Table Of Content'.qrt
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He oquí urrp equeñot esorop oro los moeslros
¡, estudiontesd e mctemóticosp, oro los oficio-
ncrdosy en generol, poro todo oquel que
ouierc¡s ober cómo resclver problemos.
.Éss umorneniei nteresonlep orque¡o demi¡s dei
ospecto nuevo que preseniod e los motenró-
ticos,s u proceso de invención,c omo ciencic
experimentoie inductivo,p roporcionondon o
lo soiucióne stereofipodod e los problemos,
sino los procedimientoso riginolesd e cómo se
llegóo su soluciónd, o los cominosp oro resol-
ver problemose n cuonlo toles y dispone los
elementosd el pensomientod e tol monero que
insiintivomentoec túenc uondo se oresenteu n
proble.'nop or resolver.
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968-24-00r'¿
stt ill ilt IVIATT]VIATICAS
C ó m o
plantear
y resolver
p r o b l e m a s
G. Polyc
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EDIITIORIAL
TR:IILLAS
México, AArrlgentinaEE, ssppaaññaa,, \-
Colomba¡a, P.uertoR riccoo,.Vv eenne€ zuela
Prefacio a la Primera edición
en inglés
Un gran descubrirnientor esuelveu n gran problema, Pero en la solu'
ción de todo problema, hay un cierto descubrimiento.E l problema qug ie
planteap uede ser modesto;p "to, si pone a prueba la curiosidadq ue induce
a poner en juego las facultadesi nventivas, si se resuelvep or propios me-
dios, se puede experimentar el encanto del descubrimientoy el goce del
triunfo. Experienciasd e estet ipo, a una edad conveniente,p ueden deter-
minar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella impe-
recederae n la mente y en el carácter.
Traducción
hof. tulün Zugazagoitia Por ello, un profesor de matemáticast iene una gran oportunidad' Si
Tttuto de estao bra en inglés: dedicas u tiempr a ejercitar a los alumnos en operacionesru tinarias, mataúr
HdoÉwiir trot osno lveUi tniversitYh ess'U ' s' A' \ en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabui desaprove-
@c . rolya chandos u oportunidad. Pero si, por el contrario, Pone a prueba la curiosi-
aI i isbi ósne sáuurtaoorie zdaidcaióe nne ens íPnagñléosl il dad de susa lumnosp lanteándolesp roblemasa decuadosa susc onocimientos,
publicailaP orA chor Books y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes,p odrá
IT¿ lúoro e"sei:nitlaíici i Éóynt ndi'svp noss isc oi ót ne w n c non PiRu notBo .LrEy4! , -. despertarlese l gusto por el pensamientoi ndependientey proporcionarles
';;o ;;;: m;dr;"é-p t;;olr"d;i o;",pe *leddcuetcóte inddiacit oooo n iti rNáaiisinlóiait' nidl af'p 'mcol'eut:dy.di ae"n n."td-tento 1ie,n. l?s fo:í:tt:nos cisotpetmudao' cierUtons r eesctuurdsioasnp taecr au yeollsoe .studiosi ncluyan cierto grado de matemáticastb ne
ITarg "iriaiob*aruc"i)ó, no cuainl quciouni tst-eiinot ímaie'' n""tpouo ier reasccbrínto d ye.a l elmdiatoc¡enamEnto 1 teasmtáb,s iéi nv eu nlaas pmaarttiecmuláatri coapsco ortmunoi udnaad .m Daictehraia odpeo lart uqnuied atide nsee qpuieer pdree, scelanrtaor
-:Datii.e''ñn¡eiíi.lc-óh lloeilrsáue ists"cerion¿ aI dTorseit nta lesn,S g' Atu' edsep Cañ' Vol"a un exatnenf inal y de la cual no volverá a ocuparseu na vez pasado éste.
;'MAirri;e;á.m;h't;bt; l:r"lo; dE- ie,dó lía;t,o C:r2ió,a mt. aR30reNa83g 53an',c 4c úoí0omt'M' r 'uP éIlde5 xed8ic rlo¿oM'D a' rF*' Anava III Lnbaari truo rspauols rpt cuaanrpaida laacdsid mpaudaeetedsyme spáuetsirc daaefsircy,s iaoe n qineucselu; éns1oo, cspoiu meedlo e ec ssutaaubldqeiuari sneit rel oet ti ergonu,e sd tueanb e elt adpleaessnctteuol-
h''i"m'';ie;i;ri;aa; e;ii;df;ií;icnliió"bn,eú, n'- et bspatabcñta,'o f/¡lz9,I' oeó5'8t t (4iIzS1' zBe'tN *gs-z9I' ¿e-68t'8 e6'-v-2 7 I4esI-0e'8 077664''3) III duen fprarombbleumesaa dses i mnuantecma álot ichaas pp uroebdaed soe.r P taunetdoe o d emsácsu dbirvire,s rtiind oe m<1buaerug no ,c qfuue-
cigratna.o, que un vigoroso trabajo intelectual puede ser un ejercicio tan
Decmi oqui n ta reimp r esiónf, e{111i89 agradablec omo un ágil juego de tenis. Habiendo gustado del placer de
las matemátrcasy,^ no las olvidará fácilmente,p resentándoseen tonces'una
Impreso en México 5
hínteil ín Mexíco \
6 prelacio a la prinrera edición Prelacio a ht printert eúiaióu t
buenao portunidadp ara qqe las matemáticasa dquieranu n sentido para estudiod e los métodosd e solución.E stac lased e estudio,l lamadoh euri¡-
é1,y a seanc omo un pasatiempo o como herramienta de su profesión, o fico por algunosa utores,s i bien no estád e moda en nuestrosd ías,t iene
su profesión misma o la ambición de su vida. un largo pasadoy qoizi un cierto futuro.
El autor recuerdae l tiempo en que él era estudiante,u n estudianteu n Estudiandol os métodos de solución de-,p,roblemasp,e rcibimoso tra
tanto ambicioso,c on deseosd e penetrar un poco en las matemáticasy en la facetad e las matemáticasE. n efecto,l as matemáticapsr esentand os caras:
física.A sistíaa conferenciasle, ía libros,t ratandod e asimilarl as soluciones por un lado son la cienciar igurosa de Euclides,p ero también son algo
y los hechosp resentadosp, ero siempre se presentabau na interrogante que más. Las matemáticasp resentadaas la manerae uclideanaa Parecenc omo
lo perturbaba sin cesar: "sí, la solución dada al problema parece ser una ciencias istemáticad, eductiva;p ero las matemáticaes n vía de forma-
correctap, ero ¿cómoe s posible descub¡irt al sorución?s í, estee xperimentó ción'aparecenc omo una cienciae xperimental,i nductiva. Ambos aspectos
al parecer es cotrecto, tal parece que es un hecho; pero, ¿cómo pueden son tan viejosc omo las matemáticams ismas.P ero el segundoe s nuevoe n
descubrirset ales hechos?;¿ y cómo puedo yo por mí mismo inventar o cierto aspecto;e n efecto, las matemáticasin statu nascendl,e n el Proceso
descubrirt ales cosas?"H oy en día er autor enseñam atemáticase n una de ser inventadasn, unca han sido presentadaasl estudianten, i inclusoa l
universidad.P iensao deseaq ue algunosd e sus más aventajadosa lumnos maestro,n i al púbiico en general.
sep lanteenp reguntass imilaresy tnta de satisfacesr u curiosidadT. ratando La heurística tiene múltiples ¡amificaciones:l os matemáticos,lo s
de comprendern o sólo Ia solución de este o de aquel problema, sino logistas,l os psicólogos,l os pedagogose incluso los filósofos pueden recla-
también los motivos y el procedimiento de la solución, y tratando de mar varias de sus paftes como pertenecienteas su dominio especial.E l
hacer comprender dichos motivos y procedimientos, ha sido lle- autor, consciented e la posibilidad de críticas provenientesd e los más
diversosm ediosy muy al tanto de susl imitacioness, e permite hacero bser-
vado finalmentea escribire l presenteli bro. Deseaq ue resulted e utilidad
var que tiene cierta experierrciae n la solución de problemasy en la ense-
a aquellosm aestrosq ue quieren desarrollarla s aptitudesd e sus alumnos
ñanza de matemáticase n diversosn iveles.
para resolver problemas,y pare-a quellosa lumnos ansiososd e desarrollar 'El tema es tratadom ás ampliamentee n un extensol ibro que el autor
susp ropias aptitudes.
estáe n caminod e terminar.
Pesea que el presenteli bro ponee speciaal tencióna los requerimientos
de los estudiantesy maestrosd e matemáticasd, ebería de despertare l Uniaersidadd e Stanford,t Tosto le, 1944,
interésd e todos aq.uellosin teresadoes n los caminosy mediosd e la inven-
ción y del descubrimiento. Tal interés puede ser mayor que el que
uno puede sospechars in reflexión previa. El espaciod edicadoe n los
periódicosy revistas a los crucigramasy otros acertijos pareced emostrar
que el público dedica un cierto tiempo a resolver problemas sin ningún
interésp ráctico.D etrás del deseod e resolvere ste o aquel problema que
no aporta ventajam aterial alguna,d ebe haber una honda curiosidad,u n
deseod e cornprendelro s caminosy medios,l os motivosy procedimientodse
la solución.
Las páginasq ue siguen,e scritase n forma un tanto concisay , en la
medidad e lo posible,e n forma sencilla,e stánb asadase n un serioy largo
Prefacio a la séPtima
en inglés
reimpresión
con éxito' al menose n
Ahora puedo decir gustoso.qut l:-,:Tplido Los dos
vpoalrútem, eunneas t Pnrdoumcteiosna' d;;a; ia ;'e;;n;8 ei l prie' fancoio*t *aa tl'aic sp rimv ePraa f.t"edyi:tiló'ol;f Ptauibte
lnferenceque constitulei ,* ,*ñit,e obra Mathematicsa nd'P laasibleR eas-
oningcontinúanlatí'neadetpensamientoadoptada'enelpresentelibro'
Zxrich, dSorto 30, 1954'
Prefacio a la segunda edición
en inglés
i
En esta segunda edición se incluye, ademásd e algunas mejoras' una
tu*" Al ."t.ite"m pfoa rqteo ": P,"t-oPbil"epm^ta;sÉ-," p \u grcirmenpcrieassSi,ó onlu dceio ensetsa' edición' apareció
N'/'; cf' Time 18
un estudio (Edacation)l iesting. Seruite,,Princeton,
de junio, L9t6) qot J putttt'"h" formulado algunaso bservacionepse r-
tinentes;n o eran,tr"u^r'para los entendidose n la ma"t' eria' pero ya' etl
tiempo que se ror*.ri",t"'fuo tf público en seneral: ' ' las matemáti-
cas tienen el dudoso honoi de sei el tema ,í.not popular del plan de
estudios.. . Futuros maestrosP asan Por las escuelase lementalesa Pren-
il;; " detestar las matemátito' ' ' ' Regresana la escuelae lemental a
e- nseñara nuevasg eneracionesa detestarlas"'
ilP.;" qoe li presente edición, destinada a mis amplia difusión'
convenzaa algunos de sus lectoresd e que las rnatemáticasa' parte de ser
,rrr.*irro ,reiesarioa la ingenieriay it conocimientoc ientífico'-pueden
ser divertidasy a la vez abrií un Panoramae n las actividadesin telectuales
del más amPlio nivel.
Zuicb, ianio 30, 1956'
índice de contenido
Prefacios,5
ParaII r.e Csoolnvecre ubnir uPnro Pblleamn,a I IsIe' n'ife.c."e.1si0ta" :I . dCeol mPüpnre, nIdVe' r Eelx parmoibnlaerm laa'
*? . solución obtenida, l7
Introducción,21
Prlmerr¡ Portet
Enel solón decloses
Fropósit<>
l. AYudar al alumno,25 operacionesin telectuales2' 5
2. Prcguntu','"to'n""daciones'
3. La generalidad,2 6
+. Seniidoc omún,26
5. Maestroy ul"-"o' Imitacióny prácttca'27
Divisionesp rincipales'p reguntasp rincipales
6. Cuatro fases2, 8
7. ComPrcnsiónd el Problema2' 8
B. EjemPlo,29
9. Ct"clPción de un Plan' 30
10. EjcmPlo,3l
I l. Ejecuciónd el PIan,3 3
12. EjemPlo,34
13. Visión retrosPectiva3' 5
14. EjcmPlo,35
15. diversos Planteos,3 8
16. El métodó de inteirogar deI maestro'3 9
17. BuenasY malasP reguntas4' 0
t4
indice de contenido
Inüce de contenido l5
Otrqs ejemplos
Figuras,9 3
\
I B. Problemad e construcción.4 l .\Futuro matemático,E l, 96
19. Problemad e demostracióÁ4, Z rlGencraliza. ción,97
20. Problemad e rapidezd e variación.4 6 Ñ'gu empleadou stedt odosl osd atos?9, 8
\Í1" uq"i un problcma relacionadoc on el suyoy que ustedh a resuelto
i ya,100
lHeurística,l 0l
1 Segundo porfe l|Heurísticam oderna, I 02
CCómo
resolver un probtemosu n dlólogo ,{Indi.iosd e progrcso,1 05
jlnducción e inducciónm atemática,I l4
Familiarizarsec on el problema,5 l lL..to. inteligen te, I l9
Trabajar para una *é¡o, comprensión,5 l { Leibnir, GottfriedW ilhelm, 120
En buscad e una ideaú til. 5l \Lema, 120
Ej.ecuciónd el plan, 52 !¿Lo ha vistoy a antes?1, 20
v lslonr etrospectiva,5 3 1L levara l caboe l plan, l2l
$Mire bien la incógnita,I 24
{Notación. l28
Tercero porte \Pappus,133
Breve dlccionorlo de heurístico f PPaarrtaicdu<"rljadarc izl iancvictinnIt, o3 Br, l38
{
{Pedantcríay macstría,1 43
{I Afición a losp roblemas,5 7 \Plantco dc l¿rc cuacicir-1r,4 3
:Analogía,57
\Podría cnunciarc l problcmae n formad ilercntc?,1 46
g BolzanoB ernardo, 64 dcclucird c losd atosa lgún elementoú til?, 146
J Brillante idea.6 5 ¡)Podqríuaé lasd emostracioncs?l,4 8
¡\Por
i\Problemaa uxiliar, I 53
$'#itT-f;X problemqau es er ctacionceo ne I suyr?,66 l Profesord e matem áticast radicional,E l, l58
Contradicio.ioi6 Z qProg.esoylogro, l58
Corolario.6T
por resolver,p roblemasp or demostrar,l 6l
i*Problemas
, ¿-Cuáel sl a incógni ta?,67 \ Problemasd e rutina, 163
I Definición.G7
Problemasp rácticos,I 63
$Descartes,R ené,7 3 ¿Puedec omprobar el resultado?,1 67
fleycom.non:I y recomponere l problema,7 3 \ ¿Puedee ncontrar el resultadoe n lorma diferente?,1 69
:üU etermlnacióne, speranzaé, xiios,B 0 i,\iPuedeu tilizarsee l resultado?,I 7l
lDragnóstico,B l
{ Razonamientoh eurístico,I 73
Dibujeu na figura.8 2
Razonamientor cgrcsivo , 174
Distinguir lai-diversasp artesd e la condición,B 2 Reduccióna l absurdoy dem ostracióni ndirecta,179
Elementosa uxiliares.€i 2
Redundante,l 86
EnigmasB, 5
Reglasd e enseñanza,I BG
¿Esp osibles atislacerl a condición?,B 7 Reglasd e cstilo, I 86
Examend e dimensionesB. 7
Reglasd el dcscubrimientol,8 6
Examincs u hipótesis8, 9
Sabiduríad c los proverbios.I B7
, 1 6 I¡tdice de contenído
Favar esolver
\ Simetríat, ao
Sin o pueder esolvcre I problemap ropuesto,1 90 un probilenna
, Términosa ntiguosy nuevos,1 90
{Trabajo
, subconsciente1,9 2 se necesnta:
j +Variaciónd cl problcma,1 93
Cuortq poÉe
problemqs,
sugerencios,s oluciones
t GomPrender el Problema
Problemas,20l
Sugerencias,204
Soluciones.20T
ll Goncebir un Plan
Determinor lo reloción entre los dotos y
lo incógnito.
De no encontrorseu no reloción inmedioto,
puede considerorp roblemoso uxiliqres'
Obtener finolmente un Plqn de solución'
l
t\/ Examinar !a soluciÓn ot¡üenida
GomPrender el Problema
.
a ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáless on los datos?
a ¿cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determina¡ la in-
iógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante?¿ Contradicto¡ia?
Gonceblr un Plan
¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O fa visto el mismo
problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoceu n problema relacionado con éste? ¿Conocea lgún teorema,quel e
pueda ser útit? Mire atentamente la incógnita y trate de recotdar un
problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una
incógnita similar.
He aquí un problema ¡elacionado al suyo y que se ha ¡esuelto ya' ¿Po'
d¡ía usted ulilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su
rnétodo? ¿Le haúa a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin
de poder utiliza¡lo?
¿Podría enunciar el problema en otfa forma? ¿Podría Planteaflo en fo¡-
ma dife¡ente nuevamente?R efiérase a las definiciones'
si no puede resolve¡ el problema propuesto, trate de ¡esolver primero
algún problem¿ similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un
taáto más accesible?¿ Un problema más general? ¿Un ptoblema más
particular? ¿Un problemz aailogo? ¿Puede resolver una Parte del pro-
ilema? Coniid.re sólo una parte de la condición; desca¡tel a otra parte;
¿en qué medida la incógnita queda ahora dete¡minada? ¿En qué forma
puede variar? ¿Puede usted deduci¡ algún elemento útil de los datos?
¿Pueae pensar en algunos ot¡os datos apropiados para determinar la
incógniti? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o
los áatoq o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita
v los nuevos datos estén más ce¡canos ent¡e sí?
o ¿Ha empleado todos Ios datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha
ionsiderádo usted tod¿s las nocionese sencialesc oncernientesa l problema?
E¡ecuclón del plan
o Al ejecutar su plan?e la solución, compruebe cada uno de los pasos'
o ¿Puéde usted ver cla¡amente que el paso es co¡recto? ¿Puede usted de-
mostrarlo?
\ Vlslón retrosPectiva
e ¿Puede usted verificar. el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
o ;-P'Purercdlee obtener el resultado en fo¡ma dife¡ente? ¿Puede verlo de golpe?
r¡sted emolea¡ el resultado o el método en algún otro problema?
