CAPITOLO 4 CIRCUITI BASATI SU OP-AMP 4.1 Richiami ed approfondimenti sugli amplificatori ...

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CAPITOLO 4

CIRCUITI BASATI SU OP-AMP

4.1 Richiami ed approfondimenti sugli amplificatori operazionali

L’amplificatore operazionale è uno dei componenti integrati più utilizzati per la
progettazione a frequenze non troppo elevate; a causa della complessità del circuito e
per poter applicare in modo efficace la retroazione, mantenendo guadagni elevati, non
si riesce, infatti, con operazionali convenzionali ad andare al di la delle decine di MHz.
Il nome “operazionale” deriva dalla semplicità con cui si riescono a realizzare, con tale
componente, le operazioni di elaborazione dei segnali. Tali dispositivi si prestano alla
realizzazione di funzioni sia lineari che non (amplificatori invertenti, non invertenti,
sommatori, integratori, ma anche amplificatori logaritmici, esponenziali, modulatori,
moltiplicatori, convertitori analogico digitali, ecc.). L’operazionale ideale è
schematizzabile come in figura 1:

v+
+
vu

v- _

fig. 1

e dovrebbe realizzare una funzione del tipo

( )
= + - -
v A v v (1)
u

Idealmente si vorrebbe un amplificatore in grado di realizzare una pura operazione di
differenza, ossia con un CMRR = ¥ , il che significa una componente di guadagno di
modo comune praticamente trascurabile. In più, un’operazionale ideale, oltre ad avere
un guadagno molto elevato, tendente ad infinito, dovrà possedere un’impedenza di
ingresso infinita e una impedenza d’uscita uguale a zero, cioè:

= ¥
z
I
z = 0
O

Un’altra caratteristica, che vale in condizioni ideali, è la sua indipendenza dalla
frequenza, cioè la (1) vale indipendentemente dalla frequenza del segnale. Tutte
queste caratteristiche, che valgono sempre all’idealità, per certi range di tensione e
parametri possono essere ben approssimate e, dunque, essere ritenute vere,
138
semplificando così notevolmente la progettazione. Uno schema a blocchi per un
operazionale reale può essere il seguente:

Stadio Traslatore Stadio
Amplificatore
V V
IN u
di di di
differenziale
guadagno livello uscita

Lo stadio di guadagno è solitamente realizzato con una catena di amplificatori
(emettitore comune) e, assieme all’amplificatore differenziale, costituisce un blocco
utile ad elevare il guadagno. Il traslatore di livello serve ad aggiustare i livelli di
continua, ossia, se in ingresso si ha tensione nulla, si vuole che essa rimanga tale
anche in uscita, cioè il riferimento dovrà essere zero, qualora la tensione in ingresso
sia zero. Infine lo stadio d’uscita, che solitamente deve pilotare dei carichi, è costituito
praticamente da un amplificatore di “potenza” che dovrà fornire livelli di corrente e
potenza sufficientemente elevati da potersi interfacciare con il mondo esterno; in
generale tale blocco viene realizzato con un push-pull.
Un primo aspetto interessante è costituito dalla risposta in frequenza, alla quale si è
già accennato parlando di compensazione, al fine di raggiungere la stabilità. La
compensazione può anche essere inserita solo per migliorare la risposta di un
amplificatore e non necessariamente per motivi di stabilità. Si consideri un
amplificatore con funzione di trasferimento a tre poli a parte reale negativa (i risultati
che si otterranno saranno estendibili, con qualche considerazione ad amplificatori a
più poli):
A
A(s) = (cid:230) (cid:246) (cid:230) 0 (cid:246) (cid:230) (cid:246) con p1, p2, p3 ˛ R+
s s s
(cid:231) + (cid:247) (cid:231) + (cid:247) (cid:231) + (cid:247)
(cid:231) 1 (cid:247) (cid:231) 1 (cid:247) (cid:231) 1 (cid:247)
Ł p ł Ł p ł Ł p ł
1 2 3

sviluppando il denominatore si ottiene

A
A(s) = 0

1+a s+a s2 +a s3
1 2 3

in cui si è posto
1 1 1
= + +
a
1 p p p
1 2 3
1 1 1
= + +
a (2)
2 p p p p p p
1 2 1 3 2 3
1
=
a
3 p p p
1 2 3

Una situazione di particolare interesse pratico si ha in presenza del cosiddetto polo
dominante, cioè quando vale:
p << p < p (3)
1 2 3
139
se vale la (3), infatti, i coefficienti espressi nella (2) assumono la seguente forma

1 1
a @ (cid:222) p @
1 p 1 a
1 1
1 a a
a @ = 1 (cid:222) p @ 1
2 p p p 2 a
1 2 2 2
a a
a = 2 (cid:222) p @ 2
3 p 3 a
3 3

avendo potuto trascurare, dalla (3), p e p rispetto a p . La semplificazione introdotta
2 3 1
dal polo dominante risulta interessante specie se si tiene conto del fatto che è possibile
calcolare in modo esatto i coefficienti a e a attraverso il metodo delle costanti di
1 2
tempo. Questo, se vale l’ipotesi di polo dominante, consente di ricavare in modo
semplice il primo e il secondo polo della funzione di trasferimento del circuito in
esame. Tale metodo stabilisce che il coefficiente a può essere espresso nel seguente
1
modo:
(cid:229) M
a = R oC (4)
1 ii i
i=1

La (4) esprime la somma di costanti di tempo, a circuito aperto, associate alle varie
capacità e valutate calcolando la R , che è la resistenza vista dalla capacità C quando
ii i
tutte le altre capacità sono dei circuiti aperti. Si deve, tuttavia, sottolineare che ciò
vale per tutte le M capacità indipendenti, ossia quelle per cui la tensione ai capi è
realmente una variabile di stato (sono solo queste le capacità che fanno nascere un
polo nella funzione di trasferimento). Quindi, due capacità in parallelo (fig. 2.a) non
sono indipendenti, dal momento che, data la tensione ai capi dell’una (prima variabile
di stato), quella ai capi dell’altra è identica. Per tre capacità in loop, invece, (fig. 2.b)
fissata la tensione su due di esse la terza è automaticamente definita, quindi,
quest’ultima non è una variabile di stato. Analogamente succede per due capacità in
serie (fig. 2.c), perché , dal momento che possiedono la stessa carica, la tensione viene
automaticamente fissata e le variabili indipendenti non saranno, dunque, due ma una
soltanto.

a) b) c)
fig. 2

In tal modo, tramite il coefficiente a è possibile calcolare il polo dominante e, di
1
conseguenza, la frequenza di taglio del sistema, senza dover scrivere l’intera funzione
di trasferimento. Tale metodo, quindi, semplifica notevolmente le cose. Per ciò che
riguarda il coefficiente a , invece, esso può essere espresso nel seguente modo:
2
140
(cid:229) M (cid:229) M
a = R oC (cid:215) R i C (5)
2 ii i jj j
i=1 j=i+1

in cui il primo termine rappresenta, come per il coefficiente a , una somma di costanti
1
di tempo a circuito aperto, mentre il secondo termine rappresenta le costanti di tempo
in cortocircuito. In particolare, la R è la resistenza che si vede dalla capacità C
jj j
quando la i-esima capacità C è un cortocircuito e tutte le restanti capacità sono degli
i
aperti. La (5), grazie alla relazione di reciprocità, può essere scritta nel modo seguente:

R oC (cid:215) R i C = R jC (cid:215) R o C per i,j = 1,2,…,M
ii i jj j ii i jj j

che permette di calcolare il coefficiente a scegliendo la più comoda fra analisi diverse:
2
considerando, in un caso, le costanti di tempo relative alle capacità i-esime e, nell’altro
caso, considerando quelle relative alle capacità j-esime. Il coefficiente a , così calcolato,
2
assume un notevole significato nella verifica delle ipotesi di polo dominante; noto a ,
1
infatti, si dovrà calcolare anche a e, quindi, il polo p , per vedere se vale
2 2
effettivamente la (3) e, soprattutto, quanto buona è tale ipotesi. Il calcolo di a , a
2
differenza di quello di a , risulta spesso piuttosto lungo e noioso, anche se semplice e
1
meccanico. L’ipotesi di polo dominante può essere ritenuta valida e soddisfacente
quando la differenza tra il polo p e il polo p è dell’ordine delle due o tre ottave. In tal
1 2
caso, l’approssimazione ottenuta nel calcolo di p con il metodo delle costanti di tempo
1
è dell’ordine del 10%, commettendo, quindi, un errore relativamente piccolo.

4.1.1 Risposta in frequenza degli amplificatori

Quando si parla di amplificatori una delle non idealità più importanti di cui tenere
conto è, senza dubbio, quella della risposta in frequenza. Se si considerano, ad
esempio, parametri quali il guadagno, le resistenze di ingresso e di uscita
dell’amplificatore operazionale, solitamente, a patto di usare un numero sufficiente di
stadi, è possibile ottenere prestazioni molto vicine all’idealità; la cosa, invece, non è
più vera per quanto concerne la risposta frequenziale. Se da un lato, infatti, l’aumento
del numero di stadi avvicina all’idealità dal punto di vista delle resistenze, dall’altro
esso comporta un aumento del numero di poli, che limita la risposta in frequenza. La
non idealità dell’operazionale, dunque, è dovuta proprio al fatto che la banda di
risposta risulta finita, contrariamente a quanto si vorrebbe.
Si consideri un semplice amplificatore ad un solo polo, per il quale si ha

A
A(s) = 0 (1)
s
+
1
w
T

in cui w è la pulsazione di taglio (alla quale il guadagno si riduce di 3dB) del sistema
T
in esame. Si retroazioni, ora, tale amplificatore con una rete puramente resistiva B
(rete algebrica), come mostrato in figura 1:

141
+
A
_
B
fig. 1

La funzione di trasferimento del sistema risulta:

A
0
+
1 A B
A (s) = 0 (2)
R s
+
1 ( )
w 1+ A B
T 0

La (1) può essere riscritta nel seguente modo

AR
A (s) = 0
R s
+
1
wR
T

in cui A R rappresenta il guadagno in continua del sistema retroazionato ed w R la
0 T
pulsazione di taglio della sua funzione di trasferimento. Le espressioni di questi ultimi
due parametri sono:
(cid:236) A
(cid:239) AR = 0
(cid:237) 0 1+ A B
(3)
0
(cid:239) ( )
(cid:238) w R = w 1+ A B
T T 0

Come si può osservare, la retroazione ha portato ad un calo del guadagno, ma anche
ad un aumento della banda, come evidenziano rispettivamente la prima e la seconda
delle (3). Si ricorda, inoltre, che dalla (3) si deduce:

wRAR =w A =GBP
T 0 T 0

definito come Gain Bandwidth Product (prodotto guadagno larghezza di banda).
Tale fattore è fondamentale nei sistemi a polo dominante, in quanto essendo w ed A
T 0
fissati dall’amplificatore ed essendo il loro prodotto una costante, per intervenire sul
sistema complessivo si può agire su w R e A R, solo aumentando l’uno e diminuendo
T 0
l’altro o viceversa. Ovviamente, quanto migliore sarà l’amplificatore, tanto maggiore
sarà il GBP. Per trattare, ora, la stabilità del sistema di figura 1, si considera il
metodo del luogo delle radici . Come si può notare dalla funzione di trasferimento
espressa dalla (1), la posizione del polo sarà a -w , come viene mostrato in figura 2:
T
142
jw
x
-w s
T
fig. 2

E’ poi possibile tracciare il luogo delle radici in funzione del guadagno d’anello,
rappresentato in figura 2 dalla freccia in grassetto. Si osserva che, al crescere di tale
guadagno, il polo tende a -¥ , cioè tende ad assumere valori sempre più negativi,
cosicché il sistema non avrà problemi di stabilità. Si vuole, ora, prendere in esame un
amplificatore non invertente, il cui schema circuitale è quello di figura 3:

R
F

R
s

V
o

V
i

fig. 3

Nel caso ideale, non avendo l’amplificatore limiti di banda, si avrà:

V A 1 R
O = 0 @ = 1+ F
+
V 1 A B B R
i 0 S

essendo
R
B = S
+
R R
S F

Nel caso di un amplificatore reale, tenendo conto che il GBP è finito, risulta:

( )
+
GBP GBP 1 A B
w R = = 0 @ GBP (cid:215) B (4)
T AR A
0 0

avendo supposto A sufficientemente elevato. Dalla (4) risulta, quindi, evidente come il
0
sistema retroazionato abbia una pulsazione di taglio w R tanto maggiore quanto più è
T
grande B e, di conseguenza, quanto più piccolo è il guadagno del sistema stesso. Sarà,
allora, necessario trovare un compromesso tra guadagno e larghezza di banda.
Un caso più interessante è quello di un amplificatore a due poli, la cui funzione di
trasferimento è la seguente:

143
A A
A(s) = 0 = 0 (5)
1+a s +a s2 (cid:230) 1 1 (cid:246) s2
1 2 1+(cid:231)(cid:231) + (cid:247)(cid:247) s +
Ł w w ł w w
1 2 1 2

Nell’ipotesi di polo dominante, ossia
w << w
1 2

si può scrivere
1 a
w @ w @ 1
1 a 2 a
1 2

Se si retroaziona il sistema con la rete resistiva precedentemente utilizzata, si ottiene:

A
0 (1+ A B) AR
A (s) = 0 = 0
R (cid:230) 1 1 (cid:246) s 1 s2 1+aRs+aRs2
1+(cid:231)(cid:231) + (cid:247)(cid:247) + ( ) 1 2
Ł w w ł 1+ A B w w 1+ A B
1 2 0 1 2 0

Assumendo valida anche per il sistema retroazionato l’ipotesi di polo dominante si ha:

1 1 ( ) ( )
w R @ = 1+ A B = w 1+ A B
1 aR a 0 1 0
1 1

aR a
w R @ 1 = 1 @ w
2 aR a 2
2 2

Da ciò si deduce come l’ipotesi di polo dominante fatta per il sistema in catena aperta
non si rifletta necessariamente per il sistema retroazionato, infatti, per quest’ultimo
w R si trova nella stessa posizione di w mentre w R cresce all’aumentare del guadagno
2 2 1
avvicinandosi e sovrapponendosi, al limite, ad w R. Quindi l’assunzione w R<<w R non è
2 1 2
valida per il sistema retroazionato anche se w <<w per il sistema in catena aperta.
1 2
Anche per questo sistema si può studiare la stabilità attraverso il luogo delle radici:

w
j
-(w + w ) / 2
1 2
s
1
x x
w w s
- -
2 1
s
2
fig. 3

144
Come si evince dalla (5), i poli di tale sistema sono posti alle pulsazioni -w e -w e si
1 2
spostano sul piano complesso come indicato dalle frecce in grassetto di figura 3. Si può
osservare come, partendo da un sistema con poli reali, all’aumentare della retroazione
e, quindi, del guadagno, i poli convergano verso il punto medio e possano diventare
complessi coniugati (jw „ 0), influendo così sulla risposta del sistema. Dalla figura 3,
tuttavia, si può dedurre che un sistema a due poli è sempre stabile, in quanto i poli,
pur muovendosi, non potranno mai spostarsi nei quadranti s positivi.
Per un sistema a tre poli, infine, vedremo soltanto la stabilità tramite il luogo delle
radici:

jw
s
1
x x x
-w -w -w s
3 2 1
s
2

In questo caso specifico, all’aumentare della retroazione, i poli si muovono in due modi
distinti: il polo a pulsazione w tende a valori sempre più negativi, mantenendosi, però
3
reale, mentre i poli a pulsazione w e w tendono a diventare complessi coniugati,
1 2
disegnando una curva i cui rami attraversano anche il primo e quarto quadrante del
piano complesso. I poli, allora, potranno arrivare ad assumere parte reale positiva (s >
0), causando l’instabilità del sistema. A questo proposito, sarà necessario introdurre
una qualche compensazione, al fine di migliorare sia la stabilità che la risposta
dell’amplificatore.
Si consideri, a tale scopo, un sistema a due poli retroazionato con una rete puramente
resistiva, la cui funzione di trasferimento sarà:

A
0(1+ A B) AR
A (s) = 0 = 0 (6)
R (cid:230) 1 1 (cid:246) s 1 s2 s s2
1+(cid:231)(cid:231) + (cid:247)(cid:247) + ( ) 1+ +
Ł w w ł 1+ A B w w 1+ A B Qw w2
1 2 0 1 2 0 0 0

in cui si è posto
145
(cid:236) w = w w (1 + A B )
(cid:239) 0 1 2 0
(cid:237) w
(cid:239) Q = 0
(cid:238) w + w
1 2

La (6) può essere facilmente confrontata con la risposta del circuito (L-C-R) analizzato
nel paragrafo riguardante la progettazione dei filtri, ossia:

1 AR(s)
= =
H(s) (7)
s s2 AR
1+ + 0
Qw w2
0 0

in cui si è posto

(cid:236) 1
(cid:239) w = fi pulsazione di risonanza
(cid:239) 0 LC
(cid:237)
(cid:239) Q = w RC (oppure 1 ) fi fattore di merito o qualità
(cid:239)(cid:238) 0 w LG
0

Dalla (7) si nota che, a meno di una costante moltiplicativa (A R), le risposte
0
dell’amplificatore retroazionato e del filtro coincidono. Si ricorda, inoltre, che invece
del fattore di merito Q, spesso si usa il coefficiente di smorzamento K, definito come:

1
=
K
2Q

La (7) fa notare che la risposta ottenuta con un circuito in cui è presente un induttore
è simile a quella fornita da un amplificatore retroazionato che ha solo capacità; ciò
consente di sostituire eventuali induttanze ingombranti. Su tale considerazione si
basa il progetto dei filtri attivi, che hanno proprio la caratteristica di utilizzare
componenti attivi per la realizzazione di filtri compatti; in essi si impiegano, oltre agli
operazionali, capacità e resistenze, ottenendo lo stesso effetto, in termini di risposta, di
quello che si avrebbe con un filtro che comprende, invece, induttanze. Ciò è,
soprattutto, fondamentale qualora si vogliano progettare filtri di ordine superiore al
secondo e a frequenza relativamente bassa, dove gli induttori diventano
particolarmente ingombranti. Tali progetti verranno presi in esame e approfonditi nel
seguito. Si vuole, per il momento, analizzare la risposta del filtro in esame; in figura 4
se ne riporta il modulo della funzione di trasferimento:

146
|H|
curva a smorzamento nullo
K = 0, Q = ¥¥
ln w
0
0 ln w
K Q
fig. 4

Le curve più interne di figura 4 sottolineano, partendo dal centro verso l’esterno, un
andamento via via crescente al decrescere di K (o al crescere di Q). Una delle proprietà
fondamentali è data dalla condizione per cui:

1 1
> <
se K oppure Q (8)
2 2

la risposta di figura 4 non presenta picchi. Per K = 0 la risposta ha un picco ad ¥ , che
si riduce all’aumentare di K stesso; quando vale la (8), la risposta ha completamente
esaurito il suo picco. Si può, inoltre, analizzare il luogo delle radici parametrizzato in
Q:

jw
K=1
s K<1
Q=0.5 1
Q>0.5
x x
-w -w s
2 1
s
2
K>1
Q<0.5

L’andamento qualitativo della risposta temporale al gradino, infine, sarà quella di
figura 5:

147