DFT - Diskrete Fourier-Transformation: Elementare Einfuhrung

170 Pages·2012·4.103 MB·German

by  André Neubauer (auth.)

DFT – Diskrete Fourier-Transformation
André Neubauer
DFT – Diskrete
Fourier-Transformation
Elementare Einführung
Mit 118 Abbildungen
Prof.Dr.-Ing.AndréNeubauer
LaborfürInformationsverarbeitendeSysteme
FachbereichElektrotechnikundInformatik
FachhochschuleMünster
Deutschland
ISBN978-3-8348-1996-3 ISBN978-3-8348-1997-0(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-1997-0
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Για την Kατερ´ινα με αγα´πη.
Vorwort
DiediskreteFourier-Transformation(DFT–DiscreteFourierTransform)stellteinesder
wichtigstenWerkzeugederdigitalenSignalverarbeitung undderSignaltheoriedar.Sieer-
laubtdieAnalyseundSynthesevonSignalenundSystemendurchTransformationdiskreter
Signalfolgen in den Bildbereich, den so genannten Spektralbereich. Wichtig für die Ver-
wendung der diskreten Fourier-Transformation in der digitalen Signalverarbeitung ist
die Verfügbarkeit schneller Algorithmen zur Berechnung der Spektralfolgen mittels der
schnellenFourier-Transformation(FFT–FastFourierTransform).PraktischeAnwendung
findendiediskreteFourier-TransformationundverwandtediskreteSignaltransformatio-
nen in der Analyse von ein- und mehrdimensionalen Signalen wie beispielsweise in der
Messtechnik,inderdigitalenBildverarbeitung,inderMustererkennung,inderQuellenco-
dierungaufBasisvonTransformationscodierungen, inderKanalcodierungfürdieCodie-
rungzyklischerReed-Solomon-Codes,inderdigitalenSignalübertragungmittelsMehr-
trägerverfahren wie beispielsweise OFDM (Orthogonal Frequency DivisionMultiplexing)
in modernen digitalen Mobilfunksystemen, in adaptiven Filtern im Frequenzbereich, in
Empfängern für Satellitennavigationssysteme, in der Spektralanalyse sowie in der Medi-
zintechnikbeispielsweisezurAnalysevonEEG-Signalen(EEG–Elektroenzephalografie).
DasvorliegendeBuchbieteteineleichtverständlicheundfürIngenieure,Informatiker,
Naturwissenschaftler undMedizintechniker geeignete Einführung indiediskreteFouri-
er-Transformation.EsberuhtaufTeilenderVorlesungFortgeschritteneSignalverarbeitung,
diederAutorimFachbereichElektrotechnik undInformatik derFachhochschule Müns-
terliest.BesondererWertwirdaufdieErläuterungdergrundlegendenIdeenderdiskreten
Fourier-Transformation gelegt. Durch die ausführliche Herleitung der mathematischen
BeziehungensowiedieVielzahlvonBeispielenwerdendiehäufigabstraktenKonzepteder
diskreten Fourier-Transformation veranschaulicht. Das vorliegende Buch ist daher gut
zumSelbststudiumgeeignet.
Das Buch gliedertsich folgendermaßen. In Kap.1 werden ineiner kurzenEinleitung
dieinderSignalverarbeitungundderSignaltheorieüblicheBeschreibungdiskreterSignal-
vii
viii Vorwort
folgensowiediskreteSignaltransformationenerläutert.AnschließendwerdeninKap.2die
fürdasVerständnisderdiskretenFourier-Transformationerforderlichenmathematischen
Grundlagenbeschrieben.IndiesemZusammenhang gebenwireinenkurzenAbrissüber
komplexeZahlen,MatrizenundVektorensowiedieimweiterenVerlaufwichtigegeometri-
scheReihe,mitderenHilfediefürdieDefinitionderdiskretenFourier-Transformationin
Kap.3wichtigeRücktransformationvomSpektralbereichindenOriginalbereichhergelei-
tetwerdenkann.EinwesentlichesResultatisthierbeidieErkenntnis,dasseineumkehrbar
eindeutigeHin-undRücktransformationfürdiediskreteFourier-Transformationaufder
Basisähnlicher Transformationsformeln existiert. Ineinem Exkurswird inKap.3 ferner
der bestehende Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation kontinuierlicher
Signale und der diskreten Fourier-Transformation diskreter Signalfolgen unter Berück-
sichtigungderAbtastungimOriginal-undSpektralbereichbeschrieben.Diewesentlichen
EigenschaftenderdiskretenFourier-TransformationwerdeninKap.4behandelt,während
inKap.5wichtigeKorrespondenzpaarevondiskretenSignal-undSpektralfolgenhergeleitet
werden.DieeffizienteBerechnungderdiskretenFourier-TransformationerfolgtmitFFT-
Algorithmen der schnellen Fourier-Transformation, die in Kap. 6 besprochen werden.
AbschließendbehandeltdasKap.7dieschnelleFaltungalswichtigepraktischeAnwendung
derdiskretenFourier-Transformation imBereichderRealisierung digitaler signalverar-
beitenderSysteme.
AndieserStelledankeichalljenen,diezurVerwirklichungdesvorliegendenBuchesbei-
getragenhaben.NebendenStudierenden,welchedurchkritischeFragendasManuskriptzu
verbessern halfen, erhieltichhilfreicheAnmerkungen undVerbesserungsvorschläge ins-
besondere von Herrn Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn. Frau Prof. Dr.-Ing. Doris
DanzigerdankeichfürIhrenRat.UnterstützungerhieltichfernerstetsvondenHerren
Prof.Dr.-Ing.JosefHausnersowieDipl.-Ing.Hans-PeterWiesmathundDipl.-Ing.
MarkusSchlamann.HerrnProf.Dr.med.Dr.h.c.mult.MadjidSamiibinichzutie-
femDank verpflichtet. Fürihrenliebevollen Zuspruchdanke ichmeinerFrauKaterina
Derva;ihristdiesesBuchgewidmet.
Düsseldorf,imSommer2011 AndréNeubauer
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 MathematischeStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Modulo-Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 ElementareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.3 Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.4 Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 KartesischeKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.5 Potenzierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.6 KomplexeKonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 VektorenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 GeometrischeReihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 DefinitionderDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Transformationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ix
x Inhaltsverzeichnis
3.1.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 AnalyseundSynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 PeriodizitätderSpektralfolge . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 PeriodizitätderSignalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 MatrixdarstellungderDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1 Hintransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Exkurs:Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Fourier-TransformationkontinuierlicherSignale . . . . . . . 36
3.5.2 Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.3 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 EigenschaftenderDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 SpiegelungimOriginalbereich . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2 SpiegelungimSpektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 GeradeundungeradeFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 GeradeundungeradeSignalfolgen . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.2 GeradeundungeradeSpektralfolgen . . . . . . . . . . . . 52
4.4 KomplexeKonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.1 KomplexeKonjugationimOriginalbereich . . . . . . . . . 54
4.4.2 KomplexeKonjugationimSpektralbereich . . . . . . . . . 57
4.5 RealteilundImaginärteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.1 RealteilundImaginärteilimOriginalbereich . . . . . . . . 58
4.5.2 RealteilundImaginärteilimSpektralbereich . . . . . . . . 60
4.6 Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.1 VerschiebungimOriginalbereich . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.2 VerschiebungimSpektralbereich . . . . . . . . . . . . . . 65
4.7 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.1 MultiplikationimOriginalbereich . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.2 MultiplikationimSpektralbereich . . . . . . . . . . . . . 70
4.8 PeriodischeFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8.1 PeriodischeFaltungimOriginalbereich . . . . . . . . . . . 71
4.8.2 PeriodischeFaltungimSpektralbereich . . . . . . . . . . . 74
4.9 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.10 PeriodischeKorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.10.1 PeriodischeKreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.10.2 PeriodischeAutokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Inhaltsverzeichnis xi
4.11 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.12 Dezimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.13 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.14 TabellarischeZusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 KorrespondenzenderDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Impulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 VerschobeneImpulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 KonstanteSignalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Rechteckfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5 Dreieckfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6 HarmonischeSignalfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 Cosinusfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 Sinusfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.9 Leckeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.9.1 Hann-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.9.2 Hamming-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.9.3 Blackman-Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.10 TabellarischeZusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 SchnelleFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 DezimationimOriginalbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2 DezimationimSpektralbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3 Berechnungskomplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7 SchnelleFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1 LinearezeitinvarianteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2 AperiodischeundperiodischeFaltung . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3 SchnelleFaltungmitderFFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 BerechnungskomplexitätderperiodischenFaltung . . . . . . 150
7.3.2 BerechnungskomplexitätderaperiodischenFaltung . . . . . 151
7.4 SchnelleFIR-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5 SegmentierteFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1
Einleitung
In der digitalen Signalverarbeitung und der Signaltheorie werden diskrete Signalfolgen
beispielsweisevonAudio-undBildsignalen betrachtet, diemitHilfeeinerAbtastung aus
kontinuierlichen Signalen hervorgehen. Für diskrete Transformationen wie die in diesem
BuchbehandeltediskreteFourier-TransformationwerdenendlichediskreteSignalfolgen,
sogenanntefiniteSignalfolgenverwendet.EinesolcheSignalfolge
{x(),x(),...,x(N−)}={x(k)}≤k≤N−
bestehtaus N Signalwerten x(k)mitdemIndex ≤ k ≤ N−.MitHilfeeinerdiskreten
Signaltransformation kanneinerfinitenSignalfolge{x(k)}≤k≤N−derLängeN imOrigi-
nalbereicheinefiniteSpektralfolge
{X(),X(),...,X(N−)}={X(ℓ)}≤ℓ≤N−
bestehend aus N Spektralwerten X(ℓ)mit dem Index  ≤ ℓ ≤ N − im Spektralbereich
zugeordnetwerden.Abbildung1.1stelltdiediskreteTransformationderfinitenSignalfolge
{x(k)}≤k≤N−indiefiniteSpektralfolge{X(ℓ)}≤ℓ≤N−mittelseinergeeignetendiskreten
Signaltransformation dar.
Bei einer umkehrbaren diskreten Signaltransformation kann die finite Signalfol-
ge {x(k)}≤k≤N− aus der Spektralfolge {X(ℓ)}≤ℓ≤N− zurückgewonnen werden. Die
Abb.1.1 DiskreteTransformationderfinitenSignalfolge{x(k)}≤k≤N−indiefiniteSpektralfolge
{X(ℓ)}≤ℓ≤N−
A.Neubauer,DFT–DiskreteFourier-Transformation,DOI10.1007/978-3-8348-1997-0_1, 1
©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden2012