Caderno de Atividades: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

69 Pages·2014·1.58 MB·Portuguese

Caderno de Atividades:
GEOMETRIA ANALÍTICA

E ÁLGEBRA LINEAR

Prof. Carlos Vidigal

Profª. Érika Vidigal
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

FINALIDADE:
Aplicar e desenvolver o raciocínio analítico na resolução de problemas da Geometria Analítica;
Conhecer a Geometria Analítica no espaço através dos vetores no R2 e R3 e estabelecer as
relações com a Geometria Analítica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria
Analítica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova visão da matemática através do
estudo dos vetores e resolução de exercícios.

EMENTA:
Coordenadas no plano e no espaço: vetores; produto interno e ângulos; distância; desigualdade
triangular; produto vetorial; produto misto. Cálculo de área e volume através de produto vetorial
e misto.
Retas e planos: equações cartesianas e paramétricas; posições relativas; distância e ângulos.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Bibliografia Básica
[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 2008.
[2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo:
Pearson Makron Books, 2006.
[3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2008.
Bibliografia Complementar
- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introdução à geometria analítica no espaço. São Paulo:
Makron Books do Brasil, 1997.
- CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed.
São Paulo: Prentice Hall, 2008
- CAROLI, Alésio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores
geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984.
- NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
- POOLE, David. Álgebra linear. São Paulo: Thomson, 2004.

Este símbolo sugere uma Este símbolo indica uma série de
Leitura Obrigatória do livro Exercícios Sugeridos do livro
texto. texto.
MATRIZES [1] pág 369 a 392

Considere uma tabela de números dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parênteses ou
colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são numeradas de cima para baixo e as
colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n.
Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:
2 3 1
 : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
7 6 8
 
4 1 3 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
0,4
 
3 : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
 
5 

As matrizes são nomeadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas
por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
a a a ... a 
11 12 13 1n
 
a a a ... a
 21 22 23 2n
A  a a a ... a 
31 32 33 3n
 
 
a a a ... a 
 
m1 m2 m3 mn
ou, abreviadamente, A = [a ] , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento
ij m x n
ocupa. Por exemplo, a é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
23
1 6
 
Na matriz B  2 5 temos, por exemplo, b = 6 e b = 4.
  12 32
3 4
 

Algumas matrizes são constituídas por elementos cujos valores dependem da sua posição na matriz, isto
é, da linha e da coluna em que se encontra. Por exemplo, a matriz A=v(a ) , em que a = 2i – 3j é a matriz
ij 2x3 ij
1 4 7
A 
 1 2 5

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE!!!!
Uma matriz A é representada colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre
colchetes. NUNCA utilize barras no lugar dos parênteses ou dos colchetes .
1 4 7 1 4 7
A  ou A   
 1 2 5  1 2 5

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha:
Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A1 2 3 4é do tipo 1 x
4.

Matriz coluna:
1
 
Matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, a matriz B  2 é do tipo 3 x 1.
 
 
3
 

Matriz quadrada:
Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz
1 2
é de ordem n. Por exemplo, a matriz C    é de ordem 2.
3 4
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária:
 A principal é formada pelos elementos a tais que i = j.
ij
 Na secundária, temos i + j = n + 1.

Exemplo:

OBSERVAÇÃO: AS DIAGONAIS SÃO CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS DE MATRIZES
QUADRADAS!

Matriz nula:
0 0
 
Matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 Por exemplo, 0  0 0
m x n. 3x2  
 
0 0
 
. Matriz triangular:
Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaixo da diagonal principal.
1 0 0 1 6 3
   
A  5 1 0 B 0 1 7
   
2 8 3 0 0 0
   
(Triangular Inferior) (Triangular Superior)

Matriz diagonal:
Matriz quadrada em que todos os elementos que NÃO estão na diagonal principal são nulos. Por
exemplo:
Matriz identidade:
Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são
nulos.
Representamos as matrizes identidades por I , onde n é a ordem da matriz. Por exemplo:
n
1 0 0 0
 
0 1 0 0
 
I 
4 0 0 1 0
 
0 0 0 1

Matriz transposta
A matriz transposta de A, denotada por At, é a matriz obtida a partir da matriz A trocando-se
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Note que, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. Além disso, a 1ª linha de A corresponde à 1ª
coluna de At , a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At, e assim sucessivamente.

Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se,
I. Possuírem a mesma ordem m x n e
II. Todos os elementos que ocuparem a mesma posição forem iguais.

Adição e Subtração de matrizes

A soma (subtração) da matriz A com a matriz B de mesma ordem é uma outra matriz C de mesma ordem
cujos elementos é igual à soma (subtração) dos elementos correspondentes das matrizes A e B.

1 4 2 3  3 7 
     
2 3 1 5 1 2
1 4 5  1 1 0  0 3 5
     
2 3 6 2 5 1 4 2 7

Note que para que seja possível a soma (subtração) de duas ou mais matrizes, necessariamente, as
matrizes devem possuir a mesma ordem.

Propriedades:
Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. São válidas as propriedades:
a) comutativa: A+B=B+A;
b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C);
c) elemento neutro: A+O=A;
d) elemento oposto: A+ (– A)=O;
e) transposta da soma: (A+B)T=AT+BT.

Multiplicação de um número (escalar) por uma Matriz
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n
obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k.
1 0 6  3 0 18
3   
2 1 3 6 3 9

Propriedades:
Sejam A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e k e m números reais não nulo, valem as
propriedades
a) 1.A = A
b) (-1).A = -A
c) k.O = O
d) 0.A = O
e) k.(A + B) = k.A + k.B
f) (k + m).B = k.B + m.B
g) k.(m.A) = (k.m).A

Multiplicação de Matrizes

O produto das matrizes A = (a ) e B = (b ) é a matriz C = (c ) em que cada elemento c é obtido
ij m x p ij p x n ij m x n ij
por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de
B.
Note que:
1) o produto existirá se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
Além disso, a matriz resultado terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da
segunda.

2) se existe o produto A.B, não implica, necessariamente, na existência de B.A.
3) a propriedade comutativa não é válida.

4) se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja
1 1  1 1 
nula. Verifique isso com as matrizes A  e B  .
   
1 1 1 1
5) Diferentemente da álgebra dos números reais em que a.b = a.cb = c, para as matrizes a lei do
 1 2 0 1 2 3 
   
cancelamento não é válida. Verifique com as matrizes A 1 1 0,B 1 1 1 e
   
1 4 0 2 2 2
   
1 2 3 
 
C 1 1 1que A.B = AC apesar de B ≠ C.
 
1 1 1
 
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: (A.B).C = A.(B.C)
b) distributiva em relação à adição: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C
c) elemento neutro: A.I = I .A = A, sendo I a matriz identidade de ordem n
n n n

Matriz Inversa - Parte I

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível, ou não singular, se e somente se, existir uma
matriz que indicamos por A-1, tal que
A.A-1=A-1.A=I
n.
EXERCÍCIOS

ij,seij
1. Escreva os elementos da matriz A = (a ) , definida por a .
ij 4x2 ij ij,seij
2ij s iej
2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por: a .
ij i2j1 s iej
a 2ij b ij1
3. Sendo A = (a ) tal que e B = (b ) tal que , calcule A+B .
ij 1x3 ij ij 1x3 ij

12 20
4. Sabendo que M eN , calcule MN - NM .
01 11
2 1 0
 
5. Dada a matriz A 1 0 0 , calcule A2.
 
0 0 1
 
1 2 2 0
6. Sendo A =  e B =  , mostre que A.BT BT.AT.
3 4 1 2
1 2 3 1 0 0 0 1 1
     
7. Sendo M1 0 2, N0 1 0 e P2 0 1, calcule:
     
4 3 5 0 0 1 3 2 0
     
a) N – P + M
b) 2M – 3N – P
c) N – 2(M – P)

a 0 1 b
8. Dadas as matrizes A  e B , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz
0 a b 1
identidade.

43x 7x 3 4 0 10
    x x1  
9. Considere as seguintes matrizes: A 0 10, B5 0 , C  e D10 5.
1 x1
 5 4 2 2  1 4
     
Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D .

a a 0 3
10. Sabendo que as matrizes abaixo comutam,   e  , determine o valor de a.
a 2 3 3
2 1
   
11. Se A e B são matrizes tais que: A  1 e B  2 , então para qual valor de x a matriz Y At.B será
   
x 1
   
nula?