Design Patterns für mathematische Beweise: Ein Leitfaden insbesondere für Informatiker

183 Pages·2017·2.08 MB·German

by  Hans Jürgen Ohlbach, Norbert Eisinger

Hans Jürgen Ohlbach
Norbert Eisinger
Design Patterns
für mathematische
Beweise
Ein Leitfaden insbesondere für Informatiker
Design Patterns für mathematische Beweise
Hans Jürgen Ohlbach · Norbert Eisinger
Design Patterns
für mathematische
Beweise
Ein Leitfaden insbesondere für Informatiker
Hans Jürgen Ohlbach Norbert Eisinger
München, Deutschland München, Deutschland
ISBN 978-3-662-55651-1 ISBN 978-3-662-55652-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-55652-8
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Vorwort
DieFähigkeit,mathematischeBeweisezuverstehenundinsbesondereauchselbstzuführen,
wird nicht nur in der Mathematik benötigt, sondern auch in der Informatik und in vielen
anderen Disziplinen. Die Informatik untersucht zum Beispiel Datenmodelle, Berechnungs-
modelle,mathematischfundierteProgrammierparadigmenwiediefunktionaleunddieLogik-
programmierung,kryptographischeVerfahren,statistischeAnsätzefürDatamining oderfür
Optimierungen(etwavonLastverteilungen),GrundlagenvonSuchmaschinenwiePageRank,
unzähligeverschiedenartigeAlgorithmenundProgrammeundvieleandereStrukturenmehr,
derenAnalyseoftmathematischeMethodenundBeweiseerfordert.
Leider sehen Studiengänge der Informatik und wohl auch anderer Wissenschaften in der
Regel nicht vor, dass mathematisches Beweisen explizit gelehrt wird. Beweise werden zwar
in Vorlesungen präsentiert und zum Teil in Übungen anhand von konkreten Beispielen ver-
tieft, aber wie ein Beweis überhaupt aufgebaut sein kann, und in welchen Fällen welche
Beweismuster in Frage kommen, können Studierende höchstens indirekt anhand der Be-
weise erschließen, die zufällig bisher in ihrem Studium vorgekommen sind. Daher fällt es
vielen Studierenden so schwer, selbständig Beweise auszuarbeiten, die nicht Varianten von
vorgeführtenBeispielensind.
Umdemabzuhelfen,versuchtdervorliegendeLeitfaden,verbreiteteBeweismustersystema-
tisch vorzustellen und anhand von allgemein verständlichen Beispielen aus dem Alltag, der
MathematikundderInformatikzuverdeutlichen.Erbeschränktsichdabeibewusstaufuni-
verselle Muster, die unabhängig vom jeweiligen Teilgebiet anwendbar sind, behandelt aber
keineteilgebietsspezifischenBeweismusterwiespezielleMusterfürStetigkeitsbeweise.
EinmathematischerBeweiserfordertnatürlichzunächsteinehinreichendeEinsichtindasje-
weiligeProblem,uminhaltlicheIdeenfürdenBeweisentwickelnzukönnen.Diesebekommt
man nur, wenn man sich intensiv mit dem Problem selbst befasst. Für die Umsetzung der
Ideen, also Aufbau und Strukturierung des Beweises, gibt es dagegen eine Reihe von allge-
meinenMustern,diesichbewährthaben,undandiemansichhaltenkann(undauchsollte).
DieseMusterzubeherrschenistzumEinennotwendigfürdasVerständnisfremderBeweise.
Wenn darin zum Beispiel die Floskel „durch Kontraposition“ vorkommt, sollte man wissen,
was das heißt. Zum Anderen sind die Muster enorm hilfreich für die Entwicklung eigener
Beweise. Denn eine saubere Strukturierung ist nicht nur beim Lesen wichtig, sondern hilft
auch,beimAusarbeitenderBeweisedieÜbersichtzubehaltenundnichtszuvergessen.
Bewährte Muster, an die man sich halten kann, gibt es auch in der Programmierung. Sie
sind dort unter dem Begriff Design Patterns bekannt. Design Patterns helfen, Programme
zustrukturierenundfüranderePersonenverständlichzumachen.DasbrachtedieAutoren
diesesLeitfadensaufdenGedanken,gängigeMusterfürmathematischeBeweisezusammen-
zustellen und Studierenden der Informatik in einem kurzen Skript mit dem Titel Design
Patterns für mathematische Beweise als„Leitfaden“ andieHandzugeben.
Wie alle wissenschaftlichen Arbeiten entwickelte sich der Leitfaden im Verlauf seiner Ent-
stehung. Das„kurze Skript“ wuchs undgedieh, jawuchertegeradezu. Irgendwannsprachen
praktische,aberauchinhaltlicheGründedafür,denLeitfadeninzweiTeileaufzuteilen.
vi
Teil I des Leitfadens behandelt einfache Beweismuster wie Fallunterscheidung, Allbeweis,
Implikationsbeweis,komplexereBeweismusterwieKontraposition,Widerspruchsbeweis,Dia-
gonalisierung,undendetmiteinemumfangreichenKapitelüberdieverschiedenenVarianten
der vollständigen Induktion. Gemeinsam ist diesen Varianten, dass sie sich auf jeweils un-
endlichvieleObjektebeziehen,diezwargrößerseinkönnenalsjedeendlicheSchranke,aber
nichtunendlichgroß.DiebekanntestenderartigenObjektesinddienatürlichenZahlen.
Teil II gibt einen Einblick in die Welt jenseits der Unendlichkeit, von der die natürlichen
Zahlen begrenzt werden. In dieser Welt können Objekte auch unendlich groß werden und
trotzdemnocheineFormdervollständigenInduktionermöglichen,dietransfiniteInduktion.
EinKapitelimTeilIIdesLeitfadensstelltdieOrdinalzahlenvor.EsenthältaucheinBeispiel,
indemtransfiniteOrdinalzahlenfürdenTerminierungsbeweiseinesAlgorithmusunabding-
barsind.DiesesBeispielanimiertvielleichteinige Leser,ähnlicheProblemeaufdieseWeise
anzugehen.EinanderesKapitelbehandeltdasBeweismusterdertransfinitenInduktionund
illustriertesmitBeispielenunterschiedlicherKomplexität.
DerLeitfadenistalsstudienbegleitendeLektürefürStudierendeinsbesondereinInformatik-
Studiengängengedacht.DaherorientierensichsowohlseineGliederungalsauchderUmfang
der jeweils mitgelieferten Hintergrundinformation in groben Zügen am durchschnittlichen
KenntnisstandimVerlaufeinesStudiums.FürvieleLeserwirdessomitkaumsinnvollsein,
den gesamten Leitfaden ein Malkomplett am Stück durchzuarbeiten. Er kann auch wie ein
Nachschlagewerkbenutztwerden,welchesmanbeiBedarfzuEinzelthemenkonsultiert.
Im Teil I sollten alle einfachen Beweismuster, mindestens die erste Hälfte der komplexen
Beweismuster sowie der erste Abschnitt zur vollständigen Induktion bereits in den ersten
Fachsemesternnachvollziehbarundnützlichsein.AndereThemenrichtensichdagegeneher
anLeserinhöherenFachsemestern,weilderjeweiligeStofferstensmehrHintergrundwissen
voraussetztundzweitensaucherstinfortgeschrittenerenLehrveranstaltungenrelevantwird.
DazugehöreninsbesonderedievertiefendenAbschnitte,dieals„Exkurs“gekennzeichnetsind,
sowiedergesamteTeilII.
Als Ergänzung zu diesem Leitfaden sind einige Bücher empfehlenswert, die ähnliche Ziele,
aberandereSchwerpunktehaben.GeorgePólyasKlassiker„SchuledesDenkens.VomLösen
mathematischer Probleme“ [Pól95] gliedert den Lösungsprozess mathematischer (und ande-
rer) Probleme in vier Phasen: Verstehen der Aufgabe, Ausdenken eines Plans, Ausführen
desPlans undRückschau/Überprüfung/Vertiefung.Von Daniel Grieserstammt „Mathema-
tisches Problemlösen und Beweisen: Eine Entdeckungsreise in die Mathematik“ [Gri13].Das
Buch entwickelt einen „Werkzeugkasten“ mathematischer Methoden, die helfen können, auf
die oben angesprochenen inhaltlichen Ideen zu kommen, die man für einen Beweis braucht.
DasBändchen„Dasisto.B.d.A.trivial!“[Beu09]vonAlbrechtBeutelspachergibtvieleTipps
zutypischenmathematischenFormulierungenundihrerBedeutung.
DervorliegendeLeitfadenkonzentriertsichdagegenvorallemaufdieStruktur vonBeweisen.
Dabei strebt er an, abstrakte Beweismuster in möglichst vielen Fällen durch Beispiele aus
dem Alltag zu verdeutlichen. Dieser Aspekt könnte den Leitfaden auch für Dozenten inter-
essantmachen,dennsolcheBeispielesindnichtimmersonaheliegendwiedie„Flüsterpost“
odereinMenschenturmvonAkrobatenzurVeranschaulichungdervollständigenInduktion.
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Illustrationenwie(imTeilI)einunfehlbarerPersonalmanagermitAssistentfürdasDiagonal-
argument in Turings Halteproblem-Beweis oder (im Teil II) ein Aufzug mit transfiniter
StockwerksnummerierungfürdieWohlfundiertheitder<-BeziehungvonOrdinalzahlensind
weniger offensichtlich. Dozenten können gerne die Beispiele aus diesem Leitfaden für ihren
Unterrichtverwenden.
Der Leitfaden wurde von Informatikern in erster Linie für Informatiker geschrieben. Der
allergrößte Teil des Inhalts ist allerdings so allgemein, dass er auch für andere Disziplinen
interessantseindürfte,indenenmathematischeBeweiseerforderlichsind.
DieAutorenhoffen,mitdiesemLeitfadeneinemverbreitetenBedarfderStudierendenentgegen-
zukommenundsinddankbarfürHinweiseaufFehlerundVerbesserungsmöglichkeiten.
München,Juni2016 HansJürgenOhlbach,NorbertEisinger
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Inhaltsverzeichnis
I. Einfache und komplexe Beweismuster 1
1. Einleitung 3
2. Vorbereitung: Arten des Schließens 5
2.1. DeduktivesSchließen(Deduktion). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. InduktivesSchließen(Induktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. AbduktivesSchließen(Abduktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. AndereArtendesSchließensimAlltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5. SchließeninmathematischenBeweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1. Vorwärtsschließen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2. Rückwärtsschließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.3. BidirektionalesSchließen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Vorbereitung: Schreibweisen der Logik 13
3.1. LogischeSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1. Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2. Quantoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2.1. KurzschreibweisenfürbeschränkteQuantifizierung . . . . . . 15
3.2. AnwendungsspezifischeSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. FormelnundTerme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4. Präfix,Infix,Postfix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5. Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Einfache Beweismuster 21
4.1. DeduktiveKette:Beweisdurch„Ausrechnen“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1. BeweisausBeispiel10:Beweispräsentationvs.Beweissuche . . . . . . 23
4.2. BeweisdurchFallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Allbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4. Implikationsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5. Existenzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.1. KonstruktiverExistenzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.2. Nicht-konstruktiverExistenzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.3. Exkurs: „Unangenehme“ Existenzbeweise. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.4. Exkurs: ExistenzbeweiseundProgrammsynthese . . . . . . . . . . . . 38
5. Komplexe Beweismuster 43
5.1. DeduktivesNetz:BeweisdurchVernetzungvondeduktivenKetten . . . . . . 43
5.2. BeweisdurchKontraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Äquivalenzbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4. Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1. WiderspruchsbeweisdurchTransformation(Reduktion) . . . . . . . . 52
5.4.2. WiderspruchsbeweisdurchDiagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . 55
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5.5. Widerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.1. WiderlegungdurchGegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.2. WiderlegungdurchSpezialisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6. Vollständige Induktion 65
6.1. BeweisdurchvollständigeInduktionübernatürlicheZahlen. . . . . . . . . . . 66
6.1.1. Grundmuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1.1. VariationendesGrundmusters . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.2. StarkeInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2.1. VariationenderstarkenInduktion . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3. k-Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2. AllgemeinereCharakterisierungdervollständigenInduktion . . . . . . . . . . 83
6.3. BeweisdurchNoetherscheInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.1. TerminierungsbeweisdurchNoetherscheInduktion . . . . . . . . . . . 92
6.4. Bauminduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1. RekursiveDefinitioneinerMenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.1.1. Top-down-Lesart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.1.2. Bottom-up-Lesart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4.1.3. Ableitungsbaumvs.Strukturbaum . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.2. BeweisdurchTop-down-Bauminduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.3. Bottom-up-Bauminduktion:BeweisdurchstrukturelleInduktion . . . 107
6.5. Exkurs: BeweisdurchtransfiniteInduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
II. Transfinite Ordinalzahlen und transfinite Induktion 113
7. Einleitung zu Teil II 115
8. Vollständige Induktion und Grenzwertbildung 117
8.1. Folgen,ReihenundGrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2. VollständigeInduktionmitLimesfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.3. BedeutungundNotationvon„unendlich“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9. Transfinite Ordinalzahlen 121
9.1. CantorsHotel(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1.1. GraphischeVeranschaulichungzuCantorsHotels . . . . . . . . . . . . 128
9.1.2. AnzahlderZimmerinden !k-Hotels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.1.3. Auf-undAbsteigeninden !k-Hotels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2. Dievon-Neumann-Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3. TransfiniteOrdinalzahlen:Hydra-BekämpfungundTerminierung . . . . . . . 134
9.4. Ordinalzahlenbiseinschließlich ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.4.1. OrdinalzahlenundWiederholungsschleifen . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.4.2. !-Automaten(Datenstrom-Automaten) . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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10.Transfinite Induktion 145
10.1.TransfiniteInduktion:Fixpunktsemantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.2.TransfiniteInduktion:Zimmerhöhenim !3-Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2.1. HöhenderObergeschosse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2.2. GesamthöhenderZimmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.3.TransfiniteInduktionbiseinschließlich ! mitdemKompaktheitssatz . . . . . 158
11.Exkurs: Mathematisches Arbeiten 163
11.1.EntwicklungsprozesszudenErgebnisseninAbschnitt10.2 . . . . . . . . . . . 163
11.2.MathematischesArbeitenundPizzabacken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2.1. Präsentationsebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2.2. Analyseebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.2.3. Entwicklungsebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Anhang 169
DanksagungundSchlusswort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
VerzeichnismathematischerSymboleundBezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . 175
VerzeichnisderBeweisschemataundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181