Damage Mechanics in Metal Forming

535 Pages·2012·8.562 MB·English

DamageMechanicsinMetalForming
Damage Mechanics
in Metal Forming
Advanced Modeling and Numerical Simulation
Khemais Saanouni
Series Editor
Pierre Devalan
Firstpublished2012inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&Sons,Inc.
Apart from any fair dealing for the purposes of research or private study, or criticism or review, as
permittedundertheCopyright,DesignsandPatentsAct1988,thispublicationmayonlybereproduced,
storedortransmitted,inanyformorbyanymeans,withthepriorpermissioninwritingofthepublishers,
or in the case of reprographic reproduction in accordance with the terms and licenses issued by the
CLA. Enquiries concerning reproduction outside these terms should be sent to the publishers at the
undermentionedaddress:
ISTELtd JohnWiley&Sons,Inc.
27-37StGeorge’sRoad 111RiverStreet
LondonSW194EU Hoboken,NJ07030
UK USA
www.iste.co.uk www.wiley.com
©ISTELtd2012
TherightsofKhemaisSaanounitobeidentifiedastheauthorofthisworkhavebeenassertedbyhimin
accordancewiththeCopyright,DesignsandPatentsAct1988.
____________________________________________________________________________________
LibraryofCongressCataloging-in-PublicationData
Saanouni,Khemais,1955-
Damagemechanicsinmetalforming:advancedmodelingandnumericalsimulation/
KhemaisSaanouni.
p.cm.
Includesbibliographicalreferencesandindex.
ISBN978-1-84821-348-7
1. Metals--Plasticproperties.2. Metal-work--Mathematicalmodels.3. Metal-work--Qualitycontrol.4.
Deformations(Mechanics)--Mathematicalmodels.5. Boundaryvalueproblems. I.Title.
TA460.S122012
620.1'6--dc23
2011051811
BritishLibraryCataloguing-in-PublicationData
ACIPrecordforthisbookisavailablefromtheBritishLibrary
ISBN:978-1-84821-348-7
PrintedandboundinGreatBritainbyCPIGroup(UK)Ltd.,Croydon,SurreyCR04YY
Image:createdbyUTT/LASMIS
Table of Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
PrincipleofMathematicalNotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Chapter1.ElementsofContinuumMechanicsandThermodynamics . . . 1
1.1.Elementsofkinematicsanddynamicsofmaterially
simplecontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1.Homogeneoustransformationandgradientoftransformation . . . 2
1.1.1.1.Homogeneoustransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1.2.Gradientoftransformationanditsinverse. . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1.3.Polardecompositionofthetransformationgradient. . . . . . . 5
1.1.2.Transformationofelementaryvectors,surfacesandvolumes. . . . 5
1.1.2.1.Transformationofanelementaryvector. . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2.2.Transformationofanelementaryvolume:
thevolumedilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2.3.Transformationofanorientedelementarysurface. . . . . . . . 7
1.1.3.Variousdefinitionsofstretch,strainandstrainrates . . . . . . . . . 8
1.1.3.1.Onsomedefinitionsofstretches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3.2.Onsomedefinitionsofthestraintensors . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3.3.Strainratesandrotationrates(spin)tensors. . . . . . . . . . . . 15
1.1.3.4.Volumicdilatationrate,relativeextensionrate
andangularslidingrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4.Variousstressmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.5.Conjugatestrainandstressmeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.6.Changeofreferentialorconfigurationandthe
conceptofobjectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.6.1.Impactonstrainandstrainrates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.6.2.Impactonstressandstressrates.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
vi DamageMechanicsinMetalForming
1.1.6.3.Impactontheconstitutiveequations . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.7.Straindecompositionintoreversibleandirreversibleparts . . . . . 30
1.2.Ontheconservationlawsforthemateriallysimplecontinua. . . . . . . 33
1.2.1.Conservationofmass:continuityequation. . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.2.Principleofvirtualpower:balanceequations . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.3.Energyconservation.Firstlawofthermodynamics. . . . . . . . . . 36
1.2.4.Inequalityoftheentropy.Secondlawofthermodynamics . . . . . 37
1.2.5.Fundamentalinequalitiesofthermodynamics . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.6.Heatequationdeductedfromenergybalance . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.Materiallysimplecontinuumthermodynamicsandthenecessityof
constitutiveequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.1.Necessityofconstitutiveequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.2.Somefundamentalpropertiesofconstitutiveequations . . . . . . . 41
1.3.2.1.Principleofdeterminismorcausalityaxiom . . . . . . . . . . . 42
1.3.2.2.Principleoflocalaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3.2.3.Principleofobjectivityormaterialindifference .. . . . . . . . 42
1.3.2.4.Principleofmaterialsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.2.5.Principleofconsistency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.2.6.Thermodynamicadmissibility. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.3.Thermodynamicsofirreversibleprocesses.
Thelocalstatemethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.3.1.Apresentationofthelocalstatemethod. . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.3.2.Internalconstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4.Mechanicsofgeneralizedcontinua.Micromorphictheory. . . . . . . . 55
1.4.1.Principleofvirtualpowerformicromorphiccontinua . . . . . . . . 58
1.4.2.Thermodynamicsofmicromorphiccontinua. . . . . . . . . . . . . . 59
Chapter2.Thermomechanically-ConsistentModelingofthe
MetalsBehaviorwithDuctileDamage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.Onthemainschemesformodelingthebehaviorof
materiallysimplecontinuousmedia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.Behaviorandfractureofmetalsandalloys:somephysicaland
phenomenologicalaspects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.1.Onthemicrostructureofmetalsandalloys. . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.2.Phenomenologyofthethermomechanicalbehaviorof
polycrystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2.1.Linearelasticbehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.2.2.Inelasticbehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2.2.3.Inelasticbehaviorsensitivetotheloadingrate . . . . . . . . . . 74
2.2.2.4.Initialandinducedanisotropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.2.5.Otherphenomenalinkedtotheshapeoftheloadingpaths. . . 77
2.2.3.Phenomenologyoftheinelasticfractureofmetalsandalloys. . . . 82
TableofContents vii
2.2.3.1.Micro-defectsnucleation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.3.2.Micro-defectsgrowth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.3.3.Micro-defectscoalescenceandfinalfractureoftheRVE. . . . 85
2.2.3.4.Afirstdefinitionofthedamagevariable. . . . . . . . . . . . . . 86
2.2.3.5.Fromductiledamageatamaterialpointtothetotal
fractureofastructurebypropagationofmacroscopiccracks . . . . . . 89
2.2.4.Summaryoftheprincipalphenomenatobemodeled. . . . . . . . . 90
2.3.Theoreticalframeworkofmodelingandmainhypotheses . . . . . . . . 91
2.3.1.Themainkinematichypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.1.1.Choiceofkinematicsandcompliancewiththeprincipleof
objectivity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3.1.2.Decompositionofstrainrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3.1.3.Onsomerotatingframechoices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3.2.Implementationofthelocalstatemethodandmain
mechanicalhypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.3.2.1.Choiceofstatevariablesassociatedwithphenomena
beingmodeled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.2.2.Definitionofeffectivevariables:damageeffectfunctions . . . 108
2.4.Statepotential:staterelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.1.Statepotentialincaseofdamageanisotropy. . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.1.1.Formulationinstrainspace:Helmholtzfreeenergy . . . . . . . 114
2.4.1.2.Formulationinstressspace:Gibbsfreeenthalpy. . . . . . . . . 121
2.4.2.Statepotentialinthecaseofdamageisotropy. . . . . . . . . . . . . 124
2.4.2.1.Formulationinstrainspace:Helmholtzfreeenergy . . . . . . . 124
2.4.2.2.Formulationinstressspace:Gibbsfreeenthalpy. . . . . . . . . 128
2.4.3.Microcracksclosure:quasi-unilateraleffect . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.3.1.Conceptofmicro-defectclosure:deactivation
ofdamageeffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4.3.2.Statepotentialwithquasi-unilateraleffect. . . . . . . . . . . . . 132
2.5.Dissipationanalysis:evolutionequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.1.Thermaldissipationanalysis:generalizedheatequation. . . . . . . 140
2.5.1.1.Heatfluxvector:Fourierlinearconductionmodel. . . . . . . . 141
2.5.1.2.Generalizedheatequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.5.2.Intrinsicdissipationanalysis:caseoftime-independent
plasticity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.5.2.1.Damageableplasticdissipation:anisotropicdamage
withtwoyieldsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.5.2.2.Damageableplasticdissipation:anisotropicdamage
withasingleyieldsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.5.2.3.Incompressibleanddamageableplasticdissipation:
isotropicdamagewithtwoyieldsurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2.5.2.4.Incompressibleanddamageableplasticdissipation:
singleyieldsurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
viii DamageMechanicsinMetalForming
2.5.3.Intrinsicdissipationanalysis:time-dependent
plasticityorviscoplasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.5.3.1.Damageableviscoplasticdissipationwithout
restoration:anisotropicdamagewithtwoviscoplasticpotentials . . . . 176
2.5.3.2.Viscoplasticdissipationwithdamage:isotropic
damagewithasingleviscoplasticpotentialandrestoration . . . . . . . 182
2.5.4.Someremarksonthechoiceofrotatingframes . . . . . . . . . . . . 186
2.5.5.Modelingsomespecificeffectslinkedtometallic
materialbehavior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.5.5.1.Effectsofnon-proportionalloadingpathson
strainhardeningevolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
2.5.5.2.Strainhardeningmemoryeffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.5.5.3.Cumulativestrainsorratcheteffect. . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.5.5.4.Yieldsurfaceand/orinelasticpotentialdistortion . . . . . . . . 192
2.5.5.5.Viscosity-hardeningcoupling:thePiobert–Lüderspeak . . . . 192
2.5.5.6.Accountingforthematerialmicrostructure . . . . . . . . . . . . 193
2.5.5.7.Somespecificeffectsonductilefracture. . . . . . . . . . . . . . 193
2.6.Modelingofthedamage-inducedvolumevariation . . . . . . . . . . . . 194
2.6.1.Onthecompressibilityinducedbyisotropicductiledamage . . . . 195
2.6.1.1.Conceptofvolumedamage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.6.1.2.Statecouplingandstaterelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.6.1.3.Dissipationcouplingandevolutionequations. . . . . . . . . . . 197
2.7.Modelingofthecontactandfrictionbetweendeformablesolids . . . . 200
2.7.1.Kinematicsandcontactconditionsbetweensolids . . . . . . . . . . 201
2.7.1.1.Impenetrabilitycondition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.7.1.2.Equilibriumconditionofcontactinterface. . . . . . . . . . . . . 204
2.7.1.3.Contactsurfacenon-adhesioncondition. . . . . . . . . . . . . . 205
2.7.1.4.Contactunilateralitycondition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
2.7.2.Onthemodelingoffrictionbetweensolidsincontact .. . . . . . . 206
2.7.2.1.Time-independentfrictionmodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.8.Nonlocalmodelingofdamageablebehaviorof
micromorphiccontinua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
2.8.1.Principleofvirtualpowerforamicromorphicmedium:
balanceequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2.8.2.Statepotentialandstaterelationsforamicromorphicsolid. . . . . 218
2.8.3.Dissipationanalysis:evolutionequationsfora
micromorphicsolid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2.8.4.Continuoustangentoperatorsandthermodynamic
admissibilityforamicromorphicsolid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
2.8.5.Transformationofmicromorphicbalanceequations . . . . . . . . . 224
2.9.Onthemicro–macromodelingofinelasticflowwith
ductiledamage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2.9.1.Principleoftheproposedmeso–macromodelingscheme . . . . . . 227
TableofContents ix
2.9.2.DefinitionoftheinitialRVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2.9.3.Localizationstages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2.9.4.Constitutiveequationsatdifferentscales. . . . . . . . . . . . . . . . 233
2.9.4.1.Statepotentialandstaterelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2.9.4.2.Intrinsicdissipationanalysis:evolutionequations . . . . . . . . 235
2.9.5.Homogenizationandthemeanvaluesoffieldsatthe
aggregatescale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
2.9.6.Summaryofthemeso–macropolycrystallinemodel . . . . . . . . . 240
Chapter3.NumericalMethodsforSolvingMetalFormingProblems . . . 243
3.1.Initialandboundaryvalueproblemassociatedwithvirtual
metalformingprocesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.1.1.Strongformsoftheinitialandboundaryvalueproblem. . . . . . . 245
3.1.1.1.Postingafullycoupledproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3.1.1.2.Someremarksonthermalconditionsatcontactinterfaces . . . 250
3.1.2.Weakformsoftheinitialandboundaryvalueproblem . . . . . . . 252
3.1.2.1.OnthevariousweakformsoftheIBVP. . . . . . . . . . . . . . 252
3.1.2.2.Weakformassociatedwithequilibriumequations. . . . . . . . 254
3.1.2.3.Weakformassociatedwithheatequation . . . . . . . . . . . . . 257
3.1.2.4.Weakformassociatedwithmicromorphicdamage
balanceequation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3.1.2.5.Summaryofthefullycoupledevolutionproblem .. . . . . . . 258
3.2.TemporalandspatialdiscretizationoftheIBVP. . . . . . . . . . . . . . 259
3.2.1.TimediscretizationoftheIBVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
3.2.2.SpatialdiscretizationoftheIBVPbyfiniteelements. . . . . . . . . 260
3.2.2.1.Spatialsemi-discretizationoftheweakformsoftheIBVP. . . 260
3.2.2.2.Examplesofisoparametricfiniteelements . . . . . . . . . . . . 266
3.3.OnsomeglobalresolutionschemeoftheIBVP . . . . . . . . . . . . . . 270
3.3.1.Implicitstaticglobalresolutionscheme. . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3.3.1.1.Newton–Raphsonschemeforthesolutionofthefully
coupledIBVP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.3.1.2.Onsomeconvergencecriteria.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.3.1.3.Calculationofthevarioustermsofthetangentmatrix . . . . . 276
3.3.1.4.ThepurelymechanicalconsistentJacobianmatrix. . . . . . . . 280
3.3.1.5.ImplicitglobalresolutionschemeofthecoupledIBVP. . . . . 282
3.3.2.Dynamicexplicitglobalresolutionscheme . . . . . . . . . . . . . . 284
3.3.2.1.Solutionofthemechanicalproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 284
3.3.2.2.Solutionofthermal(parabolic)problem. . . . . . . . . . . . . . 286
3.3.2.3.Solutionofmicromorphicdamageproblem. . . . . . . . . . . . 288
3.3.2.4.Sequentialschemeofexplicitglobal
resolutionoftheIBVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.3.3.Numericalhandlingofcontact-frictionconditions . . . . . . . . . . 291
x DamageMechanicsinMetalForming
3.3.3.1.Lagrangemultipliermethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
3.3.3.2.Penaltymethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3.3.3.3.Onthesearchforcontactnodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
3.3.3.4.Onthenumericalhandlingoftheincompressibility
condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.4.Localintegrationscheme:statevariablescomputation . . . . . . . . . . 304
3.4.1.OnnumericalintegrationusingtheGaussmethod . . . . . . . . . . 304
3.4.2.Localintegrationofconstitutiveequations:computation
ofthestresstensorandthestatevariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.4.2.1.Onthenumericalintegrationoffirst-orderODEs . . . . . . . . 306
3.4.2.2.Choiceofconstitutiveequationstointegrate . . . . . . . . . . . 308
3.4.2.3.Integrationoftime-independentplasticconstitutive
equations:thecaseofavonMisesisotropicyieldcriterion. . . . . . . . 313
3.4.2.4.Integrationoftime-independentplasticconstitutive
equations:thecaseofaHillquadraticanisotropicyieldcriterion. . . . 326
3.4.2.5.Integrationoftheconstitutiveequationinthe
caseofviscoplasticflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
3.4.2.6.Calculationoftherotationtensor:incrementalobjectivity . . . 333
3.4.2.7.Remarksontheintegrationofthemicromorphic
damageequation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
3.4.3.Onthelocalintegrationoffrictionequations. . . . . . . . . . . . . . . 335
3.5.Adaptiveanalysisofdamageableelasto-inelasticstructures . . . . . . . 337
3.5.1.Adaptationoftimesteps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
3.5.2.Adaptationofspatialdiscretizationormeshadaptation . . . . . . . 341
3.6.Onotherspatialdiscretizationmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
3.6.1.Anoutlineofnon-meshmethods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
3.6.2.OntheFEM–meshlessmethodscoupling . . . . . . . . . . . . . . . 353
Chapter4.ApplicationtoVirtualMetalForming . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4.1.Whyusevirtualmetalforming?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
4.2.Modelidentificationmethodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
4.2.1.Parametricalstudyofspecificmodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4.2.1.1.Choosingtypicalconstitutiveequations . . . . . . . . . . . . . . 360
4.2.1.2.Isothermaluniaxialtension(compression)
loadwithoutdamage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
4.2.1.3.Accountingforductiledamageeffect . . . . . . . . . . . . . . . 383
4.2.1.4.Accountingforinitialanisotropyininelasticflow. . . . . . . . 396
4.2.2.Identificationmethodologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
4.2.2.1.Somegeneralremarksontheissueofidentification. . . . . . . 414
4.2.2.2.Recommendedidentificationmethodology . . . . . . . . . . . . 416
4.2.2.3.Illustrationoftheidentificationmethodology. . . . . . . . . . . 422
4.2.2.4.Usinganonlocalmodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
TableofContents xi
4.3.Someapplications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
4.3.1.Sheetmetalforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
4.3.1.1.Somedeepdrawingprocessesofthinsheets . . . . . . . . . . . 432
4.3.1.2.Somehydro-bulgingtestofthinsheetsandtubes . . . . . . . . 441
4.3.1.3.Cuttingprocessesofthinsheets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
4.3.2.Bulkmetalformingprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
4.3.2.1.Classicalbulkmetalformingprocesses . . . . . . . . . . . . . . 463
4.3.2.2.Bulkmetalformingprocessesundersevereconditions . . . . . 476
4.4.Towardtheoptimizationofformingand
machiningprocesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
Appendix:Legendre–FenchelTransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515