Table Of Contentpaolo baldi
calcolo
delle probabilità
e statistica
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Il testo è stato composto dall'autore in TEX
Capo redattore: Massimo Esposti
Redattore: Chiara Tartara
Hanno collaborato a questo volume:
Grafica di copertina: Achilli & Piazza e Associati
Stampa: Arti Grafiche Battaia snc, Rozzano (MI)
ISBN 88-386-0693-5
2= edizione aprile 1993
Printed in Italy
-156i890GBTLLC9E
Indice
Introduzione
Vll
1 Spazi di probabilità
1.1 Fenomeni deterministici e casuali 1
1.2 Spazi di probabilità 2
1.3 Spazi di probabilità uniformi 6
1.4 Proprietà degli spazi di probabilità 7
1.5 Probabilità condizionale, indipendenza 10
1.6 Calcolo combinatorio 15
Esercizi 18
2 Variabili aleatorie discrete
2.1 Variabili aleatorie e loro distribuzioni 21
2.2 Variabili aleatorie discrete 23
2.3 Leggi congiunte, indipendenza 34
2.4 Calcoli con densità 41
2.5 Speranza matematica 47
2.6 Momenti, varianza, covarianza 52
*2.7 Funzioni generatrici 59
*2.8 Somme aleatorie 66
Esercizi 69
3 Variabili aleatorie continue
3.1 Definizioni 73
3.2 Variabili aleatorie assolutamente continue 77
3.3 Densità congiunte, indipendenza 79
3.4 Calcolo di leggi 91
3.5 Leggi normali 97
3.6 Leggi gamma 99
3.7 Speranza matematica, momenti 105
3.8 Speranza condizionale 111
3.9 Funzioni caratteristiche 114
3.10 Generatori aleatori, simulazione 120
3.11 Leggi normali multivariate 122
Esercizi 126
v1 Indice
4 Convergenza e approssimazione
4.1 La legge dei grandi numeri 131
4.2 Convergenza in legge . 135
4.3 Il Teorema Limite Centrale 138
4.4 Approssimazione normale 140
Esercizi 143
5 Catene di Markov
5.1 Definizione e generalità 147
5.2 Calcolo delle leggi congiunte 149
5.3 Classificazione degli stati 152
5.4 Problemi di àssorbimento 155
5.5 Probabilità invarianti 162
5.6 L'algoritmo di Metropolis, simulated annealing 166
5.7 Stati numerabili 169
5.8 Stati numerabili: ricorrenza e transitorietà 175
5.9 Esempi: file d'attesa 181
Esercizi 184
6 Statistica Matematica
6 .1 Modelli statistici 189
*6.2 Stimatori di varianza minima 195
*6.3 Stimatori di massima verosimiglianza 198
*6.4 Stimatori di Bayes 200
6.5 Test 205
6.6 Stima e test per campioni gaussiani 207
6.7 Il test del x2 215
6.8 Un esempio di analisi statistica 217
6.9 Regressione linea.re 220
6.10 Il teorema di Cochran 229
6.11 Regressione multipla 235
6.12 Regressione lineare: predizione 243
6.13 Regressione lineare: l'analisi del modello 248
Esercizi 259
Soluzioni 263
Tavole numeriche 275
Indice Analitico 279
Introduzione
Negli ultimi anni è aumentata la richiesta di insegnamenti di Probabilità e
Statistica in corsi di laurea diversi da quello di Matematica.
Molti di questi hanno in comune due esigenze: la prima è la necessità di
servirsi -dei soli strumenti matematici del biennio d'Ingegneria. La seconda è
di mettere l'accento su come si usano i risultati teorici per la risoluzione di
problemi concreti, piuttosto che sull'approfondimento logico della teoria, che è
invece l'atteggiamento tipico del corso di laurea in Matematica.
Questo libro si avvale dell'esperienza di alcuni anni nell'insegnamento di
Calcolo delle Probabilità e Statistica ( CPS nel gergo degli studenti) per il
corso di Laurea in Scienza dell'Informazione, ma può probabilmente essere
usato anche per altri corsi ( specialmente nella Facoltà d'Ingegneria, oltre a
quelli dei futuri corsi di diploma) che hanno le stesse esigenze.
* * *
Lo scopo di questi insegnamenti cosiddeùf·•di servizio" è di mettere effet
tivamente gli studenti in grado di affrontare i problemi di Calcolo delle Pro
babilità e Statistica che incontreranno nel prosieguo del corso di Laurea in cui
sono impegna.ti. Ciò implica la necessità di giungere, in un tempo limitato, a
svolgere temi relativamente avanzati, e dunque il sacrificio di altri argomenti,
pure interessanti. Per questo motivo è stata fatta la scelta di limitare a pochi
accenni sbrigativi le questioni rituali dei fondamenti e dell'uso della teoria della
misura.
I primi 5 capitoli (tranne forse i paragrafi 3.11, 5.7 e 5.8) svolgono un
programma adeguato per un corso di 40 ore, specialmente se parte degli esempi
sono trattati in un corso di esercitazioni. Il resto del materiale può essere
utilizzato per un corso più lungo.
Il paragrafo 3.11 (peraltro importante in sè) e le parti scritte in carattere più
piccolo sono indispensabili solo se si affrontano le tematiche legate al teorema
di Cochran (paragrafo 6.10).
Anche i paragrafi che sono segnati nell'indice con un asterisco non sono
indispensabili alla comprensione del seguito e possono essere evitati da un
viii Introduzione
docente che desideri guadagnare tempo per sviluppa.re altri argomenti. Inoltre,
volendo, il capitolo 5 (Catene di Markov) può essere affrontato subito dopo il
capitolo 2.
* * *
I
L'uso dei calcolatori nelle applicazioni della matematica ha avuto, negli
ultimi vent'anni, un grande impulso anche per il Calcolo delle Probabilità e
la Statistica e di ciò si è avuto un riflesso anche nell'insegnamento.
Da una parte infatti hanno assunto un certo rilievo argomenti come la
generazione di numeri a caso e la costruzione di algoritmi di simulazione; in
questo testo alcuni spazi sono stati riservati a queste tematiche, che sono spesso
collegate a interessanti sviluppi teorici.
Dall'altra. l'uso di software specifici e facilmente accessibili permette ora.
allo studente di cimenta.re la. propria. formazione in veri problemi di statistica.,
resi ardui in altri tempi dalla presenza di lunghi, e poco significativi, calcoli
·numerici e dalla difficoltà di accesso ai metodi grafici. Questi strumenti di ela
borazione statistica hanno un ruolo importante nel capitolo 6 nel trattamento
degli esempi. ~-
* *' *
Desidero ringraziare tutti i colleghi che con i loro consigli o con la. loro
costru.ttiva disapprovazione hanno contribuito alla messa a punto di queste pa
gine. In particolare Alberto Frigerio, Giorgio Letta., Federico Marchetti, Mauro
Piccioni, Eugenio Regazzini e Marta Sa.nz.
Pa.olo Ba.Idi
.r-.-Jarz1o9 93
Questo libro è dedicato a Alberto Fr-iger-io
1
Spazi di probabilità
1.1 Fenomeni deterministici e casuali
Nei problemi di predizione si incontrano due tipi di situazioni.
Se una pallina cade siamo in grado di dire istante per istante quale sarà. la
sua posizione e, più in generale, dato un sistema meccanico è sempre possibile
teoricamente, se si conoscono le condizioni iniziali, risolvere le equazioni del
moto e dire quale sarà. lo stato del sistema ad un assegnato tempo t.
S_ei _nveç~v _iene lanciata 1:tfi-a.tQ_onetnao n c'è modo di prevedere su quale
faccia cadr_à, il che si esprime dicendo che questo esperimento è aleatorio ( o
casuale). Ciò però non significa che in un esperimento casuale non si possa
dire niente del risultato: se si estrae una pallina da un 'urna contenente 999
palline bianche e 1 rossa, è chiaro che ci aspettiamo di ottenere come risultato
una pallina bianca e che considereremo l'estrazione della pallina rossa come un
fatto piuttosto eccezionale.
Nei due esempi che seguono vedremo qual è la struttura tipica di un feno
meno casuale.
Esempio 1.1 Un'urna contiene sei palline numerate da 1 a 6, peraltro iden
tiche. Una pallina viene estratta a caso e se ne guarda il numero. I possibili
risultati di questa operazione sono i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dire qual è la
probabilità di ottenere 1, ad esempio, significa dare una valutazione di quanto
facilmente il risultato possa essere 1. Talvolta però si è interessati alla probabi
lità di eventi più complessi, come la probabilità di ottenere un numero dispari
n =
oppure un numero più piccolo(::;) di 4. Se indichiamo con {1,2,3,4,5,6}
l'insieme dei possibili risultati, possiamo far corrispondere ad ogni evento un
sottoinsieme di n. Ad esempio l'evento "esce un numero dispari" corrisponderà
al sottoinsieme {1,3,5} mentre l'evento "esce un numero::; 4" corrisponderà.
n
al sottoinsieme {1, 2, 3,4}. Questa identificazione tra eventi e sottoinsiemi di
permette di trasportare agli eventi le operazioni di U, n e passaggio al comple
mentare. Il significato intuitivo di queste operazioni riferite agli eventi è facile:
n
,e A e B sono sottoinsiemi di corrispondenti a due eventi allora
2 Capitolo 1
A n B corrisponderà all'evento: "i due eventi associati ad A e B si verificano
entrambi";
A U B corrisponderà all'evento: "uno almeno dei due eventi si verifica";
Ac corrisponderà all'evento: "l'evento associato ad A non si verifica".
In questa identificazione n sarà "l'evento certo", cioè quello che si verifica
certamente, mentre 0 sarà "l'evento impossibile", quello che certamente non si
verifica.
Una valutazione di probabilità sarà un'applicazione P che ad ogni evento
( ovvero ad ogni sottoinsieme di n) associa un numero reale e vorremo che
questo numero sia tanto più grande quanto più l'evento è probabile. Sarà
ragionevole richiedere che P goda di un certo numero di proprietà, ad esempio
che se A e B sono eventi disgiunti (A n B = 0) allora
= +
( 1.1) P(A U B) P(A) P(B)
Esempio 1.2 Consideriamo l'istante in cui un certo componente elettronico
si guasta e perciò debba essere sostituito. In questo caso l'insieme dei possibili
risultati è n = Ill+ e anche in questo caso possiamo mettere in corrispondenza
gli eventi di cui vogliamo calcolare la probabilità con dei sottoinsiemi di n.
Ad esempio al sottoinsieme [1, 2] corrisponderà l'evento "il componente smette
di funzionare in un istante t compreso tra 1 e 2". A differenza dell'esempio
precedente ora l'insieme dei possibili risultati, n, contiene una infinità ( con
tinua) di elementi e non è opportuno considerare eventi tutti i sottoinsiemi
di n, poiché la classe di tutte le parti di m,+è un oggetto scomodo da trattare.
n
Dobbiamo dunque stabilire quali dei sottoinsiemi di sono eventi. Dato però
il significato intuitivo delle operazioni di intersezione, unione e complementare
quando riferite agli eventi, sarà opportuno che se A e B sono eventi, allora
anche A n B, A U Be Ac lo siano. Infatti gli eventi sono i sottoinsiemi di cui
si può calcolare la probabilità ed è opportuno che si possa parlare della proba
bilità, ad esempio, che due eventi si verifichino entrambi oppure che un evento
non si verifichi. Quindi vorremo che la classe A' degli eventi sia stabile per le
operazioni di intersezione, unione e complementare.
1.2 Spazi di probabilità
Come è suggerito negli esempi precedenti, nello studio di un fenomeno casuale
siamo sempre jn presenza di
n
a) un insieme (l'insieme dei possibili risultati)
b) una famiglia A di sottoinsiemi di n tale che
b1) se A, BE A allora A U BE A
Spazi di probabilità 3
h2) se A, BE A allora A n BE A
h3) se A E A allora Ac E A
È chiaro che, per ricorrenza, da b1) si ricava che se Ai, ... , An E A allora
LJ~1 Ai E A e analogamente da b2) se A1, ... , An E A allora la loro interse
zione è ancora in A.
Definizione 1.3 Una famiglia A di parti di un insieme n si dice una CT-algebra
( o tribù) se
i) 0,S1EA
ii) Se A E A allora Ac E A
iii) Se A1, ... , An, ... E A allora
00
iiia) LJA n E A
n=l
n00
iiib) An' EA
n=l
Osserviamo che la Definizione 1.3 è ridondante nel senso che la condizione iiib)
è conseguenza di ii) e di iiia) grazie alla formula di De Morgan
Allo stesso mod9 iiia) è conseguenza di iiib) e ii).
Definizione 1.4 Sia. n un insieme, A una CT-algebra di parti di n. Una. pro
babilità P è un 'applicazione P: A -+ IR,+ tale che
=
1) P(S1) 1
2) Se {An}n è una successione di elementi di A a due a due disgiunti, allora
( a-additività)
Definizione 1.5 Chiameremo spazio di probabilità una terna (O, A, P) dove
n
è un insieme
A è una CT-algebrad i pa.rti di O
P è una probabilità su A.
Come è suggerito dagli esempi, gli spazi di probabilità sono dei modelli mate
matici non innaturali di fenomeni non deterministici. Affrontando un problema
4 Capitolo 1
concreto il primo passo consisterà nella costruzione di uno spazio di probabilità
adeguato. Questa prima operazione ( modellizzazione) viene effettuata basan
dosi su considerazioni empiriche e soggettive, tenendo conto della natura del
problema. Ciò significa che in generale, dato un fenomeno aleatorio, non c'è
uno spazio di probabilità privilegiato che lo descriva ed è anzi possibile che
persone diverse scelgano di studiarlo mediante spazi di probabilità differenti.
Nella maggior parte dei problemi trattati in questo libro alcuni concetti
fondamentali del Calcolo delle Probabilità ( equiprobabilità, indipendenza, ... )
permetteranno di costruire uno spazio di probabilità "naturale". Anche in
questi casi però la costruzione si basa sulla ipotesi, soggettiva anche se spesso
ragionevole, che il fenomeno soddisfi a certe proprietà.
Si pone quindi il problema di verificare, a. posteriori, la. bontà di uno spazio
di probabilità come modello di un dato fenomeno aleatorio. È questo uno dei
compiti della Statistica Matematica.
Ad esempio, nel ca.so dell'Esempio 1.1 è ragionevole, sulla base della discussione
fatta, considerare lo spazio di probabilità dato da
n =
{1,2,3,4,5,6}
A= P(f2) (tutte le parti di f2)
Resta da determinare la probabilità P. Ma per la natura del problema, se
nell'estrazione non c'è modo di distinguere le palline, è ragionevole supporre
che i possibili risultati si verifichino tutti con uguale probabilità, cioè che sia
/
= = = = = =
P({l}) P({2}) P{{3}) P({4}) P({5}) P({6}) p
Il numero p risulta dunque determinato da.Ila.r elazione
1 = P(f2) = P({l} U {2} U {3} u {4} U {,5} U {6}) =
+ + + + +
= P({l}) P({2}) P({3}) P({4}) P({.5}) P({6}) = 6p
= ¼.
cioè p Siamo ora in grado di calcolare la probabilità di tutti gli eventi.
=
Ad esempio se A {1,3,,5} allora A si può scrivere come unione disgiunta
{1} U {3} U {5} e dunque
P(A) = P( {1}) + P( {2}) + P( {3}) = ~
e più in generale per un evento A e n sarà
P(A) =#A= #A
6 #f2
