Der Goldene Schnitt

45 Pages·1998·0.65 MB·German

by  Dirk Stegmann

Der Goldene Schnitt
,ame hnTekit nmaen iunezegnuthcart eeBhcsitamehtaM
tnseibeil blelgeu tekta u sesihebhclew
nov
nnamge tkSriD
miehs etdältiiHsrevinU
g-nudlibreti edW nmuuidutsnr erF ümfurtn e-Z
zrteag2lr2PubneiraM
mieh s1e4d1l1i3H
negaldnu reG i.D1
r ehdc unBetie wmzI etnemelE srekitameht anMehcsihcei rsg ed E DILKU (365 - 300 v.Chr.)
zt a.S 1s1 lna atmseil 1:ebagfu Aedneglo fei d
e kecn eeeorbnst eiS,g Eneu e gzßlkaic d eess ttaueh d akcnr ceeedeRzdnrn utamSngeednie
ttinhcsb Amed tardauQ rebü med ne rtetdinnah chscbiAelg.tsi
eiD etnemelE r e ndt-itinh ceSnedl org emd e nd,ikr eeWhcsitameht aemtset lsä andedl ib
.dr itwlednah ee-bbagf urAese imdroF
:neßamrednegl oefsiewrehcil btütinh cnSenedl ong end atmreinif eedtueH
Definition: ieS AB t kn S non.uviePEkce re tnSie AB tli et AB m i goldenen Schnitt slla f,
m uezkcertstmas eeG ied itwlähr enverenie lrk uezkcertsli eeTreßö reg ihdcis
. lnieerTeßörg
A S B
l l l
M m
ekc eerr getendSiäDL AS dn utenhcieze bMti mdri w rojaM e itdßi edhnehcerpst n.Etnnan eg
erezrük ekcertS m red roniM .
.“reniel kd„ n“ureßör gr„ üeftr onWehcsiniet ael iddn i“sroni Md„ n“uroiaM„
:nebierhcs etbgl oef itwtinh cnSenedl ong erd inwenn önkegnunhciez enBese itdiM
ieS AB t nkS on nevu.igPa En räeeLkdce ret nSie ABnenedl o mgeikcer teSse itdli et
:tli gslla f,ttinhcS
a M
=
M m
nn e,wnn audan eogsla m =Ma 2
.tlig
n oevbagf ueAtreit iszgnagn iee ißd a,dhciltu eddr igwnubierhcs enBetzt erlese indA E DILKU
.tetued esbttinh cnSenedl os gendoitkurtsn oe Kis dlsaered nsathc ihncilhcästat
.“nenhceruzsu at„tinh cnSenedl ong e,dnednewr euvz ahdc uganureilumr oeFse indenn örkiW
egithci wedneglo fre dhcilmä ntli gsE

1 Wir zitieren nach der Ausgabe: E DILKU : Die Elemente . hcuB I - . Is IghI rcXteaxbNei TesHuamed
Griechischen übersetzt und herausgegeben von C SNEMEL T REAH . Darmstadt 1991.
1
:ztaS ekcer te tSiSkdn un Piteli entn audaneG ABnn e,wttinh cnSenedl omgi
M 1+ 5
= .tlig
m 2
:sieweB ekce r rteeSgd n i eäseaiLEsd AB noitinife Dre dsu A. m+M=atli gnna D.
:reti ehwc itsbig rseettinh cnSenedl osged
tli eSt ABttinhc Snenedlo gmi
(cid:219) M=ma 2 ]sttinh cnSenedl osg endoitinifeD[
(cid:219) M=m) m+M( 2 n a =o]Mn+vmeztesniE[
(cid:219) )m / mM+1=/(M 2 mhcru dnoisiviD[ 2 ]
(cid:219) )m/M( 2 m -/- M1 =0
:negnus önLedi eeb itd amh /nMetnnakeb nrU e ndginuhcie leGhcsitarda ueqseiD
1– 5
=m/M .
2
r ugnnus ösL lßa a od,sni evsitis omp /hMc ußa u,mdn ivsitis odmp naMuD
1+ 5
=m/M
2
.D E.Qgnutpuah ee Bir daswe i.Dtmm oekga rnFi
1+ 5
:gnukremeB m= /eMtnatsn oeKiD t igmifu ärhutaret irL e nddir iw t ,tenhciez eb
2
1+ 5
: osla t m= / =M: .
2
nnin a rk.Enebahdn a uhgzigüzßo r“gttinh crSenedlo gk„curds unA e,dnederbar envell orwiW
:nedr etwhcuarb eegsi erWehcafierd
• gnuli erT egdnagr onV erd ügfnunhciez esBla
• tSknupli enT erd ügfnunhciez esBla
• lha Zei drü fgnunhcieze Bsla t .rebl es
ttinh cnSenedl on ger dütfrewnelh arZeD t rhäfe gtnguär teb 2 : tt » 1,618 .
,t anhednuf eggnudnewr erVutketihc rr A engdiifu äthtinh ceSnedl or geß da,drüf agdel esBlA
:n aecnassiane Rre dtie Zre dsu aeleipsie Bnedie bnedneglo fei dri wnerhüf
s atdgi edzl ieBts rseaD seuta glhniatozavpRieL hcru dre dhcu asnegirb ühci smehcle wn i,
G EHTEO s tsuaF .tednife b“relle KehcshcabreuA „etmhüre b

2 Für Zahlenenthusiasten sei dieser Wert etwas genauer angegeben:
t = (1+ 5)/2 = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135...
2
n etdlle tdsl ieBtie wszaD znero ln Foovihcc eoVzzalaP dar.
n aem i,wttinh cnSenedl o mgsieduäb esG etdnorfredr oeV imdr urT etdli entell änFedi enbI
.nna knessemhca nthciel
3
1 d l i B
2dliB
lhazttinh cnSenedl org endetfahcsneg ieE i.D2 tt
ttin hecnSed lroegD t:seztassfli Hnedneglo fse dnegnugnide Bei dtllüfr e
:ztassfliH : tl i sg)Ei( t 2 = t +1
s oep d er jüd fnu xti mlha Zellee reviti 2 t xr=heke g m= tx u+s1i t .
5- 1
/)1ii( t = t - 1 =
2
)iii( t +/1 t = 5
:sieweB .l1etip anK ozvt amS esd uraablettim nhuc itsbig r)ei(
/ 1ti m)i (gnuhciel Gei dri wnereizilpitlu M)ii( t :hc itsbig ro,es
1+ 5 5- 1
t = 1 +/1 t /t1im add nu t = t - 1 = - 1 = .
2 2
4
1+ 5 5- 1
)iii( t +/1 t = + = 5. QED.
2 2
:gnukremeB etrewsnekrem eeb itd szitassfl imHese isd uzaneuqesn oeKgithc iewniE
n onveznet onPevitag ee ninwevitis oepl lß aa,dehcastaT t eraeni lsl ahci s
neikcürdsuA t mar orF e ndois l,a t nebierhc s, bdn uanegilhazzna gti mb+
.nessal
.nehegn ireeuan ehgc ofnuare irh inwedr eewlle trSeretä pnsA
:negüne gleipsie Bsedneglo fllo sellet Sresei dnA
(cid:215) 1 (cid:215) 1
t 3 + t -2 = t t 2 + = t ( t +1) + ( t -1) 2 =2 t 2 - t +1
t t
= 2( t +1) - t + 1 = t + 3.
:nemmasu zzta Smedneglo fn isettinhc Snenedlo gse dnetfahcsnegi Enegithci well anessa friW
:ztaS ekc eerntiSE AB tM irm inwn e.Wekcer trSese itdkn unP iie edSs n ,ueagn äeL iedbah
n oevgn äeLid AS no vei dmti mdn u SB negassu Anedneglo fei ddni snna d,nenhciezeb
:gitrewhcielg
)1( Stliet AB.ttinh cnSenedl o mgi
m )/=2M( t .
))m3/(M( 2 m+1 /=M
)4( M/a = t
m )/=5a( t +1
.l1etip an Kosvezt as Seedgass ue Ait ds) i2d (n) u1n (otviekgitrewhcie le Gi:DsieweB
:seztassfl isHeres n)u il(i emT esd utaker itdgl o)f 3d( n)u 2n( ozvnelaviu qeÄiD
=m/ MsllaF t )m/ M:() ih(c atnl ingn a,dt si 2 = t 2 = t + m 1.+/=1M
)m/ Mt(rhekeg msullaF 2gnuhciel Gei dm/ M=: xti mna mta ho s,tli g1+m/ M=
x 2 =x)i (ztassfli Hhca ntima ddn u1+x= t .m /=M
(1) (cid:219) m=Mnan e,wrh anwn audan e)g 1t( snioitinif ehDc a:N) 4( 2 .tl ig
:r inwetlah rna=M+meegeW
M=ma 2
(cid:219) a(a - )M =M 2 n m o= na]v-eMztesniE[
(cid:219) a 2 =M 2 M+a
(cid:219) (a/M) 2 =M/ a+1 Mhcru dnoisiviD[ 2 ]
(cid:219) M /=a t ]) iz(tassfl ihHcaN[
(1) (cid:219) (5): M 2 m a=
(cid:219) a (-)m 2 m a= n M o= na]v-emztesniE[
5
(cid:230) a- m(cid:246) 2 a a- m
(cid:219) (cid:231) (cid:247) = = + 1 mhcru dnoisiviD[ 2 ]
Ł ł
m m m
a- m
(cid:219) = t ]) iz(tassfliH[
m
a- m
(cid:219) m =/a + 1 = t +1 QED.
m
settinhc Snenedlo gse dnoitkurtsno Kei D.3
nednegl orf end aem i,wnereiurtsn otkhci ellaen idL nluekr itZ ihmc itsß ätltinh ceSnedl orgeD
:tmmintn erugiF
ie ssE AB ethcerkn ee Sin daemthci r n.erBIag en eär kLecder teSnie BC e,rg2en/däaL
d| 2n C=/uoBas|la BC ^ AB.
tedienh c|sB Cs|uid atR i mCmsuie rrKeD AC. Dtknu Pmeni en i
hcilßeilhc stedienhc s|DA |suida Rti mAm usier KreD AB .tSknupttinh cnSenedl omgi
:n ilelenh cns atmhe i,strefe itltinh cnSenedl ong ehdcilhcäst antoitkurtsn oeKse ißdaD
me dhcaN saroga hzstteyadPS t si
5
|=Ca A| .
2
a
| | B= D=CtC| l|niogitkurts n rodeKnd ufruGA :ne b r aß,iohawsd
2
( )
5 a a 5- 1 a
|| | | D C=D-S=C=AAaA|||| - = = .
2 2 2 t
AB
:oslA = /a(/a t ) = t QED.
AS
.nereiurtsn o uktztinh cnSenedl ong eldaen idL nluekr itZ i,mnedoht eeMrerh etmb isgE
6
esiewretnasseret nei i,dnenhäw rneoitkurtsn oeKn ihec orn urne inhell orwiW E DILKU hc on
n2 o8t v9sn1rreed n,oestn ntahkcin G EGROE O DOM :ed rnuewbege gna
kceie rsDaD D.a 2egnälnetie Sre dti mkceier Dsegitieshciel gni eie sZYX
neti erS eedtknuplett ieM indei edS snAu XZ dnu YZ.
.nedienh cdBs nnCuetkn unP e ndsiierk mnU eedg ö AmeSlellaraplett ieMiD
Dann gilt: tl i eSt AB.ttinh cnSenedl omgi
:sieweB || m ZSs ==et.SYundsa||Aoiitkurts nhocKaN zt a.s2nelhartS :nn ahdc itsbig re
|SA |=.a
ekcer tr Seedgn äe Li i dtebisM SB hc unaednürgeirtemm ysS uta snin a.Dtenhciezeb
|.=CbA|
nenhe Snedie bei dnu nnethcarte briW YZ dnu BC.nedienhc sSn ihci sei d,
me dhcaN ztasnenheS hci stbigre
(cid:215) (cid:215)
a 2 =|YS| |ZS| =|BS| | Ca=S (|+b)b

(cid:222) )b/a( 2 b =/+a1 bhcru dnoisiviD[ 2 ]
(cid:222) b=/a t l]e2ti pszautKaaS[ QED.
lekri Zenedlo gre D.4
ekcer trSen itetinh cnSenedl ong end aemfl inHer etd i,metnemurts neIhcsinahc etmb isgE
renednufegro vni eb o,nefürphca nhcu ahcilrüta nhci stßä lesie Wesei dfu A.nna knemmitseb
.tli etttinh cnSenedl o mghicilhcäst aetkcer teSnebeg eegn iteknuP
gifuä hretlaletti Mdn umutretl An ikrewdnahrenierhc Sm iesiewsleipsie bnedna flekri ZenedloG
.gnudnewreV
.g ors ehdcilrehc its sliled oeMtshcafn iseaD lekrizsnoitkudeR negnalhciel giew zsu are d,
hcilgew e,btli etttinh cnSenedl o mgeibä teSdi erb e,dtkn umP e ndei i,dthets enbebätS
.dn itsgitsef erbednaniena
.nednufe gijepmo Pn inegnubargsu Aie bna mta hslekri Zsesei drefuälro Vnekitn aneniE
7
me dhcaN zt a.s2nelhartS r endered nra efd uda nruoj anM ieetieslekr inZen ire efd uhac itslle ts
.n ireon ieMgiröheguz
hcu Bneneihcsr e919 1meni enemmatstn eelledo Mrei vnedneglo feiD 3 .ame hrTes nrue bü
:nell onwereisitameh cgsnunhci eeZn ihecr urd inw e,dsthc enre bloekr irZ etd stinasseretnI

3 .RE NGELHARDT : reD enedloG ttinhcS mi .ebrewe gghiczupBieL.9191
8
ß,atdreiurt s tlnoseosik krrieZseiD
lekneh cnSegnalhcie leg idQd nePutkn ueP i)di( AS d nu SBd n,uneli etttinh cnSenedl o mgi
.t l |i| Bg T=QeQ|i| w |o| As T=P)P|i|i(
lekneh crS eedgn äeL ir d üra finwezt egsnuzrük brAuZ AS . wzb SBt snin a.D
|PS| = |BQ| = |QT| dnu |QS| = |AP| =.|TP|
i e.Smmargolellar anP iQeT PoSs lta seirednosebsnI a r ehdc uta anhn a ,diS elbekn irW ed
eßö reG iiTd elbekniW a 06 3kcerei Vmede jn iemmuslekni Wei da D. (cid:176) beträgt 4 hc itsbig r,e
slekn isW eedßö reGid b sl aQdn uPie bmmargolellara Pm i b = (360 (cid:176) - 2 a )/2 = 180 (cid:176) - a .
slekni Wse dlekniwnebe Nsl ata hTP Alekni WreD b eid eßörG081 (cid:176) - b = a .
=BQ Tlekni W:tli ggolanA a nedi ee biddn i,s| B |Q=Q |Td |n| uT |P=P |Ar|en r ea.fD
ekceier Dnegilknehcshcielg D dTnPuA D .hcilnh äBQT
enhciezeB tgl ingn a,dekceie rnDedi erbese isden iselekniwsis asB eedßö reG id
g + g + a = 081 0(cid:176)8 1kceier Dneneb emede jn iemmuslekni Wei da d, (cid:176) beträgt.
0 8h1cie ltg sBi TdQ nQu T,PP TlAekn iiWe rrd eedmm ueS i:Dtgl osfuareiH (cid:176) .
nedar erGen if euhacilk r ,i,BeTwAtkn uiPe re diß da,dhc itsbig rseintnnek rrEese is dutasrE
.negeil
(/| S |A=P| An|eg ehwc itsbig rseuareiH t + 1) = a/( t + )1 =/a t 2
/ || B B=S dQ|]n| )uzit(assf l di )nHz5u t(l,ae2StipaK[ t =/a t l eti p,a2 Kz[ta]S)4(
BgTn|utpua heeiBd |P A|=|T/ A|=|B/Q|| t ..D ]EeQkceie rr Detdiekhcilnh Ä[
. nraon idM nruoj ahMcilkr iows ltagi elzekr irZeseiD

4 s ekdceeJr etißVäl hcis aj ni ,e ienmseke mlwcgnuizeeeseilrlwereee0redkj81DzniW (cid:176) beträgt.
9