ 21. Anwendungsbeispiel: Entstehung eines Wechselstromes 70
§ 22. Das singulare Integral . . . . . . . . . 75
§ 23. Die Methode des integrierenden Faktors. . . . . . . 80
Inhaltsyerzeir lmis. VII
III. Die Differentialgleiehungen zweiter Ordnung. Seite
§ 24. Hohere Differentialquotienten. Lineare Differentialgleiehungen
zweiter Ordnung. Versehiedene Formen . 84
§ 25. Die Differentialgleiehung der Seilkurve. . 87
§ 26. Differentialgleichung der elastischen Linie 99
§ 27. Die lineare Differentialgleiehung zweiter Ordnung mit kon
stanten Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . 104
§ 28. Niehtlineare Differentialgleiehungen zweiter Ordnung . . . . 112
§ 29. Die Kettenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§ 30. Genaue Form der Differentialgleiehung der elastischen Linie. 123
§ 31. Eindimensionale Differentialgleichungen. Beispiel: Formande
rung eines dickwandigen Rohres . . . . . . . . . . . . . 125
§ 32. Einfiihrung der Storungsfunktion. KreisfOrmige Platte . . . 131
§ 33. Runges Methode zur angenaherten Integration von Differential
gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 34. Anwendung der Rungeschen Methode auf die Untersuchung
des Bewegungsverlaufes einer Einzylinderdampfmaschine 150
§ 35. Mechanische Integration linearer Differentialgleichungen 163
§ 36. Die Pendelgleichung. Elliptische Funktionen. . 169
IV. Differentialgleichungen hoherer Ordnung. Simultane
Differen tialg leich ungen.
§ 37. Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . 189
§ 38. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 193
§ 39. Die Variation der Konstanten ...... . 197
§ 40. Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 41. Anwendungsbeispiele. Foppls Differentialgleichung der Form
anderung einer Eisenbahnschwelle auf nachgiebiger Unterlage
Formanderung der Wandung eines Wasserbehalters. .. 203
§ 42. Integration durch Reihen ................. 208
§ 43. Anwendung der Integration durch Reihen auf ein Beispiel . . 215
§ 44. Aufsuchung des Fundamentalsystems, falls die Wurzeln der
determinierenden Gleichung nicht samtlich verschieden sind . 218
§ 45. Simultane gewohnliehe Differentialgleiehungen im allgemeinen.
Systeme erster Ordnung : . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§ 46. Ein Beispiel simultaner Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten: Dampfmaschine mit Regulator. . . . . . . . 230
§ 47. Die Zentralbewegung als Beispiel eines Systems nichtlinearer
simultaner Differentialgleiehungen . . . . . . . . . . . . . 234
V. Die Differenzengleiehungen.
§ 48. Definition linearer Differenzengleichungen . . . . . . . . .. 245
§ 49. Die linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffi-
zienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 50. Anwendung der linearen Differenzengleichungen mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
VIn Tn 1m 1t s Yel'zeichn is.
Seite
Zweiter Teil: Partielle Diiierentialgleichungen.
I. Einlei tung.
§ 51. Die Funktionen mehrerer Variabeln. . .......... 254
§ 52. Die partiellen Differentialgleichungen im allgemeinen . . . . 259
§ 53. Die Arten del' Integrale partieller Differentialgleichungen im
allgemeinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
II. Einfache partielle Differentialgleichungen aus ver-
schiedenen Gebieten.
§ 54. Differentialgleichung del' schwingenden Saite . . . . . . . . 270
§ 55. Rechnerische Ermittlung del' Fourierschen Koeffizienten . . 277
§ 56. Mechanisches Verfahren zur Bestimmung del' Fourierschen
Koeffizienten. ..................... 281
§ 57. Die Differentialgleichung del' Stabschwingungen. Biegungs-
schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 285
§ 58. Schiffsschwingungen . . . . . . . . . . . . . 295
§ 59. Differentialgleichung del' Membranschwingungen. 299
§ 60. Runde Membran. Besselsche Funktionen . . . 305
§ 61. Warmeleitung. . . . . . . . . . . . . . . . 316
§ 62. Warmeleitung in einem Stab mit Anfangstemperaturverteilung 319
§ 63. Beriicksichtigung del' Oberflachenbedingung . . . . . . . . 322
§ 64. Warmeleitung in einem Stabe bei veranderlicher Stabend-
temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 325
§ 65. Anwendung auf die Warmebewegung in den Wandungen des
Dampfmaschinenzylinders. . . . . . . . . . . . . . . . . 328
§ 66. Stationare ebene Bewegung einer inkompressibelen Fliissigkeit 330
III. Die Differentialgleichung des Potentials.
§ 67. Die allgemeine Massenanziehung, das Coulombsche Gesetz und
die Laplace-Poissonsche Differentialgleichung . . . . .. 339
§ 68. Allgemeine Eigenschaften des Potentials. . . . . . .. 350
§ 69. Zusammenfassung und Ubersicht iiber die Aufgaben del'
Potentialtheorie . . . . . . . . . . 357
§ 70. Del' Integralsatz von GauB. . . . . . . . . . . . .. 361
§ 71. Einfiihrung del' Greenschen ]unktion . . . . . . . .. 365
§ 72. Das Potential einfachster Massenanordnungen und die Legendre-
schen Kugelfunktionen. . . . . . . . . . . . . 368
§ 73. Die allgemeinen Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . 385
§ 74. Anwendung del' Kugelfunktionen auf Elektrostatik ..... 391
§ 75. Bestimmung del' Greenschen Funktion fiir die Kugel und Losung
del' ersten Randwertaufgabe fiir den Kugelinnenraum 395
§ 76. Die Zylinderfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Illhalt~yerzeichlljs. IX
Seite
IV. Die Differentialgleichungen der Bewegungen
elastischer Korper.
§ 77. Aufstellung del' Grundgleichungen. . . . . . . . . . . . . 403
§ 78. Ermittlung des raumlichen Spannungszustandes und det Ober·
flachenbedingungen elastischer Probleme. . . . . . . . . . 408
§ 79. Schallbewegungen in einem unbegrenzt ausgedehnten elastischen
Medium. Longitudinale und transversale Wellen. . .. 412
§ 80. Radiale Formanderungen und Schwingungen einer Kugel 416
§ 81. Die Ritz·Lorenzsche Methode. . . . . . . . . . . .. 424
V. Die Differentialgleichungen der Hydrodynamik.
§ 82. Aufstellung del' Eulerschen Grundgleichungen fiir Fliissigkeiten
mit und ohne Reibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§ 83. Die Grenzbedingungen bei hydrodynamischen Aufgaben . . . 437
§ 84. Integration del' Eulerschen Gleichungen im Falle einer idealen
wirbelfreien inkompressibelen Fliissigkeit. . . . . . . . . . 439
§ 85. Dirichlets Untersuchung der Bewegung einer reibungsfreien .
Fliissigkeit urn eine teste Kugel. . . . . . . . . . . . . . 441
§ 86. Die Differentialgleichungen del' Bewegung inkompressibeler
Fliissigkeiten von Lagrange. . . . . . . 449
§ 87. Der Integralsatz von Stokes ............... 452
§ 88. Die Satze von Helmholtz iiber die Wirbelbewegungen . . . 455
§ 89. Umformung del' Eulerschen Differentialgleichungen auf Zylinder-
koordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
§ 90. Grundlegung del' Turbinentheorie von H. Lorenz ...... 465
VI. Die Differentialgleichungen der Elektrodynamik.
§ 91. Die Grundgleichungen der Elektrodynamik. 467
§ 92. Aufstellung der Maxwellschen Gleichungen ......... 474
§ 93. Untersuchung ebener elektrischer Wellen. . ........ 477
§ 94. Elektromagnetische Eigenschaften von Gleichstromen in linear
ausgestreckten Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
§ 95. Elektromagnetische Vorgange bei Wechselstromen in gerad-
linigen Leitern. Ferrantiphiinomen . . 487
§ 96. Ausgleichsvorgange in linearen Leitern. . . . . . . . 500
§ 97. DerSkineffekt. . . . . . . . . . . . . .. . . . 513
§ 98. Herleitung der Konstanten dol' Heavisideschen Gleichung aUs
den Maxwellschen Gleichungen des axialsymmetrischen Feldes 517
Anmerkungen und Literaturangaben . . . . . . . .. 520
Verzeichnis der behandelten Differentialgleichungen 526
Namen- und Sachregister .. ............. 534
Erster Teil.
Gewohnliche Differentialgleichungen.
I. Einleitung.
§ 1. Allgemeine Festsetzungen iiber Koordinaten und Funktionen.
Es gibt Lehrbucher der Differential- und Integralrechnung
wie auch der Differentialgleichungen, in den en keine Figuren
vorkommen. Dies ist mog.
r!/
lich, weil geometrische Vor.
Z,
stellungen fur den Aufbau
der genannten Disziplinen p -x +X P
nicht unbedingt erforder.
lich sind. fy .If r!/
Zweifellos erleichtert
-oX ., r
jedoch der Gebrauch geo.
metrischer Vorstellungen
das Eindringen in unsere 'y Jff .IF -.!I
Aufgabe ungemein 1).
Der Verstandigung p -x rX p
uber diese Vo rstellungen
sollen die folgenden Vor
-!/
bemerkungen dienen.
Fig. 1. Die vier Quadranten des
1. 1m rechtwink. Koordinatensystems.
ligen Koordinaten.
system gibt es folgende Richtungen (Fig. 1):
0+ X Richtung der positiven x-Achse.
0-X " "negativen x-Achse.
o + y " "positiven y-Achse.
O-y - " negativen y-Achse.
"
sowie die Quadranten I, II, III, IV.
II 0 r t, Difierentialgleichungen.