Calcul de Wick en dimension infinie

0.19 MB·

by  Bernard Lascar

1
CALCUL DE WICK EN DIMENSION INFINIE
BERNARD LASCAR
Abstract. On prouve ici des r´esultat de bornes inf´erieures `a la
Melin-H¨ormander en grandes dimension par la m´ethode du calcul
de Wick.
3
1 Soit m R et k N, k 1, et Λ 1 le param`etre spectral; on note
0 ∈ ∈ ≥ ≥
2 Definition 1. Soit m,2k(Rn,Σ) la classedesop´erateurspseudo-diff´erentiels
N
n classiques de symboles p(x,ξ,Λ) qui ont la propri´et´e :
a
D
J x
P(x, ,Λ)u(x) =
3 Λ
n
(0.1) x+y Λdξ
] p( ,ξ,Λ)exp(iΛ(x y)ξ)u(y,Λ)dy ,
P
ZZ 2 − (cid:18) 2π (cid:19)
A
ou` u (Rn)
.
h ∈ S
t
a (0.2) p(x,ξ,Λ) Λmp (x,ξ)+...+Λm jp (x,ξ)+...
m − m j
m ∼ −
[ ou` pm−j ∈ S(1,Γ), avec Γ = |dX|2 et pm−j(X) = O(d(Σ2k−2j)+)(X).
Avec d la distance euclidienne `a une sous-vari´et´e lisse symplectique
2 Σ
v de Rn Rn, de codimension 2d et donc d n.
⊕ ≤
9
2 Une condition comme (2.1) est invariante par transformation canon-
3 ique et donc on peut supposer que
5
. Σ = (x,ξ);x = ξ = 0 , (x ,ξ ) Rd Rd.
2 ′′ ′′ ′′ ′′
{ } ∈ ⊕
1
On change par souci de commodit´e les notations et X” devient X
2
1 Rd Rd tandis que la variable le long de Σ, X Rn d Rn d es∈t
n − −
v: not´⊕ee Xn. ∈ ⊕
i On suppose :
X
r Hypoth`ese 1. i) P = P, p d2k.
a ∗ m ≃ Σ
ii) En tout point ρ Σ, le symbole de Wick du localis´e P est un
ρ
∈
symbole uniform´ement avec (ρ,Λ,d) elliptique dans S(Λm k(1+
−
|z])2k,G) ou` G = (1|+dzz|2)2
| |
Th´eor`eme 0.1. Sous les hypoth`eses (H ), il existe deux constantes
1
C > 0 et C > 0 telles que :
0 1
(0.3) (Pu,u) C Λm k 1 u 2, pour u (Rn)
0 − −
≥ − k k ∈ S
uniform´ement pour dΛ 1 C et (n d) C 1,
− ≥ 1 − ≤ 1−
ou bien-suˆr si d est fixe et Λ .
→ ∞
1
avec une annexe de R. Lascar [email protected]
1
Remarque 1. Quand k = 1 il s’agit du th´eor`eme [3].
On effectue comme dans [5] une dilatation pr`es des caract´eristiques,
(0.4) u(x,x ) v(y,y ,Λ) = u(Λ 1/2y,y )Λ d/4, dans le domaine
n n − n −
→
E = (Y,Y ); Y εΛ1/2,Y V(ρ ) , (Y,Y ) Rn Rn
ε n n 0 n
{ | | ≤ ∈ } ∈ ⊕
En effet, lorsqu’on change x en Λ1/2x, ξ est chang´e en Λ 1/2ξ mais
−
comme on quantifie le nouvel op´erateur pseudo-diff´erentiel en Weyl-
(1,Λ), c’est que ξ devient Λ1/2ξ, on retrouve donc une bonne ho-
mog´en´eit´e, et c’est le symbole de Weyl qui est transform´e exactement.
1. L’argument de Melin-Ho¨rmander en dimension n.
x+y
(1.1) (Qv)(y,y ,Λ) = q( ,η,Λ)v(y,Λ)
n
ZZ 2
n d d
Λ − dydη
exp[i(x y)η+Λ(x y )η ] dy dη
n n n n n
− − (cid:18)2π(cid:19) (cid:18) 2π (cid:19)
ou` q(Y,Y ,Λ) = p(Λ 1/2Y,Y ,Λ).
n − n
On rappelle que L. Boutet de Monvel [1] a introduit pour m,k R la
∈
classe :
(1.2) S˜m,k(Rn,Σ) =
{f˜∈ C∞(Rn);|DXp DXqnf˜X,Xn)| ≤ ΛmdΣk−p(X,Xn)}
avec d (X,X ) = Λ 1/2 + X .
Σ n −
| |
La m´etrique correspondante [2] est
dX 2
(1.3) g˜ = | | + dX 2
X d2(X) | n|
Σ
Le poids est m˜(X) = Λmdk(X). Donc la dilatation produite en (4.8)
Σ
produitlaclasseS(Λm k/2d(Y)k,g)pourf(Y,Y ) = f˜(Λ 1/2Y,Y )avec
− n − n
dY 2
(1.4) d (Y) = (a2 + Y 2)1/2, et g = | | + dY 2, avec a = 1.
a | | Y d2(Y) | n|
a
On voit facilement que :
d (X +Y)
(1.5) d (X +Y) d (X) Y , a 1 g (Y)1/2
a a a,X
| − | ≤ | | | d (X) − | ≤
a
Donc les m´etriques g sont lentes d`es que a > 0.
a
Puis :
1 1
(1.6) 2(1+g (Y))
d2(X) ≤ d2(X +Y) a,X
a a
2
La temp´erance r´esulte donc de la lenteur et de h 1 qui est assur´ee
a
≤
d`es que a 1.
≥
(1.7) h (Y) = max(d 2,Λ 1)
a −a −
ω = σ +Λ 2σ , et donc
(1.8) Y − Yn
gω = d2 dY 2 +Λ 2 dY 2 min(d 4,Λ 2)g
a a| | − | n| ≥ −a − a
Il faut donc que d (Y) 1, ce qui donne bien a 1.
a
≥ ≥
˜
Une autre remarque est que si f(X,X ) S(1,Γ) alors f(Y,Y )
n n
∈ ∈
S(1,Λ 1 dY 2 + dY 2), il faut donc imposer aussi la condition Λ 1
− n −
| | | | ≤
C d 2, soit aussi , ce qui impose de se limiter `a une zone comme E et
1 −a C
de prendre aussi 1 a CΛ1/2. Alors f˜ S(1,Γ) f S(1,g), au
≤ ≤ ∈ ⇒ ∈
moins dans E . Et donc h d 2.
C a ∼ −a
Le calcul mixte d de classes S(m,g )#S(mg ) S(mm,g )
a ′ b ′ min(a,b)
⊂
et h d 1d 1.
a,b ∼ −a −b
˜
Si on part de f S(m˜,g ), alors f S(m,g ), avec m(Y) =
∈ ˜b ∈ Λ1/2˜b
m˜(Λ 1/2Y).
−
(1.9) f˜ S(Λmdβ,g ) f S(Λm β/2dβ ,g )
∈ µ µ ⇒ ∈ − µΛ1/2 Λ1/2µ
Enparticuliersif˜∈ Sα = S(hXiα, |dXX|22),alorsf ∈ S(dαΛ1/2Λ−α/2,gΛ1/2).
Ce qui fait que si f˜ (Rd Rd), f h i S(dα Λ α/2,g ).
∈ S ⊕ ∈ α R− Λ1/2 − Λ1/2
Comme on peut toujours partir d’unTpro∈bl`eme microlocalis´e au sens
usuel pr`es de Σ on sera toujours pour q(Y,Y ,Λ) dans la classe :
n
(1.10)
q(Y,Y ,Λ) S(dα Λm α/2,g ) d=ef m(Rn,Σ) avec µ = 1.
n ∈ µΛ1/2 − µΛ1/2 Tµ
α\R−
∈
Onchoisiraconvenablement µ > 0etunepartitiondel’unit´e(χ ) ,
µ µ N
∈
χ S(1,g ), telle que
µ µ
∈
χ2(X) = ζ (X), ou` ζ C (Rn Rn),
µ 0 0 ∈ 0∞ ⊕
(1.11) µXN
∈
ζ 1 pr`es de (0,ρ ) et est support´ee pr`es de ce mˆeme point.
0 0
≡
On aura donc remplac´e q(Y,Y ,Λ) par q = χ q avec χ (Y,Y ) =
n ν Λ,µ Λ,µ n
χ2(Λ 1/2Y,Y ) ou` les χ sont donn´ees par (1.11). Le nouveau grand
µ − n µ
param`etre de deuxi`eme microlocalisation est de la forme ν = Λ1/2µ,
avec ν grand et µ = Λ 1/2ν petit.
−
Si ε 1, on peut former le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre N
≤
1
(1.12) f(Y,Y ) = Dj f(0,Y ) Yj +R ((f)Y,Y )
n j! Y n N n
X
0 j N 1
≤ ≤ −
1 (1 τ)N 1
avec R (f)(Y,Y ) = − − DNf(τY,Y )YNdτ.
N n Z (N 1)! Y n
0 −
3
˜
Comme Y S(d ,g ) a; et que si f S(1,Γ) alors
a a
∈ ∀ ∈
(1.13) C > 0 dans E , R (f)(Y,Y ) S(Λ N/2dN,g ).
∀ C N n ∈ − a a
Si maintenant f˜ m,2k, alors R (f)(Y,Y ) S(Λm N/2dN,g ) et
∈ N N n ∈ − a a
Dj f(0,Y ) = 0 pour j 2k 1, donc
Y n ≤ −
(1.14) f(Y,Y ) = R (f)(0,Y )+R (f)(Y,Y )
n j n N n
X
2k j N 1
≤ ≤ −
Lesconditionsd CΛ1/2 entraˆınentalorsquef(Y,Y ) S(Λm k/2dk,g )
a ≤ n ∈ − a a
et R (f)(Y,Y ) S(Λm N/2dN,g ) pour tout N et R (f)(0,Y ) = 0
N n ∈ − a a j n
pour j < 2k.
(1.15)
q(Y,Y ) =  R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y )+
n j m−l n Nl m−l n
X X
0≤l≤k2(k−l)≤j≤Nl−1 
q +...+q +...
m k 1 m k M
− − − −
Si on choisit N = 2(k l)+1 dans (4.17), on obtient : On a donc
l
−
Proposition 1.1. Si P m,2k alors
∈ N
(1.16) q(Y,Y ) = R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y )
n 2(k l) m l n 2(k l)+1 m l n
− − − −
0Xl k(cid:0) (cid:1)
≤≤
+q +...+q +...
m k 1 m k M
− − − −
et donc
(1.17) q(Y,Y ) =
n
R (q )(0,Y )+R (q )(Y,Y ) +S(Λm k 1/2d2k+1,g )
2(k l) m l n 2(k l)+1 m l n − − a a
− − − −
0Xl k(cid:0) (cid:1)
≤≤
ou` a est arbitraire pourvu que 1 a Λ1/2.
≤ ≤
Le Corollaire de (4.19) `a l’aide des arguments de seconde microlocal-
isation ´evoqu´es plus hauts conduisent au th´eor`eme optimal [5] suivant:
Th´eor`eme 1.1. Sous les hypoth`eses :
Hypoth`ese 2. i) P = P, p d2k.
∗ m ≃ Σ
ii) En tout point ρ Σ, l’op´erateur localis´e P 0 sur L2.
ρ
∈ ≥
on d´eduit : pour tout n N, il existe C > 0 tel que
n
∈
(1.18) (Pu,u) C Λm k 1/2 u 2 u (Rn).
n − −
≥ − k k ∀ ∈ S
4
2. Espace de Fock et calcul de Toeplitz
Ontravailledirectement surl’espace deFockcommutatif d’unespace
de Hilbert complexe H de dimension quelconque, dont on supposera
qu’il est le complexifi´e d’un espace de Hilbert r´eel H s´eparable.
1
On note z la norme de H et pour k N, l’espace W = H, et
k k
| | ∈ ⊗
V le sous-espace engendr´e par les tenseurs sym´etriques, l’op´erateur de
k
sym´etrisation total op`ere bien de W W dans V est a bien pour
k l k+l
⊗
norme 1.
Si n = dimH il est clair que dimV = (n+k)! = (Nk) quand n
k n!k! O →
. Donc plus la dimension N augmente plus V verra sa dimension
k
∞
augment´ee avec k.
L’espace de Fock F(H) = V avec la convention de somme hilber-
k k
⊕
tienne :
zα
(2.1) Φ = Φ , Φ V Φ (z) = Φ
k k ∈ k k αα!1/2
X X
k α=k
| |
et donc Φ 2 = Φ 2 = Φ(z) 2dν (z)
α ′
k k | | Z | |
Xα H
Dans (2.1), ν est la mesure gaussienne sur H de variance 1/2, ν =
′ ′
exp( z 2)L(dz) quand dimH = n.
−| | πn
Donc F(H) = L2(H,ν ) , ou` est l’espace des fonctions enti`eres,
′
∩E E
avec juste une convention `a expliquer quand dimH = car H est
∞
de mesure nulle dans L2(H,ν ) et donc ne peut avoir v´eritablement de
′
fonctions continues et enti`eres les simples polynoˆmes comme z 2k ´etant
| |
presque partout infinis d`es que k 1 ce qui est la source v´eritable des
≥
infinis de renormalizations.
Il y a bien un projecteur orthogonal de L2(H,ν ) sur F(H) not´e par
′
π donn´e par la formule de la TFBI [7] :
(2.2) πf(z) = f(w,w)exp(zw)dν (w);
′
Z
H
π(f) = f si et seulement si f est holomorphe
e = exp(zw) est bien pour z H est dans L2 et donc la` il n’y a plus
z ∈ w
d’ambiguit´e de diff´erentiabilit´e. e est l’´etat coh´erent en z.
z
La` c’est purement L2 car une difficult´e connue (calcul de Malliavin
par exemple) est que π n’a plus de raisons d’op´erer dans Lp. Lp pour
p = 2 est donc une autre th´eorie.
6
On peut d´efinir des op´erateurs non triviaux dans F par la formule :
(2.3) A(Φ) = π(aanti wickΦ) ou` aanti wick L
− − ∈ ∞ν′
kAk ≤ kaanti−wickkL∞ν′ avec une in´egalit´e stricte en g´en´eral car F
n’engendre pas L2.
5
Nous dirons que aanti wick est l’anti-symbole de Wick de A, il est
−
bien suˆr uniquement d´efini par (4.8) on note alors A = (aanti wick)w et
−
on d´efinit le symbole de Wick
awick(z,z) = π˜(aanti wick)(z,z).
−
π˜ est encore une TFBI `a deux variables cette fois que l’on restreint a`
la diagonale (w,z) H H;w = z , awick(z,z) est lui bi-holomorphe
{ ∈ × }
et dans L2(H,ν ) L2(H,ν ) , cette fois est l’espace des fonctions
′ ′ 1 1
⊗ ∩E E
bi-holomorphes en (z,z) et on a aussi l’autre ´egalit´e :
(2.4) awick(z,w) 2dν (z)dν (w) = aanti wick(w,w) 2dν (w).
′ ′ − ′
Z | | Z | |
H H H
×
Soit le polynoˆme d’Hermite obtenu par la formule :
k,l
H
zkzl
(2.5) exp( z +w 2) = ( 1)k+l (w,w) exp( w 2)
k,l
−| | − H k!l! −| |
kX,l N
∈
Les polynoˆmes d’Hermite obtenus par (4.10) sont deux a` deux or-
thogonaux dans L2(H,ν ) et les H = (k!l!) 1/2 sont la base or-
′ k,l k,l −
H
thonorm´ee de L2(H,ν ) obtenue par orthonormalisation des zkzl. Il
′
r´esulte alors de (4.10) que
(2.6) π˜(f)(z,z) = exp( z 2) f(w,w)exp(zw +zw)dν (w) =
′
−| | Z
zlzk
( 1)k+l f(w,w) (w,w) dν (w)
k,l ′
− Z H k!l!
X
k,l
zkzl
= ( 1)k+lf ou` f = (f,H )
− k,l(k!l!)1/2 k,l k,l
X
k,l
Ce qui prouve (4.9) et aussi que :
1
(2.7) π˜(f)(z,z) = exp(∂ ∂ )f(z,z) = ∂θ∂θf(z,z)
z z θ! z z
θXNN
∈
La formule (4.12) s’inverse par :
1
(2.8) f(z,z) = exp( ∂ ∂ )f(z,z) = ( 1)θ ∂θ∂θπ˜(f)(z,z)
− z z − | |θ! z z
θXNN
∈
Les formules (4.11) et (4.12), montre que si l’op´eration f π˜(f) ne
→
pose pas de probl`eme, l’op´eration inverse ne se produit pas dans les
distributions temp´er´ees.
Le calcul du compos´e C de B et A; ou` B et A sont des op´erateurs
ayantpouranti-symbolesdeWickrespectivement lesfonctionsbanti wick
−
6
et aanti wick, au moins formellement C est lui donn´e par la formule :
−
(2.9)
( 1)j
canti wick(z,z) = − tr(Djbanti wick) (Djaanti wick)(z,z)).
− j! z − ⊗ z −
Xj N
∈
La formule (4.14) est exacte quand aanti wick ou banti wick est un
− −
polynoˆme.
3. Op´erateurs de cr´eation et d’annihilation dans l’espace
de Fock.
Avant de regarder des op´erateurs de Toeplitz abstraits on consid`ere
les annihilateurs a = Dk et les cr´eateurs a = zj. On d´efinit un espace
k z ∗j
de Sobolev
Definition 2. Soit s R, l’espace de Sobolev Fs(H) est l’ensemble
∈
des Φ(z) telles que :
∈ E
zα
Φ = Φ , Φ V ,Φ (z) = Φ
k k k k α
∈ α!1/2
X X
(3.1) k α=k
| |
et Φ 2 = Φ 2(1+k)s <
k ks | k| ∞
X
k
On constate que
Proposition 3.1. a (Fs,Fs k V ) et a sup (1 + q
k)s k(1+q) s q! .k ∈ L − ⊗ k k kk ≤ q≥k −
− − (q k)!k!
−
Donc par passage `a l’adjoint :
Proposition 3.2. a (Fs V ,Fs k) et a sup (1 + q
k)s k(1+q) s q! .∗k ∈ L ⊗ k − k ∗kk ≤ q≥k −
− − (q k)!k!
−
On peut construire des oscillateurs harmoniques d’ordre m par
A = a a a , a (V ,V )
∗k k,l l k,l ∈ L l k
(3.2) k+Xl m
≤
et ainsi A (Fs,Fs m) pour tout s R.
−
∈ L ∈
Il est facile de voir que l’on constitue ainsi une alg`ebre d’op´erateurs
diff´erentiels `a coefficients polynomiaux et que les symboles principaux
(3.3) a (z,z) = trz k a z l
m ⊗ k,l ⊗
⊗
X
k+l=m
se multiplient, et que A a pour anti symbole de Wick la fonction
∗
aanti wick(z,z).
−
Quand dimH = n, l’anti symbole de Wick de A(z,D ) est donn´e
z
par la formule :
( 1)τ
(3.4) aanti wick(z,z) = − tr DτDτawick(z,z).
− τ! τ z z
X
k+l m,τ min(k,l)
≤ ≤ 7
Il r´esulte de (4.7) = que pour 0 p k et 0 q l
≤ ≤ ≤ ≤
(3.5) kDzpDzq(ak,l(zk,zl))kL(Vp,Vq∗) ≤ C|z|k+l−p−q
DτDτA(z,z) (V ,V ), la dimension de V ´etant dimV = (n+τ)! =
z z ∈ L τ τ∗ τ τ n!τ!
(nτ),
O
(3.6) trDτDτA(z,z) = ( z k+l 2τnτ).
z z O | | −
Remarque 2. Quand k = 1 et l = 1, c’est l’oscillateur harmonique; il
y a deux termes (az,z), a (H) se comporte comme z 2 quand a est
∈ L | |
inversible positif, et a donc une norme L1 ´egale `a n, le deuxi`eme terme
loc
est tra n; ils ne se compensent pas, mˆeme en moyenne quadratique
≃
puisque la norme L2 vaut :
(3.7)
n n
(az,z) tra) 2dν (z) = λ H 2dν (z) = λ2 n a 2
Z | − | ′ Z | j (j),(j)| ′ j ≥ k k
H H Xj=1 Xj=1
4. Calcul symbolique de Toeplitz
Soit θ C soit Nθ l’op´erateur d’anti-Wick nθ = ( z 2 + n)θ2
S((n1/2 +∈z )Rθ,G)). | | ∈
| |
Onintroduitdonclatranslationsymplectiqueunitaire,τ estl’op´erateur
Y
:
1
(4.1) τ = (a )anti wik ou` a (Z,Z) = exp(i(YZ +YZ)+ Y 2)
Y Y − Y
2| |
Et donc :
(4.2) τ τ = τ exp( iσ(Y ,Y ))
Y1 ◦ Y2 Y1+Y2 − 1 2
lorsqu’on identifie Y = (y +iη) Cn avec Y = (y,η) Rn Rn.
∈ ∈ ⊕
Soit
1
(4.3) fanti wick(Z,Z) = exp(i(YZ +ZY)+ Y 2)m(Y)dY
−
Z 2| |
Alors
(4.4)
1
F = (fanti wick)wick = τ m(Y)dY = τ m˜(Y)exp( Y 2)(2π) ndY
− Y Y −
Z Z −2| |
puisqu’on posera
1
(4.5) m˜(Y) = exp( Y 2)m(Y)(2π)n
2| |
avecunefonctionm(Y) L 1(Rn Rn),lasuperpositionF desτ m(Y)dY
Y
∈ ⊕
donne un op´erateur
F = τ m(Y)dY de norme 1
Y
Z ≤
(4.6)
d`es que m(Y) dY 1 ou encore si m˜ L∞ 1
Z | | ≤ k k ≤
8
Composant deux op´erateurs donn´es par les formules (4.6) et relatifs a`
deuxpoidsm etm int´egrablesonobtientparcompositionl’op´erateur:
1 2
(4.7)
F = F F = τ exp( iσ(Y ,Y ))m (Y )m (Y )dY dY
3 1 ◦ 2 ZZ Y1+Y2 − 1 2 1 1 2 2 1 2
Au moins formellement
(4.8) F = ((f )anti wick)wick
3 3 −
1
ou` f (Z,Z) = exp(i((Y +Y )Z +(Y +Y )Z)+ Y +Y 2)
3 1 2 1 2 1 2
ZZ 2| |
exp(( iσ(Y ,Y ))m (Y )m (Y )dY dY
1 2 1 1 2 2 1 2
−
On ´ecrit l’int´egrale (4.8) sous la forme :
1
(4.9) f (Z,Z) = exp(i(Y Z +Y Z)+ Y 2)dY
3 3 3 3 3
Z 2| |
1 1
m ( Y +Y ))exp(iσ((Y ,Y ))m ( Y Y ))dY .
1 3 4 3 4 2 3 4 4
Z 2 2 −
avec Y = Y +Y et Y = 1(Y Y ), si
3 1 2 4 2 1 − 2
1 1
(4.10) m (Y ) = m ( Y +Y )m ( Y Y )exp(iσ(Y ,Y ))dY
3 3 1 3 4 2 3 4 3 4 4
Z 2 2 −
Pour monter que l’int´egrale (4.10) converge vers vers une fonction
temp´er´eeenexp 1 Y 2m (Y )onabesoind’extension danslecomplexe,
on revient donc `a2|la3|not3atio3n de Y = (y,η) Rn Rn, et on fait des
prolongements dans Cn de y et η. ∈ ⊕
On d´eforme donc simplement le contour d’int´egration de
On suppose que
i) La fonction m˜(y,η) se prolonge en une fonction holomorphe et
born´ee dans le domaine de Cn Cn :
⊕
= (y,η), I(y,η) < (θ2 + R(y,η) 2)1/2
θ
(4.11) D { | | | | }
pour un nombre positif θ `a pr´eciser.
Soit Γ le contour d’int´egration
Y3,ε
(4.12) y˜ = y +iεη ,η˜ = η iεy
4 4 3 4 4 3
−
Les fonctions m˜ (1Y Y )) sont bien holomorphes dans le domaine de
j 2 3± 4
d´eformation de contours si ε 1.
| | ≤ 2
9
Sur ce contour les exponentielles de (4.11) deviennent oscillantes et
on a :
1 1
(4.13) m˜(Y ) = exp( Y 2) m˜ ( Y +(y˜ iεη ,η˜ +iεy ))
3 3 1 3 4 3 4 3
4| | Z 2 −
1
m˜ ( Y (y˜ iεη ,η˜ +εy ))
2 3 4 3 4 3
2 − −
exp[ (y˜2 +η˜2))+ε2(y2 +η2)+i2ε(y˜ η η˜ y )]
− 4 4 3 3 4 3 − 4 3
exp[i(y˜ η η˜ y )+ε(η2 +y2]2 nπ ndy˜ dη˜
4 3 − 4 3 3 3 − − 4 4
Le choix de ε = 1 est optimal et donc :
−2
(4.14) m˜ (Y ) =
3 3
1 1 1 1 1 1
m˜ ( Y +(y˜ +i η ,η˜ i y ))m˜ ( Y (y˜ +i η ,η˜ i y ))
1 3 4 3 4 3 2 3 4 3 4 3
Z 2 2 − 2 2 − 2 − 2
2 nπ nexp [y˜2 +η˜2]dy˜ dη˜
− − − 4 4 4 4
Si on se contente d’un embryon de calcul symbolique a` savoir que
le compos´e de deux antiwick est modulo un op´erateur compact un
op´erateur d’antiwick on a `a priori besoin de beaucoup moins.
On ´ecrit donc :
1
(4.15) exp(iσ((Y ,Y )) = 1+iσ(Y ,Y ) exp(iτσ((Y ,Y ))dτ
3 4 3 4 3 4
Z
0
Ce qui revient `a changer dans le reste int´egral de (4.15); le premier
terme de (4.15) donne F (Z,Z)F (Z,Z) le reste int´egral domine un
1 2
op´erateur born´e par :
(4.16) R
(Fs,Fs+1)
k kL ≤
C ( m + m )(Y)dY ( m + m (Y))dY
Y 1 1 Y 2 2
(cid:18)Z |∇ | | | (cid:19)(cid:18)Z |∇ | | | (cid:19)
En effet appliquer Fs dans Fs+j consiste `a ´etudier les normes dans
(Bs) des op´erateurs D l B = (Z⊗lF(Z,Z)) qui correspondent
k · kL Z ◦
aux fonctions m (Y) = (i∂ Y )lm(Y); ceci pour 0 l j.
l Y − 2 ≤ ≤
Corollaire 1. Si N = (n+ z 2)α)anti wick, alors
α −
| |
(4.17) N #N = N +R R (Bs,Bs R(α+β) 1).
α β α+β − −
∈ L
On se ram`ene en effet aux cas ou` Rα et Rβ < 0 et on ´ecrit
(4.18) N (Z,Z) =
α
−
dt Y 2 dY
∞exp( (1+n)t)tαexpi(YZ +YZ) exp( | | )
ZZ − Γ(α) − t πntn
0
10