Das Kontinuum diskret berechnen

251 Pages·2008·1.707 MB·German

by  Prof. Matthias Beck, Prof. Sinai Robins (auth.)

Springer-Lehrbuch
Matthias Beck · Sinai Robins
Das Kontinuum
diskret berechnen
Aus demEnglischenvonKordEickmeyer
123
Prof.MatthiasBeck Prof.SinaiRobins
DepartmentofMathematics DepartmentofMathematics
SanFranciscoStateUniversity TempleUniversity
1600HollowayAve 1805NorthBroadStreet
SanFrancisco,CA94132 Philadelphia,PA19122
USA USA
[email protected] [email protected]
Übersetzer:
KordEickmeyer
InstitutfürInformatik
Humboldt-UniversitätzuBerlin
UnterdenLinden6
10099Berlin
ÜbersetzungderenglischenAusgabeComputingtheContinuousDiscretelyvonMatthiasBeckundSinai
Robins.Copyright©SpringerScience+BusinessMedia2007.AlleRechtevorbehalten.
ISBN 978-3-540-79595-7 e-ISBN 978-3-540-79596-4
DOI 10.1007/978-3-540-79596-4
Springer-LehrbuchISSN0937-7433
BibliografischeInformationderDeutschenNationalbibliothek
DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2000):05A,11D,11P,11H,52B,52C,68R
©2008Springer-VerlagBerlinHeidelberg
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
Übersetzung, desNachdrucks, desVortrags,derEntnahmevonAbbildungen undTabellen, derFunk-
sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in
Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Ver-
vielfältigungdiesesWerkesodervonTeilendiesesWerkesistauchimEinzelfallnurindenGrenzender
gesetzlichenBestimmungendesUrheberrechtsgesetzesderBundesrepublikDeutschlandvom9.Septem-
ber1965inderjeweilsgeltendenFassungzulässig.Sieistgrundsätzlichvergütungspflichtig.Zuwider-
handlungenunterliegendenStrafbestimmungendesUrheberrechtsgesetzes.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auchohnebesondere Kennzeichnung nichtzuderAnnahme, dasssolche NamenimSinne
derWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebung alsfreizubetrachtenwärenunddahervonjeder-
mannbenutztwerdendürften.
Satz:DatenerstellungdurchdenÜbersetzerunterVerwendungeinesTEX-Makropakets
Herstellung:le-texpublishingservicesoHG,Leipzig
Umschlaggestaltung:WMXDesignGmbH,Heidelberg
GedrucktaufsäurefreiemPapier
987654321
springer.de
F¨ur Tendai
F¨ur meine Mutter, Michal Robins
mit all unserer Liebe.
Vorwort
The world is continuous, but the mind is discrete.
David Mumford
Unser Ziel ist es, einige kritische Lu¨cken zwischen diversen Gebieten der Ma-
thematik zu schließen, indem wir das Zusammenspiel zwischen dem stetigen
und dem diskreten Volumen von Polytopen untersuchen. Beispiele fu¨r Poly-
tope in drei Dimensionen sind unter anderem Kristalle, Quader, Tetraeder
und beliebige konvexe Objekte, deren Oberfl¨achen alle flach sind. Es ist un-
terhaltsamzusehen,wievieleProblemeausderKombinatorik,Zahlentheorie
und vielen weiteren mathematischen Gebieten in die Sprache von Polytopen,
die in einem euklidischen Raum existieren, u¨bersetzt werden k¨onnen. Umge-
kehrt liefert uns die flexible Struktur von Polytopen zahlentheoretische und
kombinatorischeInformationen, die auf natu¨rliche Weise aus ihrer Geometrie
hervorquellen.
Das diskrete Volumen eines K¨orpers P kann intuitiv als die Anzahl der
Rasterpunkte, die in P liegen,beschrieben werden,wenn ein festes Raster im
euklidischen Raum gegeben ist. Das stetige Volumen von P hat die u¨bliche
intuitive Bedeutung des Volumens, das wir allt¨aglichen Gegenst¨anden in der
wirklichen Welt zuordnen.
Abb. 0.1. Stetiges unddiskretes Volumen.
VIII Vorwort
Den Unterschied zwischen den beiden Volumenbegriffen kann man sich
physikalisch wie folgt denken. Auf der einen Seite liefert uns das Raster auf
Quantenebene, das von der molekularen Struktur der Wirklichkeit vorgege-
benwird,einendiskretenBegriffdesRaumsunddamiteindiskretesVolumen.
Auf der anderen Seite liefert uns der Newton’sche Begriffdes stetigen Raums
das stetige Volumen. Wir betrachten die Dinge stetig auf der Newton’schen
Ebene, aber in der Praxis berechnen wir oft Dinge diskret auf der Quantene-
bene. Mathematisch gesehenhilft uns das Raster,das wir in den Raum legen
– entsprechend dem durch die Atome, aus denen ein Gegenstand besteht, ge-
bildetenRaster–aufu¨berraschendeWeisedabei,dasu¨blichestetigeVolumen
zu berechnen, wie wir noch sehen werden.
Umdasstetig-diskrete-ZusammenspielderdreiFelderKombinatorik,Zah-
lentheorie und Geometrie in Aktionzu sehen, konzentrierenwir uns zun¨achst
aufdasleichtzustellendeM¨unzenproblem vonFrobenius.DieSch¨onheitdieses
konkreten Problems besteht darin, dass es leicht zu verstehen ist, ein nu¨tzli-
ches Berechnungstool liefert und trotzdem die meisten Zutaten der tieferge-
henden Theorien, die hier entwickelt werden, enth¨alt.
Im ersten Kapitel geben wir detaillierte Formeln, die sich auf natu¨rliche
Weise aus dem Frobenius’schen Mu¨nzwechselproblem ergeben, an, um die
Verbindungen zwischen den drei oben genannten Gebieten aufzuzeigen. Das
Mu¨nzenproblem gibt uns ein Geru¨st, um die Verbindungen zwischen diesen
Gebietenzuidentifizieren.IndennachfolgendenKapitelnentfernenwirdieses
Geru¨st und konzentrieren uns auf die Verbindungen selbst:
(1) Aufz¨ahlung ganzzahliger Punkte in Polyedern – Kombinatorik,
(2) Dedekind-Summen und endliche Fourier-Reihen – Zahlentheorie und
(3) Polygone und Polytope – Geometrie.
WirlegenbesonderenWertaufBerechnungstechnikenundaufdieBerech-
nung von Volumina durch Z¨ahlen ganzzahliger Punkte unter Benutzung di-
verseralterundneuerIdeen.DahersollendieFormeln,diewirerhalten,nicht
nursch¨onsein(wassiewahrlichsind!),sondernsiesollenesunsaucherlauben,
Volumina effizientzuberechnen,indemwireinigesch¨oneFunktionenverwen-
den. In den wirklich seltenen F¨allen mathematischer Darstellungen, in denen
wireineFormulierunghaben,diesowohl leichtzuschreiben“alsauch schnell
” ”
berechenbar“ ist, haben wir ein mathematisches Juwel gefunden. Wir haben
uns bemu¨ht, dieses Buch mit solchen mathematischen Juwelen zu fu¨llen.
Vieles vom Material in diesem Buch wird vom Leser in den mehr als 200
Aufgaben entwickelt. Die meisten Kapitel enthalten Aufw¨armu¨bungen, die
nicht aufdem Materialindem Kapitelaufbauen und gestelltwerdenk¨onnen,
bevor das Kapitel gelesen wird. Einige Aufgaben sind von zentraler Bedeu-
tung,indemSinn,dassdasaktuelleodersp¨atereMaterialvonihnenabh¨angt.
Diese Aufgaben sind mit ♣ markiert, und wir geben detaillierte L¨osungshin-
weise dazu am Ende des Buches. Die meisten Kapitel enthalten auch eine
Liste offener Forschungsprobleme.
Vorwort IX
Es stellt sich heraus, dass sogar ein Fu¨nftkl¨assler eine interessante Arbeit
u¨ber Gitterpunktaufz¨ahlung schreiben kann [144], w¨ahrend das Thema sich
zur tiefergehenden Untersuchung anbietet, die die aktuellen Anstrengungen
fu¨hrenderForscheranzieht.EshandeltsichalsoumeinGebietderMathema-
tik,dassowohlunsereunschuldigenKindheitsfragenalsauchunsereverfeiner-
te Einsicht und tiefere Neugierde anzieht. Das Niveau der Untersuchung ist
sehrangemessenfu¨reinevertiefendeGrundstudiumsvorlesunginMathematik.
DadiedreiobenskizziertenThemensichzurweiterenUntersuchunganbieten,
wurdeunserBuchauchmitErfolgfu¨reineneinfu¨hrendenHauptstudiumskurs
verwendet.
Um dem Leser dabei zu helfen, die Tragweite der Verbindungen zwischen
dem stetigen und dem diskreten Volumen voll zu erfassen, beginnen wir un-
sere Abhandlung in zwei Dimensionen, wo wir leicht Skizzen machen und
schnell experimentieren k¨onnen. Wir fu¨hren behutsam die Funktionen, die
wir in h¨oheren Dimensionen brauchen (Dedekind-Summen) ein, indem wir
das Mu¨nzenproblem geometrisch als das diskrete Volumen eines verallgemei-
nerten Dreiecks, auch Simplex genannt, betrachten.
DieTechnikensindamAnfangrechteinfach,imWesentlichennichtsweiter
alsPartialbruchzerlegungrationalerFunktionen.DaheristdasBuchfu¨reinen
Studenten, der die u¨blichen Vorlesungen u¨ber Analysis und lineare Algebra
geh¨orthat,leichtverst¨andlich.Hilfreichw¨areneingrundlegendesVerst¨andnis
der Partialbruchzerlegung, unendlicher Reihen, offener und abgeschlossener
Mengenim d,komplexerZahlen(insbesondereEinheitswurzeln)undmodu-
larer Arithm(cid:0)etik.
Ein wichtiges Berechnungstool, das wir uns das ganze Bu(cid:2)ch hindurch zu
Nutze machen werden, ist die Erzeugendenfunktion f(x) = ∞ a(m)xm,
m=0
wobei die a(m) eine beliebige Folge von Zahlen bilden, die wir untersuchen
m¨ochten. Wenn die unendliche Folge von Zahlen a(m),m = 0,1,2,..., in ei-
ner einzigenFunktion f(x) zusammengefasstwird, stellt sichoft heraus,dass
wir aus bis dahin unvorhergesehenenGru¨nden die ganze Reihe f(x) in u¨ber-
raschend kompakter Form aufschreiben k¨onnen. Es ist diese Umformulierung
derErzeugendenfunktionen,dieesunserlaubt,dieKombinatorikderzugrun-
deliegenden Folge a(m) zu verstehen. Fu¨r uns k¨onnte die Folge zum Beispiel
dieAnzahlderm¨oglichenZerlegungeneinerganzenZahlmitgegebenenMu¨nz-
wertenoderdie AnzahlderPunkteineinemimmer gr¨oßerwerdendenK¨orper
sein, und so weiter. Hier finden wir noch ein weiteres Beispiel fu¨r das Zu-
sammenspielzwischen dem Diskreten und dem Stetigen: Wir bekommen eine
diskrete Menge von Zahlen a(m) und fu¨hren dann die Untersuchung auf der
Erzeugendenfunktion f(x) in der stetigen Variable x durch.
Was ist das diskrete Volumen?
Die oben gegene physikalisch intuitive Beschreibung des diskreten Volumens
steht auf einem soliden mathematischen Fundament, sobald wir den Begriff
des Gitters einfu¨hren. Das Raster wird mathematisch durch die Sammlung
X Vorwort
aller ganzzahligen Punkte im euklidischen Raum beschrieben, n¨amlich d =
{(x1,...,xd) : alle xk ∈ }. Diese diskrete Sammlung gleichm¨aßig vert(cid:2)eilter
PunktewirdGitter genna(cid:2)nt.ZueinemgegebenengeometrischenK¨orperP ist
seindiskretesVolumeneinfachalsdieAnzahlderGitterpunkteinP definiert,
also als Anzahl der Elemente der Menge d∩P.
Intuitiv erhalten wir, wenn wir das G(cid:2)itter um einen Faktor k verkleinern
und die Anzahl der so geschrumpften Gitterpunkte in P z¨ahlen, eine besse-
re Ann¨aherung an das Volumen von P, relativ zum Volumen einer einzel-
nen Zelle des geschrumpften Gitters. Es stellt sich heraus, dass, nachdem
da(cid:3)ss Gitter (cid:4)um einen ganzzahligen Faktor k geschrumpft wurde, die Anzahl
# P ∩ k1 d geschrumpfter Gitterpunkte in einem ganzzahlige(cid:3)n Polytop(cid:4) P
wievonG(cid:2)eisterhandeinPolynominkist.DieseZ¨ahlfunktion# P ∩ 1 d ist
k
als Ehrhart-Polynom von P bekannt. Wenn wir das Gitter durch Gren(cid:2)zwert-
bildung immer weiter schrumpfen, dann kommen wir natu¨rlich beim durch
das Riemann-Integral aus der Anaylsis definierten stetigen Volumen heraus:
(cid:5) (cid:6)
1 1
volP = lim # P ∩ d .
k→∞ k(cid:2) kd
Wenn wir aber bei festgelegten Streckungen des Gitters stehenbleiben, erhal-
ten wir u¨berraschende Flexibilit¨at fu¨r die Berechnung des Volumens von P
und fu¨r die Anzahl der Gitterpunkte, die in P enthalten sind.
Wenn also der K¨orper P ein ganzzahliges Polytop ist, verhalten sich die
Fehlerterme, die die Diskrepanz zwischen dem diskreten und dem stetigen
Volumen messen, recht erfreulich; sie sind durch Ehrhart-Polynomegegeben,
und diese Aufz¨ahlungspolynome bilden den Inhalt von Kapitel 3
Die Fourier-Dedekind-Summen sind die Bausteine: Zahlentheorie
JedesPolytophateindiskretesVolumen,dasdurchgewisseendlicheSummen,
die als Dedekind-Summen bekannt sind, ausgedru¨cktwerdenkann. Bevorwir
deren Definition geben, motivieren wir diese Summen zun¨achst mit einigen
Beispielen, die ihr Verhalten als Bausteine der Gitterpunkt-Aufz¨ahlung il-
lustrieren. Konkret betrachten wir als Beispiel ein 1-dimensionales Polytop,
gegeben durch das Intervall P = [0,a], wobei a eine beliebige positive reel-
le Zahl ist. Es ist klar, dass wir die Gauß-Klammer (cid:5)x(cid:6) ben¨otigen, um die
Gitterpunkte in P zu z¨ahlen, und tats¨achlich ist die Antwort (cid:5)a(cid:6)+1.
Als n¨achstes betrachten wir einen 1-dimensionalen Geradenabschnitt in
der2-dimensionalenEbene.Wirw¨ahlenunserenGeradenabschnittP so,dass
erimKoordinatenursprungbeginntundimGitterpunkt(c,d)endet.Wienach
kurzemNachdenkenklarwird,enth¨altdieAnzahlderGitterpunktaufdiesem
endlichen Geradenabschnitt einen alten Bekannten, n¨amlich den gr¨oßten ge-
meinsamen Teiler von c und d. Die genaue Anzahl der Gitterpunkte auf dem
Geradenabschnitt ist ggT(c,d)+1.
UmdiesebeidenBeispielezuvereinheitlichen,betrachtenwireinDreieckP
inderEbene,dessenEckenrationaleKoordinatenhaben.Esstelltsichheraus,
Vorwort XI
dasseinebestimmteendlicheSummev¨ollignatu¨rlichist,dasiegleichzeitigdie
Gauß-Klammerunddengr¨oßtengemeinsamenTeilerverallgemeinert,obwohl
letzteres weniger offensichtlich ist. Ein Beispiel fu¨r eine Dedekind-Summe in
zwei Dimensionen, die auf natu¨rliche Weise in der Formel fu¨r das diskrete
Volumen eines rationalen Dreiecks P auftaucht, ist das Folgende:
(cid:7)b−1 (cid:5) (cid:6)(cid:5) (cid:8) (cid:9) (cid:6)
m 1 ma ma 1
s(a,b)= − − − .
b 2 b b 2
m=1
DieDefinitionbenutztdieGauß-Klammer.Warum¨ahnelndieseSummenauch
dem gr¨oßten gemeinsamen Teiler? Glu¨cklicherweise genu¨gen die Dedekind-
Summen einem bemerkenswerten Reziprozit¨atsgesetz, ganz ¨ahnlich dem eu-
klidischen Algorithmus, der den ggT berechnet. Dieses Reziprozit¨atsgesetz
erlaubt es, Dedekind-Summen in etwa log(b) Schritten zu berechnen, anstatt
der b Schritte, die die obige Definition nahelegt. Das Reziprozit¨atsgesetz fu¨r
s(a,b)bildetdasHerzstu¨ckeinigererstaunlicherZahlentheorie,diewirelemen-
tarbehandeln,dieaberauchausdemtiefergehendenGebietderModulformen
und anderer moderner Hilfsmittel kommt.
Wir befinden uns in der glu¨cklichen Position, eine wichtige Spitze eines
enormen Ideenbergs zu sehen, der in die Wasser der Geometrie getaucht ist.
W¨ahrendwirimmertieferindieseGew¨assereintauchen,zeigtsichunsimmer
mehr versteckteSch¨onheit,unddie Dedekind-Summen sindeinunverzichtba-
resHilfsmittel,dasesunserlaubt,je weiterzusehen,destotieferwirdringen.
Die relevanten K¨orper sind Polytope: Geometrie
DieBeispiele,diewirbenutzthaben,n¨amlichGeradenabschnitteundPolygo-
ne in der Ebene, sind Spezialf¨alle von Polytopen in beliebigen Dimensionen.
Ein Weg, Polytope zu definieren, ist es, die konvexe H¨ulle einer endlichen
Menge von Punkten im euklidischen Raum d zu betrachten. Das heißt, an-
genommen, jemand gibt uns eine Menge von(cid:0)Punkten v1,...,vn im d. Das
durchdie gegebenenPunkte vj bestimmte Polytopistdefiniertalsdie(cid:0)Menge
aller Linearkombinationen c1v1+c2v2+···+cnvn, wobei die Koeffizienten
cj nichtnegative reelle Zahlen sind, die der Bedingung c1+c2+···+cn = 1
genu¨gen. Diese Konstruktion wird V-Beschreibung des Polytops genannt.
Es gibt eine weitere ¨aquivalente Definition, die H-Beschreibung des Po-
lytops. Wenn uns n¨amlich jemand die linearen Ungleichungen gibt, die eine
Sammlung von Halbr¨aumen im d definieren, dann k¨onnen wir das dazu-
geh¨orige Polytop als Durchschnit(cid:0)t aller durch die gegebenen Ungleichungen
definierten Halbr¨aume definieren.
Es gibt einige offensichtliche“ Tatsachen u¨ber Polytope, die den meisten
”
Studenten intuitiv klar sind, die aber in Wirklichkeit vertrackt sind und de-
ren Beweis aus elementaren Axiomen nicht trivial ist. Zwei dieser Tatsachen,
n¨amlich dass jedes Polytopsowohleine V- als aucheine H-Beschreibung hat,
und dass jedes Polytop trianguliert werden kann, bilden eine unabdingbare
XII Vorwort
Kapitel 1
Kapitel 2
Das Mu¨nzenproblem
Eine Gallerie diskreter Volumina
von Frobenius
(cid:5)
(cid:2) (cid:5)(cid:6)
(cid:2)(cid:3)
Kapitel 3
Gitterpunktein Polytopen
z¨ahlen: Ehrhart-Theorie
(cid:4)
Kapitel 7 (cid:4)
Endliche Fourier-Analysis
Kapitel 4
Reziprozit¨at
(cid:4) (cid:7)(cid:8)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7) (cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:10)
Kapitel 8 Kapitel 6
Dedekind-Summen (cid:4) Magische Quadrate
Kapitel 5
Seitenzahlen und die
Dehn-Sommerville-Gleichungen
(cid:11)
(cid:11)(cid:12)
Kapitel 12 Kapitel 9
Eine diskrete Version Die Zerlegung eines Poly-
des Satzes von Green tops in seine Kegel
(cid:5) (cid:2)
(cid:5)(cid:6)
(cid:2)(cid:3)
Kapitel 10
Kapitel 11
Euler-MacLaurin-
Raumwinkel
Summation im d
(cid:0)
Abb. 0.2. Die partiell geordnete Menge der Kapitelabh¨angigkeiten.
Basisfu¨r dasMaterial,daswirindiesemBucherarbeitenwerden.Wirbewei-
sen beide Tatsachen sorgf¨altig in den Anh¨angen. Die beiden Hauptaussagen
der Anh¨ange sind intuitiv klar, so dass Neulinge die Beweise u¨berspringen
k¨onnen,ohne dassihreF¨ahigkeitzurBerechnungstetigerunddiskreterVolu-
minaSchadennimmt. AlleS¨atze imText(auchdie indenAnh¨angen)werden
aus grundlegenden Axiomen hergeleitet, mit Ausnahme des letzten Kapitels,
in dem wir einige Grundbegriffe der Funktionentheorie voraussetzen.
Der Text ist in zwei Teile gegliedert, wie wir jetzt erl¨autern.