Biostatistik: Eine Einfuhrung fur Biologen

226 Pages·1990·5.3 MB·German

by  Univ.-Prof. Dr. Werner Timischl (auth.)

Werner Timischl
Biostatistik
Eine Einführung
für Biologen
Springer-Verlag Wien New York
Univ.-Prof. Dr. Werner Timischl
Abteilung für Mathematik in den Naturwissenschaften
und Mathematische Biologie
Technische Universität Wien
Österreich
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© 1990 by Springer-Verlag/Wien
Gedruckt auf säurefreiem Papier
Mit 53 Abbildungen
ISBN 978-3-211-82218-0 ISBN 978-3-7091-3421-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-3421-4
Vorwort
Statistische Methoden werden im Bereich der Biowissenschaften in zunehmen
dem Maße eingesetzt. Dabei mag die weite Verbreitung von einschlägigen Pro
grammpaketen eine maßgebliche Rolle spielen. Gerade die Leichtigkeit der Er
gebnisgewinnung mit dem Computer birgt jedoch die Gefahr in sich, statistische
Methoden unsachgemäß, d.h. ohne Berücksichtigung der jeweiligen Vorausset
zungen, anzuwenden. Zur richtigen Anwendung sind Grundkenntnisse der Sta
tistik unerläßlich. Es ist das Ziel des Buches, in die Terminologie der Statistik
einzuführen und ein statistisches Basiswissen zu vermitteln, das zu einfachen
Auswertungen befähigt. Das Buch soll ein Interesse am Gedankengut der Stati
stik erwecken und das Verständnis für die Anwendung der statistischen Metho
den fördern.
Am Beginn des Buches nehmen die beschreibenden Methoden einen breiten
Raum ein. Ihnen sind die beiden ersten Kapitel gewidmet. Nach einer ausführ
lichen Darstellung der Beschreibungsmöglichkeiten bei eindimensionalen Stich
proben im ersten Kapitel führt das zweite Kapitel in die deskriptive Korrelations
und Regressionsrechnung ein, mit der die gemeinsame Variation von zwei oder
mehreren Merkmalen durch geeignete Kenngrößen bzw. Funktionsgleichungen
beschrieben werden kann. Das dritte Kapitel gibt einen Einblick in die Denkwei
sen der induktiven Statistik, die auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufbaut.
Behandelt werden wichtige diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Weiters wird die Grundlage zum Verständnis von statistischen Schätzungen und
Tests geschaffen. Schließlich werden im vierten Kapitel grundlegende Testverfah
ren in Verbindung mit Zweistichprobenproblemen sowie mit der Varianz- und
Regressionsanalyse behandelt.
Das Buch ist aus Vorlesungen im Fachbereich Biologie an der Universität
Wien hervorgegangen. Es ist geprägt von der Erfahrung, daß die Lehrinhalte von
Studierenden der Biologie umso eher angenommen werden, je weniger einerseits
das Inhaltliche der Statistik von mathematischen Formalismen überdeckt wird
und je stärker andererseits der Anwendungsbezug ist. Vorausgesetzt werden nur
Kenntnisse der Schulmathematik. Es wurde versucht, den Anwendungsbezug
durch eine Fülle von durchgerechneten Beispielen herzustellen. Diese sollen zu
sammen mit den am Abschluß eines jeden Kapitels beigefügten Aufgaben, zu
denen es im Anhang einen ausführlichen Lösungsteil gibt, der "Biostatistik" den
Charakter eines Arbeitsbuches verleihen, das sich vor allem auch zum Selbst-
VI Vorwort
studium eignet.
Bei der Gestaltung der "Biostatistik" haben mich zahlreiche Personen un
terstützt. Zu danken habe ich jenen Kolleginnen und Kollegen, die mir ihr Da
tenmaterial für die Aufgaben und Beispiele zur Verfügung stellten. Meinem Bru
der Dr. Wolfgang Timischl und den Herren Doz. Dr. Helmut Länger sowie Doz.
Dr. Uwe Humpesch danke ich für das Mitlesen der Korrekturen. Die Abbildun
gen wurden mit großer Sorgfalt von Herrn Mag. Wilhelm Nowak hergestellt.
Schließlich danke ich auch Frau Dr. Irene Stursa vom Springer-Verlag in Wien
für die intensive Betreuung und die gute Zusammenarbeit.
Wien, im April 1990 Werner Timischl
Inhal tsverzeichnis
1 Eindimensionale Datenbeschreibung
1.1 Deskriptive Methoden: Aufgabenstellung und Grundbegriffe 1
1.1.1 Ein- und mehrdimensionale Datenbeschreibung 1
1.1.2 Stichprobe und Grundgesamtheit 5
1.1.3 Merkmalstypen 8
1.2 Nominale Merkmale 11
1.3 Ordinale Merkmale . . 14
1.4 Metrische Merkmale 17
1.4.1 Häufigkeitsverteilungen ohne Klassenbildung 17
1.4.2 Häufigkeitsverteilungen mit Klassenbildung 24
1.4.3 Weitere Kenngrößen und Ergänzungen . 30
1.5 Aufgaben .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Zusammenhangsanalysen: Deskriptive Korrelations- und
Regressionsrechnung
2.1 Einfache Korrelation . . . . . . . . . . . . 40
2.1.1 Vierfeldertafeln und ~-Koeffizient 40
2.1.2 Der Kontingenz-Index von Cramer 44
2.1.3 Korrelation zwischen Rangreihen . 46
2.1.4 Korrelation zwischen metrischen Merkmalen. 50
2.2 Einfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Problemstellung ............... . 57
2.2.2 Berechnung der linearen Regressionsfunktion 63
2.2.3 Beurteilung der Anpassungsgüte ..... . 66
2.2.4 Regression von X auf Y . . . . . . . . . . . 69
2.2.5 Regressionsgerade durch einen festen Punkt 72
2.2.6 Linearisierende Transformationen . . . . . . 73
2.3 Lineare Regressionsanalysen mit mehreren Einfiußgrößen . 76
2.3.1 Mehrfache lineare Regression 76
2.3.2 Zweifache lineare Regression 77
2.3.3 Multiple Korrelation .. 81
2.3.4 Partielle Korrelation . . 83
2.3.5 Polynomiale Regression 87
VIII Inhaltsverzeichnis
2.4 Aufgaben .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
3 Induktive Statistik: Grundlegende Begriffe und Denkweisen
3.1 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . 96
3.1.1 Der Begriff der Wahrscheinlichkeit 96
3.1.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit. 102
3.2 Diskrete Zufallsvariablen . . . . . . . . . . 105
3.2.1 Binomialverteilung......... 105
3.2.2 Mittelwert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen 109
3.2.3 Parameterschätzung mit der Momentenmethode 113
3.2.4 Weitere diskrt!te Verteilungen 115
3.3 Stetige Zufallsvariablen .................. 122
3.3.1 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.2 Prüfen von Hypothesen: Der Binomialtest bei großen Stich-
proben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3.3 Die Chiquadrat-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.3.4 Verteilung des standardisierten Stichprobenmittels .... 147
3.3.5 Vergleich der Varianzen von zwei normalverteilten Zufalls-
variablen 152
3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4 Ausgewählte statistische Prüfverfahren
4.1 Zweistichprobenprobleme ............ . 159
4.1.1 Vergleich von unabhängigen Stichproben. 159
4.1.2 Vergleich von verbundenen Stichproben 167
4.1.3 Unabhängigkeit und Korrelation 170
4.2 Varianz- und Regressionsanalysen . 174
4.2.1 Einfache Varianzanalyse ... 174
4.2.2 Einfache lineare Regression . 182
4.2.3 Zweifache lineare Regression 185
4.3 Aufgaben .......... . 186
Anhang A: Statistische Tafeln 189
Anhang B: Lösungen der Aufgaben 196
Literaturverzeichnis 212
Sachverzeichnis . . . 215
Everything should be made as simple as
possible, but not simpler.
(A. Einstein)
Kapitell
Eindimensionale Datenbeschreibung
1.1 Deskriptive Methoden: AufgabensteIlung
und Grundbegriffe
Im Mittelpunkt der Arbeit des angewandten Statistikers stehen Daten. Daten ge
winnt man durch Beobachten, Befragen oder Messen, unter "natürlichen" oder
künstlich geschaffenen Versuchsbedingungen im Rahmen eines Experimentes.
An die Datengewinnung schließt als nächster Schritt die Datenbeschreibung in
Form von Tabellen, Graphiken, Kenngrößen oder Funktionen an mit dem Ziel,
im Datenmaterial verborgene Informationen zu erkennen und übersichtlich dar
zustellen. Diesem Zweck dienen die im ersten und zweiten Kapitel behandelten
Verfahren der deskriptiven Statistik.
1.1.1 Ein- und mehrdimensionale Datenbeschreibung
Die Bearbeitung eines Datenmaterials beginnt wohl damit, daß man es in ge
ordneter Weise niederschreibt. Häufig liegt die folgende Datenstruktur vor: Für
p ausgewählte Merkmale Xh X2, ... ,Xp sind an n Untersuchungseinhei
ten Ut. U2, ••• ,Un die einzelnen Merkmalswerte ermittelt worden. Den an
der i-ten Untersuchungseinheit festgestellten Wert des Merkmals X bezeich
j
nen wir mit der doppelt indizierten Größe Xi;. Durch jeden Merkmalswert Xi;
wird eine der möglichen Merkmalsausprägungen von X; realisiert. Beispiels
weise liefert die Bestimmung des Merkmals "Blutgruppe" (ABO-System) an n
Untersuchungseinheiten (Personen) n Merkmalswerte, von denen jeder einzelne
eine der vier Ausprägungen A, B, AB oder 0 darstellt. Bei den Untersuchungs
einheiten kann es sich um Individuen (z.B. Versuchspersonen, Tiere, Pflanzen)
oder auch um Objekte (Proben, Untersuchungsflächen usw.) handeln. Wurde
nur ein Merkmal pro Untersuchungseinheit erfaßt, spricht man von einem ein
dimensionalen oder univariaten Datenmaterial. In diesem Fall bezeichnet
man das Merkmal einfach mit einem Großbuchstaben (z.B. X) und den an der
2 1 Eindimensionale Datenbeschreibung
55 55 69 53 50 63 73 62 52 53
79 55 54 61 71 86 74 55 53 69
55 40 51 44 72 52 62 63 65 67
61 72 48 62 51 57 66 72 59 54
Tabelle 1.1. Gesamtzahl der bis zum Aussterben abgelegten Puparien für 40 mit
jeweils 15 geschlüpften Weibchen gebildete Kohorten von Glossina p. palpalis
(Beispiel 1.1)
i-ten Untersuchungseinheit beobachteten Merkmalswert mit dem entsprechen
den einfach indizierten Kleinbuchstaben (z.B. Xi). Das von einem Merkmal X
vorliegende (univariate) Datenmaterial wird auch eine Beobachtungsreihe ge
nannt und meist durch zeilenweises Anschreiben der Merkmalswerte in der Form
Xli X2, ••• ,Xn dargestellt.
Beispiel 1.1. Eine Voraussetzung für den erfolgreichen Einsatz der Steri
len Insektentechnik zur Bekämpfung der Tsetsefliegen ist die Bereitstellung
einer ausreichend großen Anzahl von sterilen Männchen für eine kontinu
ierliche Freilassung. Im Zusammenhang damit wurden in einem Labora
torium der Internationalen Atomenergiebehörde in Wien (Abteilung für
Radioaktive Techniken in Ernährung und Landwirtschaft) Versuche mit ei
ner neuen Fütterungstechnik (Membranfütterung mit gefriergetrocknetem
Rinderblut) zur Massenzüchtung von Tsetsefliegen angestellt. Bei einem
derartigen Versuch wurden nach der neuen Methode 40 "Kontrollgruppen"
gefüttert, worunter Kohorten zu verstehen sind, die sich aus jeweils 15 der
Kolonie "aufs Geratewohl" entnommenen Weibchen desselben Schlupfda
turns zusammensetzten. Nach Begattung der Weibchen (etwa drei Tage
nach dem Schlüpfen) wurde für jede Kontrollgruppe die innerhalb von
100 Tagen (praktisch bis zum Aussterben der Kohorten) abgelegte Anzahl
X der Pup arien gezählt, die ein Maß für die "Produktivität" der Kohor
ten darstellt. Die erhaltenen Produktivitätswerte sind in Tabelle 1.1 ange
schrieben. Die Untersuchungseinheiten sind in diesem Beispiel die n = 40
aus der Laboratoriumskolonie ausgewählten Kohorten, an denen jeweils
nur ein Merkmal, nämlich die Anzahl X der insgesamt abgelegten Pu
parien, erhoben wurde. Bei X handelt es sich offensichtlich um ein soge
nanntes Zählmerkmal, und folglich kommen als Ausprägungen von X
nur nicht-negative ganze Zahlen (bis zu einer gewissen oberen Grenze) in
Frage.
Es ist schwer, aus den in Beispiel 1.1 aufgelisteten Zahlen ohne vorherige
Aufbereitung Eigenschaften des betrachteten Merkmals zu erkennen. Die Auf
bereitung besteht in der Regel darin, daß man die voneinander verschiedenen
Merkmalswerte (nach aufsteigender Größe geordnet) anschreibt und hinzufügt,
wie oft jeder einzelne im Datenmaterial vorkommt. Auf diese Weise erhält man
1.1 Deskriptive Methoden: Aufgabenstellung und Grundbegriffe 3
eine Häufigkeitstabelle, aus der man z.B. sofort den kleinsten bzw. größten
Merkmalswert ablesen kann oder den Modalwert, d.h. jenen Wert, der am
öftesten auftritt. Die genannten Werte sind Beispiele für aus den Daten ermit
telte Kenngrößen, durch die das Datenmaterial - allerdings recht grob - be
schrieben wird. Eine andere viel verwendete Kenngröße ist das arithmetische
Mittel, das man erhält, indem man die Summe aller Merkmalswerte durch ihre
Anzahl dividiert. Durch Kenngrößen werden offensichtlich nur ganz bestimmte
Aspekte des Datenmaterials erfaßt.
Wenn zwei Merkmalswerte pro Untersuchungseinheit vorliegen, nennt man
das Datenmaterial zweidimensional oder auch bivariat. Darüber hinaus, also
bei mehr als zwei Merkmalswerten pro Untersuchungseinheit, spricht man von
einem mehrdimensionalen oder multivariaten Datenmaterial. Bei bivaria
tem - und erst recht bei multivariatem - Datenmaterial ist es zweckmäßig,
die n X p Merkmalswerte in Tabellenform darzustellen, etwa so, daß die Zei
len den Untersuchungseinheiten und die Spalten den Merkmalen entsprechen.
Das entstehende rechteckige Schema der in n Zeilen und p Spalten angeordne
ten Merkmalswerte nennt man kurz eine n X p-Datenmatrix. Jede Zeile der
Datenmatrix enthält der Reihe nach die Werte der Merkmale, die an der zur
betrachteten Zeile gehörenden Untersuchungseinheit registriert wurden. Kon
zentriert man sich dagegen auf ein bestimmtes Merkmal, so kann man aus der
zu diesem Merkmal gehörenden Spalte der Datenmatrix der Reihe nach die
von den verschiedenen Untersuchungseinheiten stammenden Ausprägungen des
interessierenden Merkmals ablesen. Einen Sonderfall stellen die einspaltigen Da
tenmatrizen dar, die man aus Platzgrunden aber meist zeilenweise anschreibt.
(Vgl. Tabelle 1.1 zu Beispiel 1.1.)
Beispiel 1.2. In Tabelle 1.2 sind die an 40 Exemplaren des Brillenschöt
chens (Biscutella laevigata) ermittelten Werte für 8 ausgewählte Merkmale
aufgelistet. Es bedeuten Xl den Entwicklungszustand (1 = blühend, 2 =
= =
blühend und fruchtend, 3 fruchtend - grüne Schötchen, 4 fruchtend
- gelbe Schötchen), X die Sproßhöhe in mm, X die Länge des größten
2 3
Grundblattes in mm, X" die Anzahl der Zähne des größten Grundblattes
(an einem Blattrand), X die Anzahl der Stengelblätter am Hauptsproß,
5
X die Länge des untersten Stengelblattes in mm, X die Spaltöffnungs
6 7
länge in /Lm und Xs die Chromosomenanzahl.
Die Aufbereitung eines multivariaten Datenmaterials beginnt man meist mit
einer univariaten Bearbeitung, indem man zunächst jedes Merkmal (jede Spalte
der Datenmatrix) für sich alleine betrachtet und beschreibt (z.B. durch Kenn
größen wie den kleinsten bzw. größten Merkmalswert, das arithmetische Mit
tel usw.). Gegenüber univariaten Materialzusammenstellungen ermöglichen bi
variate bzw. multivariate grundsätzlich neue Einsichten, und zwar durch die
Beschreibung des Zusammenhanges zwischen den erfaßten Merkmalen. Als