Complétés universels de représentations de GL_2(Q_p)

0.76 MB·French

by  Pierre Colmez

COMPLÉTÉS UNIVERSELS DE REPRÉSENTATIONS DE
GL (Q )
2 p
par
3
1
0 Pierre Colmez & Gabriel Dospinescu
2

n
a
J

1
3 Résumé. — Soit Π une représentation unitaire de GL2(Qp), topologiquement de
longueurfinie.Nousdécrivons lasous-représentation Πan desesvecteurs localement

] analytiques,etsafiltrationparrayond’analyticité,entermesdu(ϕ,Γ)-modulequilui
T
estassociévialacorrespondance deLanglandslocalep-adique,etnousendéduisons
N quelecomplétéuniverseldeΠan n’estautrequeΠ.
.
h Abstract. — LetΠbeaunitaryrepresentationofGL2(Qp),topologicallyoffinite
t length. We describe the sub-representation Πan made of its locallyanalytic vectors,
a
and its filtration by radius of analyticity, in terms of the (ϕ,Γ)-module attached to
m
Π via the p-adic local Langlands correspondence, and we deduce that the universal
[ completionofΠan isΠitself.

1
v
7
4
Table des matières
6
7 Introduction......................................................................... 2
1. 0.1. Notations.................................................................... 2
0 0.2. Complétionsunitaires etvecteurs localementanalytiques................. 3
3 0.3. UnraffinementdufoncteurΠ7→Πan...................................... 5
1 0.4. DescriptiondeRepL(δ)entermes de(ϕ,Γ)-modules..................... 6
: 0.5. DescriptiondeΠ(h)......................................................... 7
v I. Anneauxdefonctionsanalytiques............................................... 9
i I.1. Topologiessurlesanneaux.................................................. 9
X
I.2. Quelquescalculs.............................................................. 10
r I.3. Actionsdeϕ,ψ,Γ........................................................... 11
a
II. (ϕ,Γ)-modules................................................................... 12
II.1. (ϕ,Γ)-modulesetfaisceauxP+-équivariants surZp...................... 12
II.2. Surconvergence............................................................. 12
II.3. Dualité...................................................................... 14
II.4. LesmodulesDnr,D♯ etD♮................................................ 15
III. L’imagedufoncteurΠ7→D(Π)................................................ 16
III.1. Représentations deG..................................................... 16
III.2. LefoncteurΠ7→D(Π).................................................... 17
III.3. Lerésultatprincipal....................................................... 18
III.4. PairesG-compatibles...................................................... 20
2 PIERRE COLMEZ & GABRIEL DOSPINESCU
III.5. Lesous-moduleD˜+ deD♮⊠δP1......................................... 23
III.6. Dualité..................................................................... 24
III.7. UnmodèledeΠδ(D)...................................................... 25
III.8. Presqueexactitude deD→Πδ(D)....................................... 27
III.9. Invariants sousSL2(Qp).................................................. 29
III.10. Reconstruction deΠ..................................................... 31
III.11. Reconstruction deD..................................................... 33
IV. Représentations localementanalytiques........................................ 35
IV.1. Groupes uniformes........................................................ 36
IV.2. Coefficients deMahler..................................................... 36
IV.3. Complétionsdel’algèbredesmesures deH.............................. 37
IV.4. LefoncteurΠ7→Π(h)..................................................... 38
IV.5. DeH àHp................................................................ 40
IV.6. Exactitude dufoncteurΠ7→Π(h)........................................ 42
IV.7. Cohérence.................................................................. 43
V. Vecteurs analytiquesdesreprésentations unitaires deGL2(Qp)............... 45
V.1. Préliminaires............................................................... 45
V.2. Vecteurs analytiques etsurconvergence................................... 46
V.3. RelèvementàD(0,rb]⊠δP1............................................... 49
V.4. Vecteurs propres deψ...................................................... 50
V.5. L’actiondeGsurTaD0†,b⊠δP1........................................... 51
V.6. Findelapreuve duth.V.3................................................ 54
VI. LemoduleDrig⊠δP1 etl’espaceΠδ(D)an.................................... 56
VI.1. Continuitédel’actiondewδ.............................................. 56
VI.2. L’actiondeGsurDrig⊠δP1............................................. 58
VI.3. DescriptiondeΠan viaDrig⊠δP1....................................... 59
VII. Complétésunitaires universels................................................ 60
VII.1. Réseauxinvariants minimaux............................................ 60
VII.2. Fonctorialité.............................................................. 62
VII.3. Lecomplétéuniversel deΠan............................................ 63
Références........................................................................... 65
Introduction
0.1. Notations
Soit p un nombre premier. On fixe une clôture algébrique Q de Q , et on note
p p
G = Gal(Q /Q ) le groupe de Galois absolu de Q . On note Γ le groupe de
Qp p p p
Galois Gal(Qp(µp∞)/Qp) de l’extension cyclotomique. Le caractère cyclotomique
χ:G →Z∗ induitunisomorphismedegroupestopologiquesΓ≃Z∗,dontl’inverse
Qp p p
a7→σ est caractérisé par σ (ζ)=ζa pour a∈Z∗ et ζ ∈µ .
a a p p∞
On fixe une extension finie L de Q , et on note O l’anneau de ses entiers et k
p L L
son corps résiduel. Soit T(L) l’ensemble des caractères continus δ : Q∗ → L∗, et,
p
pour δ ∈ T(L), notons w(δ) son poids, défini par w(δ) = δ′(1), dérivée(1) de δ en 1.
c
Si δ est unitaire (i.e. si δ est à valeurs dans O∗), la théorie locale du corps de classes
c L
1. δ estautomatiquement localementanalytique,doncladéfinitionaunsens.
COMPLÉTÉS UNIVERSELS 3
associe à δ un caractère continu de G , que l’on note encore δ. Le poids de Hodge-
Qp
Tate généralisé de ce caractère galoisien est alors w(δ). On note juste x ∈ T(L) le
caractère induit par l’inclusion de Q dans L, et |x| le caractère envoyant x ∈ Q∗
p c p
sur p−vp(x). Notre convention est que x|x| correspond au caractère cyclotomique χ,
son poids étant 1.
SoitG=GL (Q ).Siδ ∈T(L),onnoteRep (δ)lacatégoriedontlesobjetssont
2 p L
les L-espaces de Banach Π, munis d’une action continue de G telle que
c
• Π a pour caractère central δ.
• L’action de G est unitaire, i.e. il existe une valuation v sur Π, qui définit la
Π
topologie de Π et telle que v (g·v)=v (v) pour tous g ∈G et v ∈Π.
Π Π
•Πestrésiduellement delongueurfinie,i.e.siv estcommeci-dessus,laréduction
Π
mod p de la boule unité Π de Π pour v est un O [G]-module de longueur finie.
0 Π L
Un morphisme entre deux objets Π et Π de Rep (δ) est une application
1 2 L
L-linéaire, continue et G-équivariante.
On note Rep (G) la catégorie des représentations de G unitaires, résiduellement
L
de longueur finie, admettant un caractère central; c’est la réunion des Rep (δ) pour
L
δ ∈T(L).
c
Remarque 0.1. — (i) Rep (δ) est vide quand δ n’est pas unitaire.
L
(ii) Il découle des travaux de Barthel-Livné [2] et Breuil [3] que tout objet de
Rep (δ) est une représentation de Banach admissible (au sens de [23]) de G.
L
(iii) Tout objet Π de Rep (δ) est topologiquement de longueur finie, car Π /pΠ
L 0 0
l’est.Enfait,sip≥5(ilestprobablequecettehypothèseestinutile),onpeutdécrire
Rep (δ) de manière équivalente comme la catégoriedes L-représentationsde Banach
L
unitairesetadmissiblesdeG,àcaractèrecentralettopologiquementdelongueurfinie
(cela découle d’un théorème profond de Paskunas [21]). Nous avons besoin de cette
hypothèsedefinitudepourΠ /pΠ pourassurerquele(ϕ,Γ)-moduleattachéàΠpar
0 0
la correspondance de Langlands locale p-adique est de dimension finie.
0.2. Complétions unitaires et vecteurs localement analytiques. — Si
δ ∈ T(L) et si Π ∈ Rep (δ), on note Πan l’espace des vecteurs localement analy-
L
tiques [24, 16] de Π. C’est l’espace des vecteurs v ∈Π dont l’application orbite
c
o :G→Π, g →g·v
v
4 PIERRE COLMEZ & GABRIEL DOSPINESCU
est localement analytique. C’est une sous-représentationde Π et, d’après un résultat
général de Schneider et Teitelbaum [24, th. 7.1], le sous-espace Πan est dense(2)
dans Π.
L’espace Πan a une topologie naturelle, induite par l’injection Πan → Can(G,Π),
envoyantv ∈Πan suro .Cettetopologieestnettementplusfortequecelleinduitepar
v
l’inclusionΠan ⊂Π.Le résultatprincipalde cetarticleestalorsle suivant(rappelons
que G=GL (Q )) :
2 p
Théorème 0.2. — Si Π ∈ Rep (G), alors Π est le complété unitaire universel
L
de Πan, i.e. pour toute L-représentation de Banach unitaire B, l’application natu-
relle Homcont(Π,B) → Homcont(Πan,B), induite par l’injection Πan → Π, est un
L[G] L[G]
isomorphisme.
Remarque 0.3. — LanotiondecomplétéuniverselaétédégagéeparEmerton[15].
Le théorème ci-dessus répond, dans le cas de GL (Q ), à l’une de ses questions,
2 p
à savoir si le même énoncé est valable pour GL (Q ) ou, plus généralement, pour
n p
un groupe réductif déployé sur Q (l’application Homcont(Π,B)→Homcont(Πan,B)
p L[G] L[G]
est injective pour tout groupe de Lie p-adique G et toute représentation de Banach
admissible Π de G, car Πan est dense dans Π dans ces cas [24]).
(ii) Dans l’autre sens, la situation est nettement plus compliquée : si Π est une
représentationlocalementanalytiqueadmissibledeGL (Q )admettantuncomplété
2 p
unitaire universel Π, la sous-représentation Πan de Π n’est pas forcément égale à Π.
Le cas des composantes de Jordan-Hölder de la série principale analytique est as-
b b b
sez éclairant. Si δ ,δ : Q∗ → L∗ sont des caractères continus (et donc localement
1 2 p
analytiques), on note Indan(δ ⊗δ ) l’espace des fonctions φ : G → L, localement
1 2
analytiques, telles que φ a b g ) = δ (a)δ (d)f(g) pour tous a,d ∈ Q∗, b ∈ Q et
0d 1 2 p p
g ∈G,quel’onmunitde(cid:0)l’(cid:0)actio(cid:1)nd(cid:1)eGdéfiniepar(h·φ)(g)=φ(gh);siδ =xkδ avec
2 1
k ∈N, alors Indan(δ ⊗δ ) contient une sous-représentationde dimension k+1 et le
1 2
quotient est une steinberg analytique. En utilisant les résultats de [4, 9, 10, 15, 18],
on voit qu’il peut, en particulier, se passer les choses suivantes :
• Π=0 et donc Πan =0 : c’est le cas si le caractère central n’est pas unitaire (ce
qui équivaut à v (δ (p))+v (δ (p))6=0) ou s’il est unitaire mais v (δ (p))>0.
b p 1b p 2 p 1
• Π n’est pas admissible (c’est le cas des steinberg analytiques avec k≥1).
• Π est non nul et admissible, mais Πan est strictement plus grand que Π : c’est
b
le cas si Π=Indan(δ ⊗δ ), si le caractère central est unitaire, et si v (δ (p))>0 et
b 1 2 b p 2
w(δ )−w(δ )∈/ N.
2 1
2. NousdonnonsunenouvellepreuvedecettedensitépourlesobjetsdeRep (δ),enutilisantla
L
théoriedes(ϕ,Γ)-modules(cf.cor.0.12).
COMPLÉTÉS UNIVERSELS 5
Mentionnonsuncorollaireimmédiatduth.0.2,quinesemblepasfacileàdémontrer
directement :
Corollaire 0.4. — Le foncteur Π 7→ Πan de la catégorie Rep (δ) dans la catégorie
L
des L-représentations localement analytiques admissibles de G est pleinement fidèle.
En utilisant ce corollaire et les résultats de [12], on déduit que Πan admet un
caractère infinitésimal pour tout objet absolument irréductible Π de Rep (G) (cela
L
n’est pas une conséquence formelle du résultat principalde loc.cit., car Πan peut fort
bien ne pas être irréductible si Π est absolument irréductible).
La suite de cette introduction explique les étapes de la preuve du th. 0.2, dont la
correspondance de Langlands locale p-adique [8] pour G est l’ingrédient clé.
0.3. UnraffinementdufoncteurΠ7→Πan. — Dansce§,onconsidèreungroupe
deLiep-adiqueGarbitraire,unsous-groupeH deGquiestunpro-p-groupeuniforme,
et une L-représentation de Banach admissible Π de G, pas forcément unitaire. On
choisit un système minimal de générateurs topologiques h ,...,h de H et on note
1 d
bα =(h −1)α1···(h −1)αd ∈Z [H]
1 d p
pour α = (α ,...,α ) ∈ Nd. Pour tout entier h ≥ 1, on note r = 1 et (en
1 d h ph−1(p−1)
posant |α|=α +···+α )
1 d
Π(h) ={v ∈Π, lim p−rh|α|bαv =0}.
H
|α|→∞
Alors Π(h) est naturellement un espace de Banach. Il ne dépend pas du choix des
H
générateurs h ,...,h et il est stable par H. Par ailleurs, les bαv sont les coefficients
1 d
de Mahler de o :
v
o (hx1···hxd)= x1 ··· xd ·bαv, pour tout (x ,...,x )∈Zd.
v 1 d α1 αd 1 d p
αX∈Nd(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Il résulte donc du théorème d’Amice [1] que Πan est la limite inductive des espaces
Π(h), et cela pour tout sous-groupe H de G qui est un pro-p-groupe uniforme. Le
H
résultatsuivant(corIV.14etprop.IV.11)peut,aulangageprès,setrouverdans[24].
Théorème 0.5. — Soient H un pro-p sous-groupe uniforme de G et h≥1.
(i) Le foncteur Π 7→ Π(h) de la catégorie des L-représentations de Banach admis-
H
sibles de G dans la catégorie des L-espaces de Banach est exact.
(ii) On a Π(h+1) =Π(h) pour toute représentation de Banach Π de G.
H Hp
6 PIERRE COLMEZ & GABRIEL DOSPINESCU
On dit que Π est cohérente (ou H-cohérente si on veut préciser le sous-groupe H
de référence) s’il existe h tel que, pour tout h≥h , on ait
0 0
Π(h+1) = g·Π(h).
H H
Hp⊂XgHg−1
Commeg·Π(h) =Π(h) etΠ(h) ⊂Π(h)siH ⊂H ,ondéduitduthéorèmeprécédent
H gHg−1 H1 H2 2 1
que le terme de droite est toujours contenu dans celui de gauche. Le même théorème
permet de montrer que la cohérence est une propriété stable par extensions, ce qui
joue un rôle important dans la preuve du th. 0.2. Notre intérêt pour la notion de
cohérence vient du résultat suivant :
Proposition 0.6. — Si Π est H-cohérente, alors Πan admet un complété unitaire
universel. Plus précisément, si Π(h) est la boule unité de Π(h) et L = g·Π(h),
0 H h g∈G 0
alors pour tout h assez grand on a un isomorphisme de L[G]-modules dPe Banach
Πan ≃L⊗OL (l←im−Lh/pnLh).
Au vu de la propositiondprécédente, le th. 0.2 est une conséquence du résultat
suivant :
Théorème 0.7. — Si G=GL (Q ) et si Π∈Rep (G), alors :
2 p L
(i) Π est cohérente.
(ii) Si Π est un O -réseau de Π, ouvert, borné et G-stable, alors L est commen-
0 L h
surable avec Π ∩Πan pour tout h assez grand.
0
Lapreuvede ce théorèmeutilise de manièrecrucialela théoriedes(ϕ,Γ)-modules.
Plus précisément, si D est le (ϕ,Γ)-module attaché à Π par la correspondance de
Langlands locale p-adique, on décrit l’espace Π(h) (et même la boule unité Π(h))
0
directement en termes de D. Cela demande d’étendre et de raffiner bon nombre de
résultats des chap.II, IV etV de [8],et les paragraphessuivants expliquentde quelle
manière un plus en détail.
0.4. Description de Rep (δ) en termes de (ϕ,Γ)-modules. — Soient R l’an-
L
neau de Robba(3), E† le sous-anneaude R des éléments bornés (c’est un corps)et E
le complété de E† pour la valuation p-adique.On munit ces anneaux d’actions conti-
nues de Γ et d’un frobenius ϕ, commutant entre elles, en posant ϕ(T)=(1+T)p−1
et σ (T)=(1+T)a−1 si a∈Z∗.
a p
Si Λ ∈ {E,E†,R}, on note ΦΓet(Λ) la catégorie des (ϕ,Γ)-modules étales sur Λ.
Ce sont des Λ-modules libres de type fini D, munis d’actions de ϕ et Γ, continues,
3. Il s’agit de l’anneau des séries de Laurent Pn∈ZanTn à coefficients dans L, qui convergent
surunecouronne dutype0<vp(T)≤r,oùr dépenddelasérie.
COMPLÉTÉS UNIVERSELS 7
semi-linéaires, qui commutent et telles que ϕ soit de pente nulle. Ces catégories sont
toutes équivalentes à la catégorie des L-représentations de Gal(Q /Q ) (cf. [17, 6,
p p
19]); en particulier elles sont équivalentes entre elles, et on note D† ∈ ΦΓet(E†),
D ∈ ΦΓet(R) les (ϕ,Γ)-modules attachés à D ∈ ΦΓet(E), de telle sorte que
rig
D =E ⊗E† D† et Drig =R⊗E† D†.
Siδ estuncaractèreunitaireetsiD ∈ΦΓet(E),onpeutconstruire[8,chap.II]un
faisceau G-équivariant U →D⊠ U sur P1(Q ) (muni de l’action usuelle définie par
δ p
a b ·x = ax+b), dont les sections sur Z sont D (i.e. D⊠ Z = D). Par ailleurs,
c d cx+d p δ p
s(cid:0)i U(cid:1)est un ouvert compact de P1, l’extension par 0 induit une inclusion de D⊠ U
δ
dansl’espaceD⊠ P1 dessectionsglobales.Lesformulesdécrivantl’actionde Gsont
δ
très compliquées (et inutiles dans la plupartdes situations)en général,mais ona par
exemple, pour z ∈D =D⊠ Z , a∈Z∗ et b∈Z ,
δ p p p
p0 z =ϕ(z), (a0)z =σ (z), (1b)z =(1+T)b·z.
01 01 a 01
(cid:0) (cid:1)
On dispose aussi [8, chap. IV] d’un foncteur Π 7→ D(Π), contravariant, exact, de
Rep (δ) dans ΦΓet(E). On note C (δ) son image essentielle. Si D ∈ ΦΓet(E), on
L L
note Dˇ le dual de Cartier de D : si D est attaché à une représentationgaloisienne V,
alors Dˇ est attaché à V∗⊗χ. Le résultat suivant fait le lien entre les constructions
précédentes et décrit Rep (δ) (à des morceaux de dimension finie près) en termes de
L
(ϕ,Γ)-modules, ce qui est fondamental pour la preuve du th. 0.2.
Théorème 0.8. — Soit δ :Q∗ →O∗ un caractère unitaire. Alors :
p L
(i) C (δ) est stable par sous-quotients.
L
(ii) Si D ∈C (δ), alors Dˇ ∈C (δ−1).
L L
(iii) Il existe un foncteur covariant D → Π (D) de C (δ) dans Rep (δ) tel que,
δ L L
pour tout D ∈C (δ), on ait une suite exacte de G-modules topologiques
L
0→Π (Dˇ)∗ →D⊠ P1 →Π (D)→0.
δ−1 δ δ
(iv) Les foncteurs Π7→D(Π) et D →Π (Dˇ) induisent des anti-équivalences quasi-
δ
inverses exactes entre Rep (δ)/S et C (δ), où S est la sous-catégorie de Rep (δ)
L L L
formée des représentations de dimension finie.
Ce théorème est essentiellement démontré dans [8], mais il n’est pas facile de l’en
extraire sous cette forme. Nous reprenons et étendons les arguments de loc.cit pour
l’obtenir sous cette forme, plus adaptée aux applications éventuelles.
0.5. Description de Π(h). — Soit E(0,rb] le sous-anneau de E† des fonctions ana-
lytiques bornées sur la couronne 0 < vp(T) ≤ rb. On note D(0,rb] le plus grand
sous-E(0,rb]-module de type fini M de D tel que ϕ(M) ⊂ E(0,rb+1] ⊗E(0,rb] M (son
8 PIERRE COLMEZ & GABRIEL DOSPINESCU
existence est un résultat standard de la théorie des (ϕ,Γ)-modules). Le théorème de
surconvergence[6, 5] montre que D(0,rb] est libre de rang dimE(D) sur E(0,rb] et en-
gendre D, si b est assez grand. Comme D⊠ Z =D et comme P1 =Z ∪ 01 Z ,
δ p p 10 p
l’application z 7→ Res z,Res 01 z est une injection de D⊠ P1 dans(cid:0)D×(cid:1) D,
Zp Zp 10 δ
ce qui permet de d(cid:0)éfinir le modul(cid:0)e (cid:1) (cid:1)
D(0,rb]⊠ P1 =(D⊠ P1)∩(D(0,rb]×D(0,rb]).
δ δ
Il est muni de la topologie induite par l’inclusion dans D(0,rb] ×D(0,rb], le module
D(0,rb] étant muni de sa topologie naturelle.
Proposition 0.9. — Soit D ∈ C (δ). Si b est assez grand, le sous-L-espace vecto-
L
riel D(0,rb] ⊠δ P1 de D⊠δ P1 est stable sous l’action de GL2(Zp), et GL2(Zp) agit
continûment pour la topologie naturelle de D(0,rb] ⊠δ P1. De plus, Πδ−1(Dˇ)∗ est un
sous-module fermé de D(0,rb]⊠δP1.
SoitK =1+pmM (Z )avecm≥1(resp.m≥2sip=2).C’estunpro-p-groupe
m 2 p
uniformededimension4,auquellesconstructionsdu§0.3s’appliquent.Poursimplifier
les notations, on note simplement Π(b) = Π(b−m) pour b > m (le th. 0.5 montre que
Km
le terme de droite ne dépend pas du choix de m<b). Le résultat technique principal
de l’article est alors la description de Π(b), pour tout b assez grand, si Π∈Rep (G).
L
Le th. 0.8 implique en particulier que tout objet de Rep (G) est de la forme Π (D)
L δ
à des représentations de dimension finie près, et pour une représentationde la forme
Π (D), on a le résultat suivant.
δ
Théorème 0.10. — Soit D ∈ C (δ). Alors pour tout b assez grand, l’inclusion de
L
D(0,rb]⊠δP1 dans D⊠δP1 induit une suite exacte de GL2(Zp)-modules topologiques
0→Πδ−1(Dˇ)∗ →D(0,rb]⊠δP1 →Πδ(D)(b) →0.
Les méthodes utilisées pour l’étude de Π(b) sont sensiblement différentes de celles
de [8, chap. V] : les arguments de bidualité de loc.cit. sont remplacés par une étude
directe des rayons d’analyticité des vecteurs de Π (D), à travers l’étude de la crois-
δ
sance des coefficients de Mahler de o . Cette étude est grandement facilitée par la
v
prop. V.9, qui est aussi utilisée dans la preuve du cor. 0.15 ci-dessous.
Une conséquence immédiate du th. 0.10 est la généralisation suivante du résultat
principal du chap. V de [8].
Corollaire 0.11. — Si D ∈ C (δ), le sous-faisceau U 7→ D† ⊠ U du faisceau
L δ
U 7→D⊠ U est stable par G, qui agit continûment pour la topologie naturelle de D†,
δ
et on a suite exacte de G-modules topologiques
0→Π (Dˇ)→D†⊠ P1 →Π (D)an →0.
δ−1 δ δ
COMPLÉTÉS UNIVERSELS 9
Mentionnonsque l’actionde G sur le faisceauU 7→D†⊠ U s’étend parcontinuité
δ
enuneactionsurunfaisceauU 7→D ⊠ U,etlessectionsglobalesD ⊠ P1 de ce
rig δ rig δ
faisceau fournissent (chap. VI) une extension de Π (D)an par (Π (Dˇ)an)∗ qui est
δ δ−1
très utile pour l’étude de Π (D)an.
δ
UneautreconséquenceestlerésultatsuivantquirenforcelethéorèmedeSchneider
et Teitelbaum sur la densité des vecteurs localement analytiques.
Corollaire 0.12. — Si Π ∈ Rep (G) il existe m ≥ 2 tel que Π(b) soit dense
L 0
dans Πan (et donc aussi dans Π) pour tout b>m .
0
Enutilisantle faitque lesorbites deséléments de Π(b) sontsommede leur sériede
Taylor sur K , et le cor. 0.12, on en déduit le résultat suivant.
b−1
Corollaire 0.13. — SoientΠ ,Π ∈Rep (G)etsoitf :Πan →Πan uneapplication
1 2 L 1 2
continue,linéaire etgl -équivariante. Alors ilexisteunsous-groupeouvert compactH
2
de G tel que f soit H-équivariante.
Question 0.14. — Les cor.0.12et 0.13 sont-ilsvalables pour les représentationsde
Banach admissibles, topologiquement de longueur finie, d’un groupe de Lie p-adique
quelconque?
Signalons aussi un sous-produit de la preuve, pour lequel nous ne connaissons pas
dedémonstrationplussimple.Unetelledémonstrationsimplifieraitconsidérablement
l’étude de Π (D)an.
δ
Corollaire 0.15. — Soient Π ∈ Rep (G) et v ∈ Π. Si les applications x 7→ (1x)v
L 0 1
et x7→(1 0)v sont localement analytiques (de Q dans Π), alors v ∈Πan.
x1 p
I. Anneaux de fonctions analytiques
Ce chapitre peu éclairant introduit un certain nombre d’anneaux de séries de
Laurent et établit certains résultats techniques dont on aura besoin dans le chap. V.
Rappelonsque Lestune extensionfinie de Q ,dontonnoteO l’anneaudes entiers.
p L
Pour b∈N∗ on note n =pb−1(p−1) et r = 1 .
b b nb
I.1. Topologies sur les anneaux. — On munit l’anneau
OE ={ anTn, an ∈OL et lim vp(an)=∞}
n→−∞
nX∈Z
de la topologie faible, dont une base de voisinages de 0 est constituée des
pnOE + TmOL[[T]], avec m,n ∈ N. On munit son corps des fractions
E =OE[1/p]=∪n≥0p−nOE de la topologie limite inductive.
10 PIERRE COLMEZ & GABRIEL DOSPINESCU
Si a ≥ b ≥ 1, on note E[ra,rb] l’anneau des f = n∈ZanTn, analytiques sur la
couronne r ≤v (T)≤r , définies sur L, que l’on muPnit de la valuation
a p b
v[ra,rb](f)= inf v (f(x))= inf(v (a )+min(nr ,nr )).
p p n a b
ra≤vp(x)≤rb n∈Z
On note OE[ra,rb] l’anneau de valuation de E[ra,rb], et on pose E]0,rb] = lim E[ra,rb]
←−a≥b
(c’est l’anneau des fonctions analytiques sur la couronne 0 < v (T) ≤ r , définies
p b
sur L). Soit O†,b le complété de O [[T]][ p ] pour la topologie p-adique. La preuve
E L Tnb
du résultat suivant est laissée au lecteur.
Lemme I.1. — (i)O†,bestl’anneaudessériesdeLaurent a Tk ∈O [[T,T−1]]
E k∈Z k L
telles que la suite(4) ([v (a )]+kr ) est positive et tendPvers +∞ quand k →−∞.
p k b k≤0
(ii) O[ra,rb] est l’anneau des séries de Laurent a Tk ∈L[[T,T−1]] telles que
E k∈Z k
la suite (v (a )+min(kr ,kr )) est positive etPtend vers +∞ quand k→±∞.
p k b b k∈Z
OnnoteE(0,rb] =E]0,rb]∩E (c’estlesous-anneaudeE]0,rb]formédesfonctionsana-
lytiquesbornées)etOE(0,rb] leréseaudeE(0,rb] formédessériesàcoefficientsdansOL.
On déduit du lemme I.1 que O(0,rb] =O†,b[1] et que O†,b est séparé et complet pour
E E T E
la topologie T-adique. Cela munit OE(0,rb] d’une topologie naturelle et E(0,rb] de la
topologie limite inductive, en écrivant E(0,rb] =∪k≥0p−kOE(0,rb].
Enfin, l’anneau de Robba R est la réunion des E]0,rb], muni de la topologie limite
inductive et le corps E† = ∪b≥1E(0,rb] est le sous-anneau de R des éléments bornés.
Il est dense dans R et E s’identifie au complété de E† pour la valuation p-adique. Si
Λ∈{E,R}, on pose Λ+ =Λ∩L[[T]].
I.2. Quelques calculs...— Les lemmes techniques suivants seront utilisés dans
l’étude des vecteurs localement analytiques des représentations unitaires admissibles
de GL (Q ).
2 p
Lemme I.2. — On a pOE ∩E† ⊂∪n≥1OE†,n.
Démonstration. — Soit f = n∈ZanTn ∈ pOE ∩E†. Il existe b tel que f converge
sur 0 < v (T) ≤ r . On a doPnc lim v (a )−kr = ∞. En particulier, il existe
p b k→∞ p −k b
b tel que si k ≥ n , alors v (a ) ≥ 1+kr . Puisque v (a ) ≥ 1 pour tout k, on
1 b1 p −k b p −k
en déduit que [v (a )]≥kr pour tout k ≥0, donc f ∈O†,b+b1 (lemme I.1).
p −k b+b1 E
Lemme I.3. — (i) O[ra,rb]∩O(0,rb] ⊂ 1O†,b.
E E p E
(ii) Si f ∈OE(0,rb] satisfait v[ra,rb](f)≥N pour un N ∈N, alors f ∈ p1TNnbOE†,b.
4. Onnote[]lapartieentière.