Table Of ContentМинистерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский государственный
машиностроительный университет (МАМИ)
Кафедра "Начертательная геометрия и инженерная графика"
БРОДСКИЙ А. М.
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЗАИМНОГО
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЧАСТЬ 2
Примеры построения
Методические указания для студентов,1 курса
изучающих курс "Начертательная геометрия"
Москва 2015
Вторая часть методических указаний «Построение линий взаимно-
го пересечения поверхностей» содержит примеры построения проекций
линий пересечения плоскостей и криволинейных поверхностей, наибо-
лее часто встречающихся при выполнении графических заданий по
начертательной геометрии и черчению. Рассмотрение приведенных
примеров можно начать лишь после подробного изучения соответству-
ющих разделов курса, воспользовавшись конспектом лекций, учебни-
ком, а также первой частью настоящих методических указаний. Приме-
ры построений снабжены краткими пояснениями. Для удобства поиска,
помимо оглавления, можно использовать помещенную ниже таблицу,
где в пересечениях столбцов и строк приводятся номера рисунков, со-
ответствующих пересечению указанных поверхностей.
Поверхности Плоскость Цилиндр Конус Сфера Тор
Плоскость 1, 2, 3 4 5 6 7
Цилиндр 4 8, 9, 10 11, 12 13, 14 15, 16, 17
Конус 5 11, 12 18, 19 20, 21 22, 23
Сфера 6 13,14 20, 21 24 25, 26
Тор 7 15, 16, 17 22, 23 25, 26 27, 28
© Университет машиностроения, 2015
2
Содержание
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ________________________4
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И
КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ___________________5
Пересечение двух плоскостей общего положения.
Пример выполнения задания на пересечение плоскостей _____5
Пересечение плоскости и цилиндра ______________________10
Пересечение плоскости и конуса ________________________11
Пересечение плоскости и сферы _________________________12
Пересечение плоскости и тора __________________________13
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПО-
ВЕРХНОСТЕЙ ___________________________________________14
Пересечение двух прямых круговых цилиндров ___________14
Пересечение прямого кругового цилиндра и прямого
кругового конуса _____________________________________17
Пересечение прямого кругового цилиндра и сферы ________19
Пересечение цилиндра и тора __________________________21
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНИЧЕСКОЙ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНО-
СТЕЙ ___________________________________________________24
Пересечение прямых круговых конусов __________________24
Пересечение прямого кругового конуса и сферы __________27
Пересечение прямого кругового конуса и тора ____________29
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СФЕРЫ СО СФЕРОЙ И ТОРОМ _____________31
Пересечение сферы со сферой __________________________31
Пересечение сферы с тором ____________________________33
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТОРОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ _______________35
Пересечение двух торов, оси которых
взаимно параллельны _________________________________35
Пересечение торов, оси которых пересекаются ____________35
3
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Плоскости проекций:
горизонтальная Н
фронтальная V
профильная W
Точки в пространстве А, В, С и другие прописные буквы латинского
0 0 0 0
алфавита, а также 1 , 2 , 3 и другие цифры с обозначением .
Проекции точек:
горизонтальные a, b, c, 1, 2, 3 …
фронтальные a’, b’, с’, 1’, 2’, 3’ …
профильные a”, b”, c”, 1”, 2”, 3” …
Линии в пространстве l0, m0, n 0, p0, q0 или по точкам,
определяющим линию.
Проекции линий
горизонтальные l, m, n, p, q или проекциями точек,
определяющих линию;
фронтальные l’, m’, n’, p’, q’ или проекциями точек,
определяющих линию;
профильные l”, m”, n”, p”, q” или проекциями точек,
определяющих линию.
Поверхности, включая плоскости P, Q, T, (ABC), (DEF) ...
Следы плоскости:
горизонтальные P Q T ...
h, h, h
фронтальные P , Q , T ...
v v v
профильные P , Q , T ...
w w w
Символы, означающие отношения между геометрическими фигу-
рами:
совпадение =;
4
параллельность
перпендикулярность
принадлежность
включение
пересечение
Символы, обозначающие логические операции:
логическое следствие
эквивалентность
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И
КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Пересечение двух плоскостей общего положения.
Пример выполнения задания на пересечение плоскостей
Построение проекций линии пересечения двух плоскостей, задан-
ных плоскими многоугольниками, выполняется на листе ватмана фор-
мата А3, располагающегося вертикально (рис. 1). Основная надпись
чертежа (штамп) выполняется на короткой стороне справа. В правом
верхнем углу помещается текстовое условие задачи в точном соответ-
ствии с формулировкой, данной в таблице заданий. В левом верхнем
углу листа располагается таблица с заданными координатами точек.
Оси Oy и Oz проводят на расстоянии 10 мм от рамки чертежа, ось Ох –
примерно посередине листа.
Положение каждой из плоскостей определяется координатами
трех точек – трех вершин многоугольника. Поэтому, если в задаче одна
из плоскостей представлена четырех- или пятиугольником, то в таблице
заданий полностью имеются координаты лишь трех вершин много-
угольника, а для остальных вершин названы по две координаты. Про-
черк в соответствующей графе таблицы заданий свидетельствует о том,
что данная координата точки не задана. В этом случае строят проекции
вершин многоугольника, координаты для которых заданы полностью,
затем находят проекции вершин, координаты которых известны, а
недостающие проекции достраивают, руководствуясь признаком при-
надлежности точек плоскости: точка принадлежит плоскости, если она
принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
5
Рис. 1
6
Если одна из плоскостей задана параллелограммом, то в таблице
заданий координаты одной из вершин отсутствуют полностью. Для то-
го, чтобы достроить проекции параллелограмма, необходимо принять
во внимание, что параллельные прямые имеют параллельные одно-
именные проекции.
В рассматриваемом примере (рис. 1) одна из плоскостей задана
четырехугольником DEFG. Координата z вершины F не задана (прочерк
в таблице). Следовательно, фронтальную проекцию f’ этой вершины
необходимо достроить. Проекции вершин D, E, G и горизонтальную
проекцию f вершины F находят по заданным координатам. Фронталь-
ную проекцию f’ строят как недостающую проекцию точки F,
принадлежащую плоскости DEFG, по заданной ее горизонтальной про-
екции f. Для этого можно воспользоваться любыми прямыми, прохо-
дящими через точку F и принадлежащими плоскости DEFG, однако
удобней использовать диагонали DF и EG, пересекающиеся в точке I.
Находят проекции df, eg и e’g’. Положение фронтальной проекции d’i’
определяется фронтальной проекцией i’ точки I. Фронтальную проек-
цию f’ точки F находят по линии связи на проекции d’i’. Вершины мно-
гоугольника следует соединять прямыми в той же последовательности,
в какой они названы в условии задачи. После построения проекций за-
данных плоских фигур можно приступать к определению проекций ли-
нии их взаимного пересечения.
При построении проекций прямой, по которой пересекаются плос-
кости, рекомендуется одну из точек определить общим способом, про-
водя проецирующую плоскость, не совпадающую со сторонами много-
угольников, а другую - частным способом, выбирая проецирующую
плоскость проходящей через какую-либо сторону одного из заданных
многоугольников.
В рассматриваемом примере одна из точек искомой прямой – точ-
ка М- определена путем введения фронтально-проецирующей плоско-
0 0
сти T , которая пересекает плоскость АВС по прямой 1 2 , а плоскость
1
0 0
DEFG – по прямой 3 4 . Вторая точка линии пересечения плоскостей -
точка N- определена в результате введения горизонтально-
проецирующей плоскости Т , проходящей через сторону АВ треуголь-
2
0 0
ника. Плоскость Т пересекает плоскость DEFG по прямой 5 6 , про-
2
должение которой позволяет определить точку N, в которой АВ пересе-
кает плоскость четырехугольника. Учитывая, что рассматривается пе-
7
ресечение плоскостей, ограниченных многоугольниками, прямая, по
которой они пересекаются, может существовать только в пределах су-
ществования обоих фигур, в данном случае прямая должна быть огра-
ничена отрезком KL.
Для определения видимости на горизонтальной проекции рас-
0 0
смотрено взаимное положение конкурирующих точек 5 и 7 , а для
определения видимости на фронтальной проекции выбраны конкури-
0 0
рующие точки 8 и 9 .
В некоторых задачах взаимное положение сторон многоугольника
или положение сторон относительно плоскостей проекций может вы-
звать при построении определенные затруднения. Так в задаче, пред-
ставленной на рис. 2, стороны треугольников AB и EF являются про-
фильными прямыми, а проекции точки пересечения прямой АС с плос-
костью DEF лежат за пределами чертежа, что выясняется при проведе-
нии вспомогательной горизон-
тально-проецирующей плоскости
Р.
В рассматриваемом случае
одну из вспомогательных плоско-
стей (Т ) целесообразно выбрать
1
фронтально-проецирую-щей и
проходящей через сторону ВС, а
другую (Т ) – горизонтально-
2
проецирующей и проходящей че-
рез сторону DE. При построения
0 0
проекций прямой 3 4 , по которой
плоскость Т пересекает плоскость
1
DEF, трудностей не возникает, что
позволяет определить проекции
точки К, в которой сторона ВС пе-
ресекает плоскость DEF.
Рис. 2
Для построения проекций
прямой, по которой плоскость Т пересекает плоскость АВС, мы распо-
2
0 0
лагаем горизонтальной проекцией прямой 5 6 и следует достроить
фронтальную проекцию этой прямой. Затруднения может вызвать по-
0
иск фронтальной проекции 6’ точки 6 , располагающейся на профиль-
ной прямой АВ. Следует принять во внимание, что, если точка делит
отрезок в некотором отношении, то проекции точки делят проекции от-
8
резка в том же отношении. Поэтому, используя теорему Фалеса, из b’
можно провести произвольный луч, на котором надо отложить отрезки
[b’6*] и [6*a*], конгруэнтные соответственно [b6] и [6a]. Точку a* со-
единить с a’, а из 6* провести луч, параллельный [a*a’]. Пересечение
луча из 6* с [a’b’] определит точку 6’, что позволит построить фрон-
тальную проекцию 5’6’ и выяснить проекции точки М, в которой сто-
рона DE пересекает плоскость АВС.
Прямую КМ, по которой пересекаются плоскости АВС и DEF,
следует ограничить отрезком MN, где существуют обе треугольные
пластины.
Для определения видимости на горизонтальной проекции рас-
0 0
смотрены конкурирующие точки 1 и 5 , а для фронтальной проекции –
0 0
3 и 7 .
Ту же задачу (рис. 3) мож-
но решить, использовав в каче-
стве вспомогательных парал-
лельные фронтально-
проецирующие плоскости Т и
1
Т . В этом случае построение
2
проекций общих точек M и N
для плоскостей АВС и DEF
остается в пределах формата
чертежа, и отпадает необ-
ходимость поиска недостающих
проекций точек на профильных
прямых. Кроме того, при ис-
пользовании параллельных
вспомогательных плоскостей
можно «сэкономить» на постро-
ении проекций одной из точек,
Рис. 3
поскольку известно, что парал-
лельные плоскости пересекаются по параллельным прямым, имеющим
параллельные одноименные проекции. Для выяснения видимости на
фронтальной плоскости проекций использованы конкурирующие точки
0 0
7 и 8 , а для определения видимости на горизонтальной плоскости про-
0 0
екций - конкурирующие точки 9 и 10 .
9
Пересечение плоскости и цилиндра
Пусть требуется простроить проекции линии пересечения фрон-
тально-проецирующей плоскости Т и профильно-проецирую-щего пря-
мого кругового цилиндра (рис. 4).
Плоскость пересекает цилиндр по эллипсу, но построение его про-
екций значительно облегчается проецирующими положениями задан-
ных поверхностей, что дает возможность утверждать, что фронтальной
и профильной проекциями эллипса мы уже располагаем, и остается до-
строить только горизонтальную проекцию.
Один из способов построе-
ния состоит в нахождении гори-
зонтальных проекций ряда про-
извольно выбранных точек,
0 0
например, точек 1 и 2 . Для это-
го можно воспользоваться по-
стоянной линией чертежа, про-
веденной через точку К пересе-
чения осей цилиндра.
Другой способ построения
эллипса основан на использова-
нии проекций большой и малой
оси. Большая ось эллипса АВ
Рис. 4
параллельна фронтальной плос-
кости проекций и проецируется на нее без искажения, а малая ось CD
перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций и без искажения
проецируется на горизонтальную плоскость проекций. Определив гори-
зонтальные проекции осей [ab] и [cd], из точки o их пересечения опи-
сывают две концентрические окружности с радиусами R и r (R=ab/2;
r=cd/2). Из точки o проводят в радиальном направлении произволь-
ную прямую, которая пересекает большую окружность в точке F , а
0
меньшую – в точке E . Из точки F проводят луч, параллельный [cd], а
0 0
из точки E - луч, параллельный [ab]. Пересечение этих лучей в точке 3
0
определяет положение одной из точек эллипса. Проведя из точки o но-
вую радиальную прямую и повторяя подобные построения, находят
другие точки эллипса, которые соединяют плавной кривой.
10
