Computergrafik in der Differentialgeometrie: Ein Arbeitsbuch für Studenten inklusive objektorientierter Software

597 Pages·1993·15.17 MB·German

by  Eberhard Malkowsky

Eberhard Malkowsky
Wolfgang Nickel
Computergrafik
in der
Differentialgeometrie
vieweg
~- Informatik & Computer
Aufbau und Arbeitsweise von Rechenanlagen
von Wolfgang Coy
Mehr als nur Programmieren ...
Eine Einführung in die Informatik
von Rainer Gmehlich und Heinrich Rust
Simulation neuronaler Netze
von Norbert Hoffmann
Computergrafik in der
Differentialgeometrie
Ein Arbeitsbuch für Studenten
inklusive objektorientierter Software
von Eberhard Malkowsky und Wolfgang Nickel
herausgegeben von Kurt Endl
Modellbildung und Simulation
von Hartmut Bossel
Fuzzy-Theorie oder die Faszination des Vagen
Grundlagen einer präzisen Theorie des Unpräzisen
für Mathematiker, Informatiker und Ingenieure
von Bernd Demant
Fuzzy Sets and Fuzzy Logic
von Siegfried Gottwald
"Elemente" der Informatik
Ausgewählte mathematische Grundlagen
für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker
von Rainer Beedgen
Computersicherheit
von Rolf Oppliger
Formale Methoden und kleine Systeme
von Dirk Siefkes
__ Vieweg
Eberhard Malkowsky
Wolfgang Nickel
Computergrafik
in der
Differentialgeometrie
Ein Arbeitsbuch für Studenten
inklusive objektorientierter Software
herausgegeben von Kurt Endl
11
vleweg
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1993
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Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-663-05913-4 ISBN 978-3-663-05912-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-05912-7
Vorwort des Herausgebers v
VORWORT DES HERAUSGEBERS
Die Differentialgeometrie ist für viele Wissenschafts- und An
wendungsgebiete von überragender Bedeutung. Da ihre Objekte
analytischer Natur sind, können sie mit mathematischen Methoden
behandelt und computergrafisch dargestellt werden.
Inzwischen gibt es für zahlreiche Anwendungsgebiete - Mathema
tik, Physik, Konstruktion usw. - eine zum Teil sehr allgemeine
Software, die bis zu einem gewissen Grad auch die computergra
fische Behandlung einiger differentialgeometrischer Probleme
erlaubt. Doch, wie vollkommen eine solche Software auch konzi
piert und implementiert sein mag, sie ist auf eine wohldefi
nierte, naturgemä~ begrenzte Palette von Möglichkeiten be
schränkt. Probleme, die durch keine solche Software abgedeckt
werden, bedürfen einer eigenen Behandlung.
Die vorliegende "Software zur Differentialgeometrie" ist eine
Einführung in die Programmierung der grundlegenden differenti
algeometrischen Sachverhalte. Sie bleibt auf der Programmier
ebene, im Gegensatz zu einer "fertigen" Software mit einer Be
nutzeroberfläche. Die Implementierung geschieht in objektorien
tierter, dynamischer Form mit TURBO PASCAL. Die Möglichkeiten
der Objekthierarchie und insbesondere der Vererbung erlauben
hierbei beliebige Verallgemeinerungen der behandel ten Kurven
und Flächenklassen. Es handelt sich damit um eine offene Soft
ware im Sinne der objektorientierten Programmierung.
Neben der Möglichkeit des Einsatzes in Anwendungsbereichen er
öffnet die "Software zur Differentialgeometrie" gro~e Möglich
keiten für die Lehre. An einschlägigen Fachhochschulen und al
len Universitäten gehört ja eine Einführung in die Differenti
algeometrie im Prinzip zum notwendigen Repertoire. Wer immer
aber eine einschlägige Vorlesung gehalten hat, wei~ um die
Schwierigkeiten, die Resultate des höchst komplexen Formelappa
rats zu veranschaulichen. Die Darstellung einer Kugel mit Meri
dianen und Breitenkreisen mag einem manuell begabten Dozenten
noch gelingen, aber das Zeichnen geodätischer Linien auf einer
allgemeinen Rotationsfläche ist schon etwas anderes.
Die Heranziehung einer "fertigen" Software zur Illustration
oder gar zum Ersatz der theoretischen Grundlagen stellt keine
Lösung dar. Es kann nicht Ziel der Erziehung sein, den Studen
ten das Drücken von Tasten und Herumschieben einer Maus zur Be
dienung einer solchen Software beizubringen, so bequem das auch
erscheinen mag. Die Vermittlung der grundlegenden theoretischen
Tatsachen sollte nach wie vor im Vordergrund stehen. Eigene
Programmierung von anfallenden Problemen erbringt dann den
willkommenen Beweis, ob die Theorie tatsächlich verstanden ist.
Zusätzlich lernt der Student noch, seine Gedanken einem Compu
ter in einer Hochsprache mitzuteilen.
VI Vorwort des Herausgebers
In diesem Zusammenhang schafft die Beispielbibliothek "Software
zur Differentialgeometrie" eine willkommene und brillante Un
terstützung. Alle wichtigen Begriffe werden mit zahlreichen
lauffähigen Programmen demonstriert, wobei bei geeigneten Pro
blemen zusätzlich noch kinematische Effekte eingebaut sind, so
daß man etwa die Genesis einer Raumkurve mitverfolgen kann.
Diese grafische Software-Bibliothek zur Differentialgeometrie
ist in der gesamten Literatur ohne Beispiel.
Die "Software zur Differentialgeometrie" ist eine Weiterent
wicklung der "Software zur Geometrie", die in den letzten sie
ben Jahren am Mathematischen Institut der Justus-Liebig-Univer
sität Gießen entwickelt wurde. Sie hat die klassische Geometrie
zum Thema und beinhaltet unter anderem einen "Geometrischen
Werkzeugkasten", der die für eine anspruchsvolle Computergrafik
notwendigen Routinen erklärt und programmäßig zur Verfügung
stellt. In diversen Diplomarbeiten wurden hierzu einige Erwei
terungen behandelt, etwa Quadriken mit ihren S~hnittlinien,
allgemeine Polyeder, Rotationsflächen mit splineartigen Kon
turen usw.
Im Gegensatz hierzu sind in dieser neuen Software zusätzlich
alle analytischen Sachverhalte eingebunden, die in der Dif
ferentialgeometrie benötigt werden. Diese Zielsetzung bedingt
unter anderem auch eine substantielle Abänderung und Erwei
terung der diversen Objekthierarchien. Die ebenfalls notwendi
gen numerischen Methoden sind maßgeschneidert zum Thema ent
wickelt und ebenfalls Bestandteil der neuen Software.
Gießen, August 1993
Kurt Endl
Inhaltsverzeichnis VII
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT DES HERAUSGEBERS V
INHALTSVERZEICHNIS VII
VORWORT 1
INSTALLATIONHINWEISE 5
1. DIE TECHNIK DES ZEICHNENS 7
1.1 Punkte und Vektoren ............................. . 7
1.2 Intervalle ...................................... . 11
1.3 Der Grafikbildschirm ............................ . 14
1.4 Das 2D-Weltkoordinatensystem .................... . 17
1.5 Die Strategie zum Zeichnen einer Kurve .......... . 19
1.6 Bemerkungen zur objektorientierten Programmierung 21
1.7 Der Objekttyp Curve2DT .......................... . 22
1.8 Beispiele für 2D-Kurven ......................... . 27
1.9 Geraden und Ebenen .............................. . 31
1.10 Die perspektivische Abbildung ................... . 36
1.11 Der Objekt typ Curve3DT .......................... . 40
1.12 Beispiele für 3D-Kurven ......................... . 42
1.13 Die Darstellung von Flächen ..................... . 46
1.14 Die Darstellung einer Kugel ..................... . 52
1.15 Die Darstellung eines Zylinders ................. . 65
1.16 Die Darstellung eines Kegels .................... . 71
1.17 Die Darstellung einer Ebene ..................... . 74
1.18 Der Schnitt einer Kugel mit einer Ebene ......... . 77
1.19 Der Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene 82
1. 20 Der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene ........ . 87
1. 21 Das Zeichnen von Flächenkurven .................. . 88
2. KURVENTHEORIE 93
2.1 Der Kurvenbegriff in der Differentialgeometrie 93
2.2 Die Bogenlänge .................................. . 100
2.3 Quadratische ebene Kurven ....................... . 101
2.4 Algebraische Kurven dritter und vierter Ordnung 113
2.5 Zykloiden, Spiralen und Kettenlinien ............ . 121
2.6 Tangentenvektor und Tangente .................... . 126
2.7 Das beg lei tende Dreibein einer Kurve ............ . 141
2.8 Frenet'sche Formeln, Krümmung und Torsion einer
Kurve ........................................... . 148
2.9 Schmieg-, Normal- und Streckebene ............... . 156
2.10 Krümmungskreis und Schmiegkugel ................. . 160
2.11 Der Fundamentalsatz der Kurventheorie, die natür-
lichen Gleichungen einer Kurve .................. . 165
2.12 Böschungslinien ................................. . 166
VIII Inhaltsverzeichnis
2.13 Sphärische Bilder einer Kurve .................... 175
2.14 Die räumliche Bewegung des begleitenden Dreibeins,
Darboux' scher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
2.15 Evolventen und Evoluten einer Kurve .............. 183
2.16 Bertrand'sche Kurvenpaare " ...................... 191
3. FLÄCHEN UND FLÄCHEN KURVEN 196
3.1 Flächen und Flächenkurven ....................... . 196
3.2 Tangentialebene und begleitendes Dreibein
einer Fläche .................................... . 211
3.3 Die Darstellung von Quadriken ................... . 214
3.4 Die Darstellung von Regelflächen ................ . 226
3.5 Die Darstellung von Flächen impliziter Form 242
3.6 Die Darstellung von Rotationsflächen ............ . 254
3.7 Die Darstellung von Schraubenflächen ............ . 267
3.8 Schnitte von Ebenen mit Flächen ................. . 276
3.9 Metrische Fundamentalgrö~en ..................... . 297
3.10 Parametertransformationen ....................... . 321
3.11 Einführung orthogonaler Parameter ............... . 325
3.12 Geodätische Krümmung, Normalkrümmung und zweite
Fundamentalgrö~en ............................... . 331
3.13 Einige Bemerkungen zur Kontur von Flächen ....... . 340
4. GEODÄTISCHE KRüMMUNG UND GEODÄTISCHE LINIEN 342
4.1 Die Christoffel-Symbole und die geodätische
Krümmung als innergeometrische Grö~e ............. 342
4.2 Geodätische Linien als Linien verschwindender
geodätischer Krümmung ............................ 350
4.3 Geodätische Linien auf Flächen mit orthogonalen
Parameterlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
4.4 Asymptotisches Verhalten geodätischer Linien auf
Rotationsflächen ................................. 366
4.5 Die Extremaleigenschaft der geodätischen Linien 385
4.6 Geodätische Parameter ............................ 386
4.7 Geodätische Parallelkoordinaten und geodätische
Polarkoordinaten ................................. 399
4.8 Die Parallelverschiebung nach Levi-Civita ........ 418
5. GAUSS'SCHE UND MITTLERE KRüMMUNG ...................... 434
5.1 Die Normalkrümmung und die zweite Fundamentalform 434
5.2 Hauptkrümmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 443
5.3 Asymptotenlinien ................................. 465
5.4 Elliptische, parabolische und hyperbolische
Flächenkrümmungen ................................ 474
5.5 Die Dupin' sehe Indikatrix ........................ 480
5.6 Die Ableitungsgleichungen von Gau~ und Weingarten 486
5.7 Die geometrische Deutung der Gau~'schen Krümmung 494
5.8 Theorema Egregium ................................ 500
Inhaltsverzeichnis IX
6. NUMERISCHE VERFAHREN 502
6.1 Bestimmung von Nullstellen 502
6.2 Berechnung von Integralen 512
7. AUSGABE DER GRAFIKEN MIT ANDEREN GERATEN 520
7.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
7.2 Der Plotter ...................................... 524
7.3 PostScript-Ausgabe ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
7.4 Das Abspeichern der Bildschirmdaten .............. 536
7.5 Das Device VD .................................... 539
7.6 Das Zeichnen von Kurven auf anderen Geräten 543
8. WEITERE BEMERKUNGEN UND ZUSAMMENFASSUNG 548
8.1 Die Uni t UEC .................................... . 548
8.2 Die Uni t UClock ................................. . 551
8.3 Die Unit UMath .................................. . 552
8.4 Die Uni t UNum ................................... . 555
8.5 Die Uni t UG1 .................................... . 555
8.6 Die Inhalte der weiteren Units .................. . 561
8.7 Der Objekttyp SurfaceT .......................... . 562
8.8 Die Objekttypen Curve2DT und Curve3DT ........... . 565
8.9 Der Objekttyp UiT ............................... . 567
8.10 Der Objekttyp CFOnSurfT ......................... . 569
8.11 Eine übersicht über die konstruierten Objekt-
hierarchien ..................................... . 571
8.12 Regeln für die Wahl von Bezeichnern und Abkürzungen 573
LISTE DER PROGRAMME 576
LITERATURVERZEICHNIS 580
SACHWORTREGISTER 582
Vorwort
VORWORT
Zweck des vorliegenden Buches ist es, die Möglichkeiten des
Personal Computers zur grafischen Darstellung differentialgeo
metrischer Probleme zu erschließen. Dazu haben wir eine "offene
Software zur Differentialgeometrie" entwickelt. Während einem
Anwender gängiger Softwarepakete im allgemeinen der Bereich un
terhalb der Benutzeroberfläche verschlossen bleibt, öffnen wir
unser Paket und machen unsere Programme und Methoden zugäng
lich, so daß der Leser aktiv auf der Programmebene eingreifen
kann, um seine eigenen grafischen Probleme zu lösen. In diesem
Sinne ist unsere Software offen und beliebig erweiterbar.
Unsere Programme sind in TURBO-PASCAL unter Ausnutzung des ob
jektorientierten Programmierstils geschrieben. Ohne die damit
verbundene strikte Datenkapselung, die Vererbung und die Ver
wendung polymorpher Objektmethoden könnte die notwendige
Sicherheit und Transparenz in der Software wegen der großen
Komplexität der AufgabensteIlung nicht gewährleistet werden.
Wir haben auf die "Software zur Geometrie" von Prof. Dr. K.
Endl aufgebaut (siehe [1] und [2]). Sie stellt einen großen
geometrischen Werkzeugkasten dar und enthält die notwendigen
Routinen für den Umgang mit geometrischen Objekten.
Allerdings können die in [2] entwickelten Objekthierarchien in
der vorliegenden Form nicht übernommen werden, sondern es müs
sen völlig neue Strukturen geschaffen werden. Dabei hat es sich
als zweckmäßig erwiesen, für die geometrischen und die zeichen
technischen Aspekte jeweils einen eigenen Vererbungsbaum zu
konstruieren und beide an den geeigneten Stellen untereinander
zu verbinden.
Die Ergebnisse der einzelnen Kapitel werden mit vielen gerech
neten Beispielen und insgesamt 156 lauf fähigen Programmen ver
tieft. Die entwickelten Prozeduren, Funktionen, Objekt typen und
Objektmethoden sind in 29 Units abgelegt.
Besonders zu erwähnen sind auch die vielen Programme, bei denen
kinematische Effekte erzeugt werden. Dadurch lassen sich die
geometrische Bedeutung einiger Sachverhalte oder das geometri
sche Konstruktionsprinzip vieler Kurven dynamisch darstellen
(zum Beispiel P2 21. P2 23, P2_30, und P2_32).
Weiterhin werden auch die Ausgabemöglichkeiten für unsere Gra
fiken erweitert. Die neue Software erlaubt nun gleichzeitig das
Zeichnen auf dem Bildschirm, die direkte Ansteuerung eines
Plotters und eines postscriptfähigen Ausgabegerätes sowie das
Abspeichern aller erzeugten gerätespezifischen Daten in ver
schiedenen Dateien.