Computer-Numerik 2

533 Pages·1995·15.49 MB·German

by  Christoph Überhuber (auth.)

Oberhuber . Computer-Numerik 2
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Christoph Üb erhub er
COMPUTER
NUMERIK2
Mit 73 Abbildungen
, Springer
Christoph Oberhuber
TUWien
Institut fUr Angewandte
und Numerische Mathematik
Wiedner HauptstraBe 8-10/115
A-1040Wien
Einbandmotiv: Einzelaufnahme (Ausschnitt) aus dem Videofilm von
Margot Pilz "Gasoline Tango", 1988.
Mathematics Subject Classification: 65-00,65-01,65-04, 65Dxx, 65Fxx,
65Hxx, 65Yxx, 65Yl5, 65Y20
ISBN 978-3-540-59152-8
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Oberhuber, Christoph: Computer-Numerik IChristoph Oberhuber.
Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Bud.pest; Hong Kong; London; Mailand;
Paris; Tokyo: Springer
2. -(1995)
ISBN 978-3-540-59152-8 ISBN 978-3-642-57794-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-57794-9
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@ Springer-Verlag Berlin Heide1berg 1995
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heide1berg New York 1995
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UmschIaggestaltung: Konzept 8< Design, Ilvesheim
Satz: Mit T EX ersteUte reproduktionsfertige Vorlage vom Autor
SPIN 10484206 44/3143-5432 1 0-Gedruckt auf lliurefreiem Papier
Vorwort
Das vorliegende Buch erörtert - ohne Anspruch auf Vollständigkeit - zahlreiche
Aspekte des computerunterstützten numerischen Lösens natur- und ingenieur
wissenschaftlicher Aufgaben. Dem multidisziplinären Charakter der Computer
Numerik entsprechend werden dabei verschiedene Gebiete angesprochen: von der
Angewandten und Numerischen Mathematik über die Numerische Datenverar
beitung bis zur Systemsoftware und Rechnerarchitektur.
I I
Angewandle Mathematik
I I I
Numerische Mathematik Symbolische Malhematik
I
Numerische Dateoverarbeinmg Symbolische Dalenverarbeitung
Systemsoftware
Hardware
Die Behandlung der verschiedenen Themen der Computer-Numerik ist am An
fang jedes Abschnitts eine induktive: Von speziellen praktischen Beispielen aus
gehend wird zu allgemeingültigen mathematischen Problemformulierungen über
geleitet. Auf dieser abstrakten Ebene werden dann Prinzipien und Methoden
zur algorithmisch-numerischen Lösung der entsprechenden mathematischen Pro
bleme behandelt, Genauigkeit und Effizienz relevanter Algorithmen diskutiert
sowie existierende Implementierungen in vorhandener numerischer Software vor
gestellt und bewertet. In deduktiver Weise wird an hand von etwa 500 Beispielen
erläutert, wie man die allgemeinen Gesetzmäßigkeiten und methodischen Prin
zipien auf spezielle Aufgaben anwendet und wie man algorithmisch und durch
den Einsatz geeigneter Numerik-Software nach praktisch brauchbaren Lösungen
sucht. Es wird auch eingehend darauf hingewiesen, welche Schwierigkeiten dabei
unter Umständen auftreten können und wie man diese überwindet.
Der Umfang und die Vielfalt der verfügbaren Software auf dem Gebiet der Nu
merik ist so groß, daß man einen strukturierten Überblick und gute Hintergrund
information benötigt, um im konkreten Anwendungsfall eine sinnvolle Auswahl
treffen zu können. Unterstützung in dieser schwierigen Situation bietet das vorlie
gende Buch durch eine überblicksartige Darstellung der verfügbaren numerischen
Software. Strukturiert durch die inhaltliche Kapitel- und Abschnittsgliederung
werden Verfahren, Algorithmen und Konzepte diskutiert, die den Programmen
zugrundeliegen. Vorteilhafte Eigenschaften werden betont, und vor inhärenten
Schwachstellen wird gewarnt. An die 100 besonders gekennzeichnete sachgebiet
sorientierte Softwarehinweise liefern dem Leser sowohl Information über die kom
merziell angebotenen Softwarebibliotheken (IMSL, NAG etc.) als auch über frei
verfügbare Numerik-Software (Netlib, eLib etc.), auf die man über das Internet
zugreifen kann.
VI Vorwort
Das Buch wendet sich in gleicher Weise an Studenten natur- und ingenieur
wissenschaftlicher Studienfächer wie an Entwickler und Anwender numerischer
Software, die sich mit den grundlegenden Konzepten algorithmischer Lösungsme
thoden auseinandersetzen wollen und an der überlegten Auswahl und dem effizi
enten Einsatz von Fremdsoftware interessiert sind. Es ist einerseits als Lehrbuch
für Vorlesungen oder Seminare konzipiert, die das numerische Lösen mathemati
scher Probleme mit Computerunterstützung zum Inhalt haben; es ist aber auch
als allgemeine Monographie angelegt, die von Wissenschaftlern und Ingenieuren
nutzbringend verwendet werden kann.
Band I beginnt nach einer kurzen Einführung in den Modellbegriff mit einem
Überblick über die beim numerischen Problemlösen am Computer unvermeidli
chen Finitisierungen - Verwendung von Gleitpunktzahlen, Diskretisierung kon
tinuierlicher Modelle etc. - und deren Auswirkungen auf die numerischen Algo
rithmen und die Genauigkeit der erhaltenen Resultate.
Die potentielle Leistungsfähigkeit moderner Computer-Hardware für numeri
sche Anwendungen ist jetzt schon beachtlich hoch und verdoppelt sich darüber
hinaus noch von Jahr zu Jahr. Allerdings gibt es zwischen der theoretisch verfüg
baren Maximalleistung, mit der geworben wird, und der praktisch beobachtbaren
Leistung eine erhebliche Diskrepanz, die ständig weiter wächst. Ursachen dieses
Phänomens und grundsätzliche Möglichkeiten zum Erzielen besserer Wirkungs
grade werden in Kapitel 3 aufgezeigt.
Gegenstand aller numerischen Problemlösungen sind numerische Daten und
Operationen, welche den Inhalt von Kapitel 4 bilden. Einen besonderen Schwer
punkt stellen dabei die international genormten Gleitpunkt-Zahlensysteme dar,
die man heute auf fast jedem Rechner antrifft. Auf die Erstellung portabler Pro
gramme, die sich problemspezifisch an die Besonderheiten des jeweiligen Zahlen
systems anpassen, wird im besonderen eingegangen.
Im anschließenden Kapitel werden Grundlagen der Algorithmentheorie behan
delt, soweit diese für den Numerik-Bereich von Bedeutung sind. Einen weiteren
Schwerpunkt dieses Kapitels bilden die auf der Gleitpunktarithmetik moderner
Computer aufbauenden arithmetischen Algorithmen, aus denen sich letzten En
des alle numerischen Verfahren zusammensetzen.
Im Zentrum von Kapitel 6 stehen Qualitätskriterien numerischer Programme.
Breiter Raum ist auch der Effizienzsteigerung numerischer Programme gewidmet.
Die behandelten Techniken sollen es dem Leser ermöglichen, große Probleme auf
modernen Computersystemen ohne Vergeudung von Ressourcen zu lösen.
Kapitel 7 gibt einen Überblick über das aktuelle Angebot an kommerziell oder
frei verfügbarer Fertigsoftware: Softwarebibliotheken, Softwarepakete (LAPACK,
QUADPACK etc.) und Einzelprogramme (TOMS etc.). Der Softwarezugang über
elektronische Netze (netlib, eLib etc.) bildet dabei einen Schwerpunkt.
Eine zentrale Methodik numerischer Verfahren wird in Kapitel 8 behandelt:
Modellierung durch Approximation. Ihre Bedeutung reicht von der Datenanalyse
bis zu automatisch ablaufenden Modellierungsvorgängen im Inneren numerischer
Programme (z. B. bei der numerischen Integration oder der Lösung nichtlinearer
Vorwort VII
Gleichungen). Kapitel 8 behandelt eine Vielzahl von Aspekten und Kriterien, die
bei der Auswahl von Modellfunktionen relevant sind.
Der algorithmisch effizienteste Zugang zur Gewinnung von Approximations
funktionen ist die Interpolation. In Kapitel 9 wird sowohl der theoretische Hin
tergrund behandelt, der für das Verständnis konkreter Interpolationsverfahren
benötigt wird, als auch die praktisch-algorithmische Verwendung von Polynomen,
Splinefunktionen und trigonometrischen Polynomen gezeigt.
Band 11 beginnt in Kapitel 10 mit Methoden der Bestapproximation, mit denen
lineare oder nichtlineare Funktionen bestimmt werden können, die von gegebenen
Datenpunkten oder Funktionen minimalen Abstand besitzen.
Die Fourier-Transformation ist ein Spezialfall der Approximationsmethoden.
Ihr, und im speziellen der diskreten Fourier-Transformation (DFT), ist das Ka
pitel 11 gewidmet.
Kapitel 12 behandelt Algorithmen und Programme zur numerischen Integra
tion. Das große Software-Angebot für univariate Integrationsprobleme wird syste
matisch und umfassend dargestellt. Dort, wo es wenig oder gar keine Fremdsoft
ware gibt - z. B. bei hochdimensionalen Integrationsproblemen -, werden aktuelle
numerische Methoden, wie z. B. Gittermethoden (lattice roles), theoretisch und
praktisch besprochen, um Software-Eigenentwicklungen zu ermöglichen.
Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist jenes Gebiet der Numerik mit der
größten praktischen Bedeutung und dem umfassendsten Angebot an fertiger Soft
ware. Kapitel 13 geht auf viele Fragen ein, die für den Anwender von Bedeutung
sind: Wie wählt man passende Algorithmen, und wie findet man geeignete Soft
wareprodukte zur Lösung konkreter Probleme? Auf welche Eigenschaften des
Gleichungssystems (bzw. der Systemmatrix) ist zu achten, wenn man die effizien
testen Programme sucht? Wie findet man heraus, ob man von einem Programm
eine dem Problem angemessene Lösung erhalten hat? Was tut man, wenn ein
Programm nicht die erwartete Lösung liefert?
Kapitel 14 behandelt nichtlineare Gleichungen. Durch die individuelle Ver
schiedenartigkeit nichtlinearer Systeme und die Notwendigkeit zur iterativen
Lösung ergibt sich eine Reihe von Schwierigkeiten, für deren Überwindung
Möglichkeiten aufgezeigt werden.
Das folgende Kapitel ist einem speziellen nichtlinearen Problem gewidmet -
der numerischen Ermittlung von Eigenwerten und Eigenvektoren -, für das es
eine Vielzahl von Algorithmen und Computerprogrammen gibt.
Im Kapitel 16 werden die Inhalte der vorangegangenen Kapitel auf große
schwach besetzte Matrizen spezialisiert, wie sie bei großen Anwendungspoblemen
auftreten. Da dieses Gebiet nicht durch Black-box-Software abgedeckt ist, werden
besondere Hinweise zur Algorithmenauswahl und Vorverarbeitung (Präkonditi0-
nierung) gegeben.
(Pseudo-) Zufallszahlen sind die Grundlage von Monte-Carlo-Verfahren, die
sowohl bei numerischen Problemlösungen als auch bei Sensitivitätsuntersuchun
gen eine wichtige Rolle spielen. Den Schluß des Buches bildet daher eine kurze
Einführung in die Welt der Zufallszahlen und ihrer Erzeugung.
VIII Vorwort
Dank möchte ich an dieser Stelle all jenen aussprechen, die zur Entstehung dieses
Buches beigetragen haben.
An erster Stelle ist Arnold Krommer zu nennen, der an mehreren Teilen des
Buches intensiv mitgearbeitet hat; vor allem am Kapitel über numerische Inte
gration, einem Thema, dem seit Jahren unser gemeinsames Interesse gilt. Aber
auch am Zustandekommen der Kapitel über Computer-Hardware und effiziente
Programmierung, verschiedener Software-Abschnitte und der das Internet betref
fenden Textteile hat er entscheidenden Anteil.
Der Mitarbeit von Bernhard Bodenstorfer habe ich wichtige Beiträge zu den
einleitenden Kapiteln von Band I zu verdanken. Roman Augustyn, Wilfried Gan
sterer, Michael Karg und Ernst Haunschmid haben zu den Kapiteln über Com
puter-Hardware und effiziente Programmierung wesentlich beigetragen; Stefan
Pittner zum Kapitel über Fourier-Transformationen.
Christoph Zenger von der TU München, Peter Marksteiner von der Univer
sität Wien sowie Winfried Auzinger, Josef Schneid und Hans J. Stetter vom
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik der TU Wien haben Teile
des Manuskripts gelesen und dessen endgültige Gestalt durch Kritik und Verbes
serungsvorschläge beeinflußt.
Viele Studenten der TU Wien haben durch Mitarbeit, Anregungen und Kor
rekturen dabei geholfen, aus meinem Skriptum über Numerische Datenverarbei
tung und einem später daraus entstandenen Rohtext ein Buchmanuskript zu
schaffen. Vor allem durch die Beiträge von Christian Almeder, Arno Berger,
Stefan Dörfler, Florian Frommlet, Herbert Karner, Robert Matzinger und Nor
bert Preining konnte das Manuskript in vielen Punkten erweitert und verbessert
werden. Ihnen allen - auch den nicht namentlich Genannten - möchte ich für
ihre Hilfe und Unterstützung herzlich danken.
Meine besondere Anerkennung möchte ich schließlich Christoph Schmid und
Thomas Wihan aussprechen, denen - so meine ich - eine höchst ansprechende
Text-und Bildgestaltung gelungen ist. Sie waren es auch, die mit großem persönli
chen Einsatz die endgültige Uo.TEJX-Version des Textes erstellt haben. Das Kor
rekturlesen des letzten Probeausdrucks besorgte Peter Meditz.
Bei Martin Peters vom Springer-Verlag in Heidelberg möchte ich mich für die
angenehme Zusammenarbeit bedanken.
Das Entstehen dieses Buches wurde nicht zuletzt durch die Unterstützung des
österreichischen Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)
ermöglicht.
Wien, im Februar 1995 CHRISTOPH ÜBERHUBER
Inhaltsverzeichnis
10 Optimale Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
10.1 Mathematische Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
10.2 Bestapproximation im Quadratmittel- L2-Approximation 6
10.2.1 Grundlagen der L2-Approximation . . . . . . . 6
10.2.2 Optimale Approximation durch Orthogonalität 10
10.2.3 Normalgleichungen . . 11
10.2.4 Approximationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . 14
10.2.5 Orthogonale Polynome. . . . . . . . . . . . . . 16
10.3 Diskrete h-Approximation - Methode der kleinsten Quadrate 20
10.3.1 Lineare 12-Approximation . . . . . . . . . . . . 20
10.3.2 Nichtlineare h-Approximation . . . . . . . . . . 23
10.4 Gleichmäßige Bestapproximation - Loo-Approximation . 23
10.4.1 Polynome als Loo-Approximationsfunktionen . 24
10.5 Approximationsalgorithmen . . . . . . . . . . . . 27
10.6 Approximationssoftware für spezielle Funktionen 31
ro.6.1 Standardfunktionen 31
10.6.2 FUNPACK 31
10.6.3 IMSL 32
10.6.4 NAG.... 32
11 Fourier-Transformation. . . . . . . . . . 33
11.1 Mathematische Grundlagen. . . . . . . . 37
11.1.1 Trigonometrische Approximation 41
11.1.2 Das Spektrum. . . . . 44
11.2 Trigonometrische Interpolation . . . 46
11.3 Faltung................ 50
11.4 Manipulationen am Signalspektrum 53
11.5 DFT-Algorithmen.......... 55
11.5.1 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) . 55
11.5.2 FFT von reellen Funktionen. . . . . 59
11.5.3 FFT in zwei und mehr Dimensionen 62
11.6 FFT-Softwarepakete. 63
11.6.1 FFTPACK ..... 63
11.6.2 VFFTPK . . . . . . 63
11.7 FFT in Softwarebibliotheken 63
11.7.1 IMSL-Softwarebibliotheken 63
11.7.2 NAG-Softwarebibliotheken. 64
11.8 Sonstige FFT-Programme. . . . . 65
11.8.1 TOMS-Sammlung .... 65
11.8.2 Diverse NETLIB-Software 65
x Inhaltsverzeichnis
12 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . 66
12.1 Grundprinzipien der Numerischen Integration. 67
12.1.1 Integrationsbereiche 68
12.1.2 Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . 68
12.1.3 Integrationsmethoden ........ 69
12.1.4 Kondition des Integrationsproblems . 75
12.1.5 Inhärente Unsicherheit numerischer Integration 78
12.2 Vorverarbeitung von Integrationsproblemen . 79
12.2.1 Transformation von Integralen. . . . 80
12.2.2 Zerlegung von Integrationsbereichen 88
12.2.3 Iteration von Integralen .. . . . . . 88
12.3 Univariate Integrationsformeln . . . . . . . . 90
12.3.1 Konstruktion von Integrationsformeln 90
12.3.2 Einfache interpolatorische Quadraturformein . 100
12.3.3 Zusammengesetzte Quadraturformein . 110
12.3.4 Romberg-Formeln...... 113
12.3.5 Nichtlineare Extrapolation . 115
12.3.6 Spezielle Methoden . . . . . 117
12.4 Multivariate Integrationsformeln . . 118
12.4.1 Allgemeine Konstruktionsprinzipien . 119
12.4.2 Polynomiale Integrationsformeln " 126
12.4.3 Zahlentheoretische Integrationsformeln 128
12.4.4 Monte-Carlo-Integrationsverfahren 138
12.4.5 Gitterpunkt-Integrationsformeln. 144
12.4.6 Spezielle Methoden . 155
12.5 Integrationsalgorithmen . . . . . . 156
12.5.1 Fehlerschätzung . . . . . . 157
12.5.2 Diskretisierungs-Strategie 164
12.5.3 Adaptive Integrations-Algorithmen und -Programme 166
12.5.4 Software für univariate Probleme: Global adaptive Inte-
grationsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.5.5 Software für multivariate Probleme: Global adaptive In-
tegrationsprogramme . . . . . 174
12.5.6 Erhöhung der Zuverlässigkeit 175
12.5.7 Mehrfache Integranden. 177
IV Algebraische Modelle
13 Lineare Gleichungssysteme .......... . 181
13.1 Planungsphase ................ . 183
13.1.1 Problemtyp ............. . 184
13.1.2 Strukturmerkmale der Systemmatrix 187
13.1.3 Art der Lösung ........... . 188
13.1.4 Forderungen an Algorithmen und Software. 189