comment apprendre aux eleves a developper une demarche experte et reflexive de resolution de ...

15 Pages·2001·0.1 MB·French

by  Anna Letta

Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 51
COMMENT APPRENDRE AUX ELEVES A DEVELOPPER UNE
DEMARCHE EXPERTE ET REFLEXIVE DE RESOLUTION DE
PROBLEMES ?1
Annick Fagnant, Isabelle Demonty, Michèle Lejong
Présentation des axes directeurs de la recherche Pour une amélioration des
pratiques d’enseignement de la résolution de problèmes au deuxième degré de
l’enseignement primaire.
INTRODUCTION
La recherche dont s’inspire le problèmes. Le présent article se
présent article a pour objectif propose de présenter les axes
principal de créer et d’expérimenter directeurs du projet.
des séquences d’enseignement de
la résolution de problèmes. Ces La démarche experte et
séquences visent à apprendre aux réflexive que l’on veut développer
élèves à développer une démarche chez les élèves peut se schématiser
experte et réflexive de résolution de comme suit2 :

1 Commanditaire : Ministère de la Communauté française, Administration générale de l’Enseignement et de la
Recherche scientifique, Service général des Affaires pédagogiques, de la Recherche en Pédagogie et du
Pilotage de l’Enseignement organisé par la Communauté française de Belgique.
2 Le schéma est inspiré de Greer (1997).
Comment apprendre aux élèves à développer une démarche experte et réflexive de résolution de problèmes ?
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Connaissances du monde réel
Connaissances
implicites concernant Contexte, buts
le « jeu » problèmes
Ressources
Modèle de situation
Modèle mathématique
ENONCE « REPRESENTATION »
« CALCUL(S) »
SOLUTION
Vérification
Le processus de résolution se Axe 2 :Le désapprentissage des
caractérise par quatre grandes stratégies superficielles et
étapes : des croyances associées.
• La représentation, où l'on
La construction de séquences
construit un modèle de situation.
d’enseignement doit accorder une
• La résolution, où l'on élabore un
place importante au développement
modèle mathématique que l'on
des compétences et à leur intégra-
résout.
tion. En parallèle, elle doit être
• La communication, où l'on trans-
attentive à contrecarrer certaines
met sa solution à autrui.
stratégies ou croyances peu
• La vérification, où l'on évalue sa
compatibles avec la démarche que
solution et l’ensemble de sa
l’on veut développer.
démarche.
Apprendre cette démarche En suivant ces axes directeurs,
experte aux élèves demande de on espère amener chaque élève à
mettre en place un enseignement maîtriser toutes les facettes de la
prenant en compte deux axes démarche réflexive de façon à ce
directeurs : qu’il puisse la mettre en œuvre dans
des situations variées.
Axe 1 :L’apprentissage explicite, in-
tégré et contextuel des diver-
ses compétences requises.
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Cahiers du Service de Pédagogie expérimentale - Université de Liège - 3-4/2000 53
AXE 1 :
L’APPRENTISSAGE EXPLICITE, INTEGRE ET CONTEXTUEL
DES DIVERSES COMPETENCES REQUISES
Nous allons à présent dévelop- solutions » (Gagné, cité par Crahay,
per les quatre grandes phases d'une 1997).
démarche réflexive et, en parallèle,
donner un bref aperçu des activités Selon Julo (1995), « compren-
développées dans le cadre du projet dre quelque chose, ce serait, d’une
de recherche1. manière ou d’une autre, construire
une représentation de cette chose. Il
faut insister tout de suite sur l’idée
1. LA PHASE DE REPRESENTATION de construction car elle est
DE LA SITUATION inséparable de celle de représenta-
tion… ». Julo a montré l’impact de
Cette compétence est détermi- la représentation sur la résolution
nante, car elle conditionne la réussite d’un problème. Il soumet un
des étapes ultérieures. Apprendre problème « complexe » a un
aux élèves à se représenter une ensemble d’élèves de 6e année, et
situation problème est une activité montre que tous les élèves qui sont
d’enseignement très importante. parvenus à résoudre le problème
L’enseignant doit faire prendre correctement ont, au préalable,
conscience à chaque élève qu’une construit une représentation adéquate
bonne représentation du problème de la situation. A l’opposé, les élèves
doit l’aider à résoudre correctement qui ne parviennent pas à résoudre le
le problème posé. problème correctement ont une
représentation incomplète, inadé-
La représentation est un
quate ou erronée.
élément essentiel de la démarche de
résolution : « C’est en fonction de la La représentation n’est pas
représentation qu’il s’est faite du qu’une traduction de l’énoncé sous
problème que le sujet détermine les la forme de calculs. Selon Julo
connaissances qui doivent être (1995) cette idée de « simple traduc-
activées dans sa mémoire à long tion » est un « raccourci » pouvant
terme pour être mises à la éventuellement correspondre à la
disposition de la recherche de démarche d’un mathématicien qui
sait déjà résoudre le problème. En
1 Pour plus de détails, voir « Recueil d’activités »
revanche, elle ne rend aucunement
et « Justification et analyse des activités » -
compte de ce qui se passe dans la
Rapport de la recherche Pour une amélioration
des pratiques d’enseignement de la résolution tête d’un sujet qui ne connaît pas
de problèmes au deuxième degré de
d’emblée le scénario de résolution.
l’enseignement primaire – Août 2000.
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En effet, dans ce cas, la « traduction comment se représenter les
mathématique » n’est possible situations problèmes (ils se trouvent
qu’après avoir développé une bonne dépourvus face à ce type de tâche).
compréhension de l’énoncé. Autre- Les activités à développer en lien
ment dit, il faut d’abord construire avec cette étape de la résolution
une représentation adéquate de doivent tenir compte de ces deux
l’énoncé avant de le symboliser hypothèses.
mathématiquement. L’étape d’écri-
ture d’une équation (d’un calcul) fait Deux types d’activités ont été
alors déjà partie intégrante de la proposés aux élèves pour apprendre
résolution proprement dite. à construire des représentations de
situations problèmes :
La construction d’une
• « les représentations dessinées » ;
représentation est un processus
• « la reformulation écrite ».
complexe qui nécessite une
compréhension globale de la
Nous pensons qu’il est
situation, la prise en compte des
important de donner plusieurs outils
données utiles à la résolution et le
aux élèves afin qu’ils ne se sentent
repérage de l’inconnue. Un autre
pas dépourvus face aux situations
aspect fondamental d’une bonne
problèmes. Il convient de leur
représentation consiste à établir les
apprendre différentes démarches de
relations unissant les données entre
façon à ce qu’ils disposent d’un
elles et avec l’inconnue à rechercher.
bagage de compétences le plus riche
Dans « l’idéal », la représentation
et le plus diversifié possible. A eux
doit être opérationnelle, c’est-à-dire
de voir par la suite quel type de
qu’elle doit permettre de dégager la
démarche leur convient le mieux !
voie à suivre pour résoudre le
problème (par exemple, donner une Les deux types d’activités
indication des calculs à effectuer développées ont de nombreux points
pour découvrir la solution). communs et permettent de mettre en
évidence plusieurs aspects essentiels
De nombreux résultats de
de la construction d’une représen-
recherches montrent que la plupart
tation. Cette idée « d’aspects essen-
des erreurs en résolution de
tiels de la construction d’une
problèmes peuvent être imputées à
représentation » est importante.
des difficultés survenant au niveau
En aucun cas, il ne convient de
de la phase de représentation. Suite à
proposer des « dessins types » ou des
ce constat, on peut faire deux
« reformulations types ». Les acti-
hypothèses : soit les élèves ne
vités doivent amener les élèves à
cherchent pas à se représenter les
reconnaître les éléments importants
situations problèmes (ils omettent
d’une « bonne » représentation.
cette phase parce qu’ils n’en voient
Cette représentation pourra alors
pas l’utilité) ; soit ils ne savent pas
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prendre des formes variées, pour 2. LA PHASE DE RESOLUTION
autant qu’elle intègre ces éléments ! PROPREMENT DITE
Dans une démarche experte et « Lorsque l’élève a compris
réflexive de résolution, l’important quelle était la nature du problème ou
est que l’élève se représente ce qui était attendu de lui, il peut
adéquatement la situation afin de la passer à la recherche d’une solution
résoudre correctement. Dans l’idéal, ou élaborer une stratégie de
l’élève devrait évaluer, face à chaque traitement et la mettre en œuvre.
situation rencontrée, s’il peut se Pour cela, il faut générer un
contenter de se représenter menta- scénario de résolution ou, plus
lement le problème ou si la particulièrement, choisir ou inventer
concrétisation d’une représentation, la (ou les) procédure(s) qu’il pense
sous la forme d’un dessin ou d’une devoir être mise(s) en œuvre. Selon
reformulation, pourrait l’aider à le cas, l’élève devra faire appel à
mieux comprendre le problème. son savoir-calculer, à son savoir-
mesurer, à sa maîtrise des nombres
La construction d’une repré- rationnels, etc. » (Mathématiques
sentation mentale est nécessaire pour de 10 à 14 ans. Continuité et
résoudre tous les problèmes ; la compétences. Cellule de Pilotage,
concrétisation de la représentation Secrétariat général, Ministère de
est un truchement nécessaire dans le l’Education, de la Recherche et de la
cadre de l’apprentissage, elle n’est Formation, 1996, p. 19).
pas nécessaire en soi. On peut
également faire l’hypothèse (cf. idée La phase de résolution
défendue par Jaspers, 1991 - au proprement dite doit amener l’élève
départ de représentations sous forme à découvrir la solution ; elle doit le
de manipulations) que l’apprentis- conduire à répondre à la question
sage de représentations externes posée dans le problème.
(concrétisées sous forme de dessins
ou de reformulations) va permettre On considère généralement
d’aider à la construction de que la phase de résolution revient à
représentations internes (on parle de « faire les calculs » nécessaires…
schémas problèmes dans le jargon de Si cela est vrai dans la grande
la littérature des recherches majorité des problèmes rencontrés
scientifiques). Autrement dit, après habituellement en classe, il ne faut
l’apprentissage, on peut espérer que pas non plus considérer ce lien
les élèves auront acquis un certain (résolution = calcul) comme une
nombre d’éléments leur permettant Vérité absolue ! En effet, la
d’être plus efficaces dans la résolution de tout problème ne
construction d’une représentation nécessite pas nécessairement de faire
(même mentale) des situations des calculs. Dans certains cas, la
problèmes. stratégie de résolution peut
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correspondre à mesurer des lien avec la phase de résolution
dimensions, à tracer un plan, à proprement dite, le premier point à
dessiner une « carte routière », à prendre en considération est de
réaliser un classement, un tri, etc. proposer des problèmes variés,
nécessitant de développer un
En bref, la « forme » que peut
véritable processus de recherche.
prendre la phase de résolution
proprement dite dépend du type de
L’aspect « résolution » fait
problème proposé, du but à atteindre
partie intégrante de toutes les
ou de la tâche à réaliser. En plus de
activités développées dans le cadre
ces aspects intrinsèques au problème
du présent projet de recherche. De
lui-même, on peut également
manière à « coller » plus spécifique-
considérer que la « forme » que
ment à cette phase de la démarche de
prendra la stratégie de résolution
résolution, nous avons également
dépend également du sujet qui résout
créé des activités de type
le problème. En effet, les
« problèmes ouverts ».
« résolveurs » de problèmes peuvent
utiliser différents types de calculs,
Selon Combier (1999), le
mettre en œuvre une variété de
problème ouvert doit permettre de
stratégies de résolution présentant un
placer l’élève dans une situation
aspect plus ou moins formel, réaliser
comparable à celle du mathémati-
des dessins ou procéder à des
cien : il est confronté à un problème
tâtonnements, etc.
nouveau pour lequel il ne dispose
d’aucune procédure de résolution
Ces aspects propres au sujet
éprouvée. Dans ce type d’activité,
sont importants à prendre en
l’élève est amené à développer un
considération si on veut que l’élève
comportement de recherche (éla-
se sente investi personnellement
borer une démarche, faire des
dans les tâches de résolution. Il faut
hypothèses, les éprouver,…). Les
prendre en compte la variété des
problèmes proposés peuvent être
approches de résolution pour
résolus par différentes stratégies
respecter la diversité des élèves, et
nécessitant la mise en œuvre de
ceci afin d’éviter de leur faire
connaissances variées. En ce sens, ils
développer une « croyance » selon
permettent de prendre en compte les
laquelle les mathématiques seraient
différences entre les élèves. L’attrait
des tâches totalement abstraites,
de ces activités réside dans
gouvernées par une série de règles
l’accentuation qui est faite sur le
formelles auxquelles seuls les
processus : la phase de recherche est
mathématiciens comprennent quel-
primordiale.
que chose !
Pour créer des activités visant Nous avons développé deux
à développer des compétences en types d’activités qui visent à lutter
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contre des « croyances » propres à réponse à la question posée dans
entraver un processus expert et l’énoncé. Au sein de ce processus de
réflexif de recherche de solution. En recherche, les étapes de représen-
opposition avec ces croyances, les tation et de résolution lui appartien-
activités s’intitulent « Problèmes nent ; elles constituent « sa zone de
ouverts » ou « Il y a plusieurs travail ». Les élèves développent
façons de résoudre un problème, et différentes stratégies qui peuvent
il n’y a pas toujours qu’une et une être relativement informelles et se
seule solution possible… ». présenter sous différentes formes. La
solution du problème n'apparaît pas
nécessairement de manière claire
3. LA PHASE DE COMMUNICATION pour un lecteur extérieur. Au terme
DE LA SOLUTION de la résolution, il convient donc
« d’extraire » la solution de la « zone
Lorsque l’élève se trouve de travail » de manière à ce qu’elle
confronté à un problème à résoudre, soit clairement identifiable et
il doit mettre en œuvre diverses compréhensible par un lecteur
compétences afin de chercher la extérieur.
Tentons d’illustrer notre propos au travers d’un exemple concret. Supposons que l’élève
réalise un schéma pour représenter la situation et qu’il résolve le problème en utilisant
divers calculs, dont un calcul à trou.
Exemple : Pierre avait 20 images. Il en a donné 5 à sa sœur et sa sœur lui en a donné
quelques-unes en échange. Maintenant, il a 18 images. Combien d’images sa sœur lui
a-t-elle données ?
Pierre Ł 5Ł Soeur
20 15 18 (cid:231) 3 (cid:231)
Calculs : 20-5=15 et 15+3=18
Le lecteur extérieur qui découvre le problème ainsi résolu ne peut, avec certitude,
identifier la solution de l’élève. Il est important que la solution soit communiquée, c’est-
à-dire rendue compréhensible.
Exemple : La sœur de Pierre lui a donné 3 images.
La communication de la bien précis, et ce but guide la forme
solution est parfois l’enjeu essentiel que doit prendre la communication
de la résolution d’un problème. On de la solution.
résout alors le problème dans un but
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Illustrons notre propos au travers de quelques exemples concrets :
1 : Les enfants de 6e année vendent des boissons et des friandises tous les jours
durant la récréation. Le directeur veut qu’ils lui remettent, une fois par mois, un
tableau récapitulatif du total des dépenses et des recettes.
Résolution : calculer le total des achats réalisés chaque mois, ainsi que le total des
dépenses effectuées.
Mode de communication : un tableau récapitulatif.
2 : Les élèves de 5e année vont faire une balade dans le village voisin. Ils doivent être
très attentifs au chemin parcouru de manière à pouvoir en faire le plan précis. Le
but est que les élèves de 4e année puissent faire une course d’orientation en se
servant de ce plan comme « carte routière ».
Résolution : transformer une balade en 3 dimensions sur un papier en deux
dimensions.
Mode de communication : un plan de type « carte routière ».
3 : Les élèves réalisent un concours de fléchettes. Il y a 5 élèves de 3e année qui
participent au concours. Il faut calculer les points de chacun et réaliser une affiche
pour présenter les résultats.
Résolution : calculer le total des points de chaque enfant.
Mode de communication : une affiche.
En bref, communiquer sa • L’activité « Les puzzles de
solution… problèmes » vise à mettre en évi-
dence deux éléments : (a)
• C’est, au minimum, présenter la
l’importance d’identifier la solu-
réponse à la question posée dans
tion, soit en l’entourant au sein
l’énoncé de façon à ce qu’elle
du (ou des) calcul(s) effectués,
soit compréhensible par un lec-
soit en la précisant en dehors des
teur extérieur.
calculs et (b) l’importance
• C’est aussi, dans certains pro-
d’indiquer les unités, qu’elles
blèmes, tenir compte d’exigences
soient discrètes (ex. enfants,
supplémentaires imposées par les
bonbons, voitures,…) ou conti-
modes de communication spécifi-
nues (ex. mètres, litres, …).
ques à la situation.
• L’activité « Les problèmes à la
suite » permet d’apporter le
En lien avec les deux aspects
troisième « critère » d’une
précisés ci-dessus, nous avons déve-
communication adéquate : l’im-
loppé deux séries d’activités portant
portance d’écrire une phrase qui
sur la phase de communication.
recontextualise la solution dans
La première série d’activités la situation problème.
porte sur les exigences minimales de
la communication. Elle a pour objec- La seconde série d’activités
tif de faire découvrir les différents porte sur un mode particulier de
critères d’une communication adé- communication requérant des exi-
quate dans un problème arithmétique gences supplémentaires. Elle conduit
relativement simple : l’élève à se situer dans un contexte
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particulier ; ici « Les jeux au moment de la planification de la
olympiques ». La communication démarche et de sa mise en œuvre (cf.
des résultats est soumise à des phase de résolution proprement
exigences supplémentaires et doit dite), au moment de l’aboutissement
prendre une forme particulière en de cette démarche vers les résultats
fonction de l’utilisation que l’on veut de l’action (cf. phase de commu-
faire de ces résultats. nication).
La phase de vérification doit
4. LA PHASE DE VERIFICATION DE permettre de s’assurer de la validité
LA SOLUTION ET DE L’ENSEM- de la démarche et du résultat. Quelle
BLE DE LA DEMARCHE que soit la terminologie employée et
que le processus soit continu ou qu’il
Dans les différentes approches survienne au terme de la démarche,
théoriques de la résolution de l’essentiel est qu’il porte sur les
problèmes, les auteurs s’accordent différents moments clés du pro-
généralement sur l’importance d’un cessus de résolution.
processus de vérification. La mise en
œuvre de ce type de processus Une des difficultés principales
complexe est une des caractéristi- de la phase de vérification est qu’elle
ques principales qui distingue les semble constituer une étape assez
experts des novices en résolution de abstraite, qui se déroulerait dans la
problèmes. tête du sujet et sur laquelle une
personne extérieure aurait très peu
Les terminologies employées de maîtrise ! Il paraît alors très
diffèrent selon les auteurs : difficile d’enseigner des compéten-
vérification, contrôle, régulation, ces propres à cette étape !
monitoring,… Certains distinguent
une phase spécifique de vérification, Généralement, on essaie
intervenant au terme du processus de d’impliquer les élèves dans un tel
résolution, d’autres envisagent ce processus en leur faisant des
processus comme continu et ayant sollicitations telles que « relisez
cours tout au long de l’activité. votre travail », « vérifiez votre
solution », etc. On sait malheu-
Richard (1990) parle de reusement que ce type d’approche a
contrôle de l’activité. En employant peu d’effets et que les élèves sont
des termes plus simples et peu enclins à se lancer spontanément
correspondant mieux à notre dans une démarche d’autorégulation
terminologie, l’idée défendue par de leur travail. Ils préfèrent
l’auteur est que le contrôle inter- demander à l’enseignant d’attester
viendrait à différents moments de de l’aspect correct ou non de leur
l’activité : au moment de la solution et se contentent habituelle-
construction de la représentation, ment de ce feedback extérieur.
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Lorsqu’ils tentent d’évaluer De plus, il faudrait que l’élève
eux-mêmes ce qu’ils ont fait, la puisse décomposer ces questions
vérification se cantonne générale- générales en sous-questions plus
ment sur l’aspect technique de la précises et qu’il dispose d’un certain
résolution. On vérifie la justesse des nombre d’outils pour tenter d’y
calculs effectués (ex. Est-ce que 4 répondre correctement. L’activité
fois 5 est bien égal à 20 ?) mais on que nous avons développée dans ce
ne remet pas en question le choix de but s’intitule « La vérification ».
la stratégie choisie (ex. Est-ce qu’il Son objectif est d’amener les élèves
fallait bien faire 4 fois 5 ?). De plus, à développer des stratégies efficaces
l’élève évalue rarement la de vérification. Pour ce faire, on
vraisemblance de sa solution (ex. cherche à conduire les élèves à se
Est-ce possible de boire 20 litres poser un certain nombre de questions
d’eau en 1 heure ?) et il ne vérifie pertinentes, en lien avec les trois
pas s’il répond adéquatement à la premières étapes de la démarche
question qui lui était posée (cf. réflexive de résolution (représenta-
solutions mal communiquées et/ou tion, résolution et communication).
peu claires).
Les démarches spontanées des 5. L’INTEGRATION DES DIFFEREN-
élèves (induites ou non par des TES PHASES DE RESOLUTION
sollicitations générales telles que DU PROBLEME
« vérifie ! ») sont donc loin de
correspondre à des démarches Développer une démarche
complètes de vérification ! Il faudrait experte de résolution de problèmes
au minimum que la phase de impose l’apprentissage de compéten-
vérification amène les élèves à se ces. Cet apprentissage doit être
poser un certain nombre de questions INTEGRE et CONTEXTUEL.
portant sur les différentes étapes de Gloser (cité par Tardif, 1992) estime
son processus de résolution : que « la tâche fondamentale de
l’enseignant est non seulement de
Ł Ai-je bien analysé le pro- spécifier à l’élève les compétences
blème ? (cf. construction d’une nécessaires pour résoudre le
représentation appropriée) problème, mais également de l’aider
Ł Ai-je bien résolu le pro- à organiser ces compétences ».
blème ? (cf. démarche adaptée
et justesse de la démarche) L’enseignant se doit de
Ł Ai-je bien communiqué le proposer aux élèves des situations où
solution (cf. adéquation de la toutes les phases de résolution se
solution à la question posée, justifient, même si une compétence
clarté de la communication, particulière est plus spécialement
etc.). travaillée, et non des activités isolant
Comment apprendre aux élèves à développer une démarche experte et réflexive de résolution de problèmes ?