Table Of ContentFORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.2157
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn
von Staatssekretar Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Walter Trebels
Besse1potentiale gerader Ordnung und aquivalente
Lipschitzraume
Paul Leo Butzer - fens Kemper
Operatorenkalkiil von Approximationsverfahren fastperiodischer
Funktionen
Lehrstuhl A fUr Mathematik der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
SPRINGER F ACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
ISBN 978-3-663-06221-9 ISBN 978-3-663-07134-1 (eBook)
DOI 10.10071978-3-663-07134-1
Verlags-Nr.012157
© 1970 by Springer Fachmedien Wieshaden
Urspriinglich erschienen hei Westdeutscher Verlag, Koln und Opladen 1970
Waiter T rebelr
Besselpotentiale gerader Ordnung und aquivalente
Lipschitzraume
Inhalt
1. Einleitung... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Einige Eigenschaften des Besselkerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Lipschitzbedingungen an f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Lipschitzbedingungen an Ableitungen von f .......................... 19
Literaturverzeichnis .................................................... 21
5
1. Einleitung
Die Raume L~ der Besselpotentiale sind von einer Vielzahl von Autoren untersucht und
benutzt worden, die sich z. B. mit Vervoilstandigungen (ARONSZAJN-SMITH [2]), mit
stetigen Einbettungen in Besov- und Sobolevraume (ARONSZAJN-MuLLA-SZEPTYCKI
[1]), mit Differenzierbarkeitsaussagen (CALDERON [11]), mit Lipschitzraumen (TAIBLESON
[23]) u. a. beschaftigen.
Ais unmittelbaren Ausgangspunkt dieser Abhandlung* kann man die Arbeiten von
GORLICH [13], [14] ansehen, die eine Weiterentwicklung der mehrdimensionalen Satu
rationstheorie darsteIlen, die auf BUTZER-NESSEL [7] und NESSEL [17] im FaIle 1 ~ P
~ 2 zuriickgeht. In [13], [14] wird bewiesen, daB die Raume L~ die Favardklassen ge
wisser n-dimensionaler, radialer Approximationsverfahren, wie z. B. die Bochner-Riesz
Mittel und das veraIlgemeinerte WeierstraBverfahren, kennzeichnen. Diese Klassen
wurden in WHEEDEN [25] und TREBELS [24] durch gewisse hypersingulare Integrale
charakterisiert, die man als Rieszableitungen interpretieren kann.
In der eindimensionalen Theorie hat BUTZER [4], [5] (IX = 2) Charakterisierungen der
Favardklassen mittels Lipschitzbedingungen abgeleitet. In der mehrdimensionalen
Theorie sind jedoch entsprechende Aussagen nur fiir 1 < p < 00 bekannt (vgl. [13]);
im Faile p = 1 sind diese Bedingungen zwar hinreichend, jedoch ist ihre Notwendigkeit
nicht bewiesen.
Unser Zugang schwiicht die letzteren Ergebnisse so ab, daB er einerseits fiir alle p
Werte, 1 ~ P ~ 00, aquivalente Aussagen liefert und daB sich aus ihm andererseits im
FaIle 1 < p < 00 mittels eines Multiplikatorensatzes von Marcinkiewicz-Mikhlin (vgl.
[16; p. 232]) die bekannten Resultate wiedergewinnen lassen. Uberdies gelangen wir zu
einer Erweiterung des Laplaceoperators im klassischen Rahmen.
Der Verfasser ist den Herren Professor Dr. P. L. BUTZER und Dr. R. J. NESSEL fiir
wertvoIle Hinweise sowie fiir eine kritische Durchsicht dieser Arbeit zu Dank ver
pflichtet.
Sei x = (Xl, ... , xn) ein Punkt des n-dimensionalen euklidischen Raumes En, elc der
Einheitsvektor langs der k-ten Achse,) = (jl, ... , in) ein n-Tupel von nicht-negativen
= Ln = = . .
ganzen Zahlen. Wir schreiben x'Y xkYk, 1X 12 X' X, xi xI1 ... x~n,
k~1
I) 1 + ... +
Di = (8/8x1)it ... (8/8xn)in und =)1 in' Konstanten bezeichnen wir
einheitlich mit C.
Unter LP(En) verstehen wir die Menge der zur p-ten Potenz (Lebesgue-) integrierbaren
Funktionen 1 mit endlicher Norm
IIll1p={ Jll(x)lp dx}1/P, l~p<oo, 1111100 = ess sup 11(X)I,
En xEEn
unter M die Menge der beschriinkten MaBe fl des En, die wir mittels II df lill = J 1d f ll
En
normieren. Definieren wir die Faltung zwischen einem MaB fl E M und einer Funktion
fE Lp, 1 ~p ~ 00, durch
(1.1) 1 *dfl(x) = (2 n)-nI2 J f(x -.Y) dfl (Y),
En
* Diese Arbeit enthalt einige der in BUTZER-TREBELS [10] angekiindigten Ergebnisse sowie
Verallgemeinerungen hierzu.
7
so gilt II J * d,u liP ~ II J liP II d,u I\l. Die k-te Differenz einer (Lebesgue-meBbaren) Funk
J
tion mit Verschiebung u erkIaren wir durch
f
L1~J(x)= y
(-l (k)J(X+(k-I)U)
I~O 1
und sagenJELip(IX,k;p), falls L1~JELP ist und der Relation 11L1~Jllp=O<lul"'),
o < IX ~ k, genugt; falls k> IX gilt, so ist es unwesentlich (vgl. z. B. HERZ [15]), wie
groB die naturliche Zahl k wirklich ist. Schlie31ich definieren wir noch die Fourier
Stieltjestransformierte eines MaBes ,u E M hzw. die Fouriertransformierte einer Funk
J
don ELI durch
(1.2) [d,uf (v) = (2n)-n/2 I e-iv.xd,u(x), J~ (v) = (2n)-n/2 I e-iv·x J(x) dx.
En En
Abgesehen von dies en Schreibweisen, benutzen wir die Terminologie von SCHWARTZ
[21] :
S {q;> E COO(En); sup I x Ik I Diq;>(x) I ~ Ck,i}
xEEn
Raum der beliebig oft differenzierbaren, schnell abfallenden Funktionen,
S' Raum der stetigen linearen Funktionale T auf S (temperierte Distributionen),
OM={q;>ECOO(En); IDiq;>(x)I~lxlk, k=k(q;>,j), furalle xEEn},
O~ = {T E S'; (1 + I x 12)k T ist eine beschrankte Distribution}.
Hierbei ist eine beschrankte Distribution definiert als stetiges lineares Funktional auf
DL1, wobei 11' E DLI, falls 11', Dilp E Ll fur alle n-Tupelj.
Die mittels <T, q;>~) = <T~, q;» fUr T E S', q;> E S erklarte Fouriertransformation ist
eine eineindeutige Abbildung von S' auf S' und von OM auf O~; da sie konsistent ist
mit der klassischen, bezeichnen wir einheitlich die Fouriertransformierte einer Lp
Funktion (1 ;£ P ;£ 2) oder einer temperierten Distribution f mit f~. Die Faltung
zwischenJ E O~ und T E s'
+
<J* T, q;» = (2 n)-n/2 <Jy, <Tx, q;>(x y))
existiert in S' und besitzt als Fouriertransformierte (J * T) ~ = J~ T ~ , wobei das Pro
dukt J ~ T ~ durch <f ~ T ~ , q;» = <T ~ ,J ~ q;» erkIart sei. Fur Beweise und Einzelheiten
verweisen wir auf SCHWARTZ [21].
2. Einige Eigenschaften des Besselkerns
Definition 2.1. Sei IX > 0; die Funktion
Ca (x) = [2(a-2)/2 r(IX/2)] -1 I x I( a-n)/2 K(n-a)/2 (I xi)
(I I
heift Besselkern, wobei die Funktionen x = r)
K (3 (r ) -_ -n I-_--('3--(-r')- ----I-(-'3--(-r-'-) , I (3(r) = _) ' (r/2)(3+2 m
2 sin p n m~O m!r(p+m+1)
die modiftzierten Besselfunktionen der Ordnung P dritter bzw. erster Art sind.
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GIX ist eine nichtnegative, integrierbare Funktion [2] mit J GIX(x) dx = (2 n)n/2; ihre
Fouriertransformierte wird durch
gegeben. Aus dieser Darstellung ist unmittelbar einzusehen, daB (0(, f3 > 0)
(2.2) GIX * G{J(x) = Gtx+{J(x)
gilt. Aus der Darstellung (2.1) von GIX durch die Fouriertransformierte wollen wir nun
mittels des Rieszpotentials auf Glattheitseigenschaften des Besselkerns GIX schlieBen.
Hierzu benotigen wir das folgende einfache (fUr n = 1 siehe OKIKIOLU [19])
Lemma 2.2. Fur festes u E En (u =1= 0) ist die Funktion
mu,lX(x) = F (·n- -2O-() [21X-n/2F(0(!2)]-1 {I x + ullX-n -I xllX-n}
fur 0 < 0( < 1 integrierbar, und es gilt mit UO = u!1 u I
Ilmu,lXlll = lullX II muo, IX lit, [mu,lXf (v) = Ivl-lX(eiu.v-1).
Beweis: Offensichtlich ist die Funktion mU",1X lokal integrierbar; da sie fur genugend
groBes x differenzierbar ist, folgt mit Hilfe der Taylorformel
J Ilx+uollX-n-lxllX-n
Idx
Ixl ~2
1 n
J I J L I + + I
(0( - n) u~ x 1)uo IIX-n-2 (Xk 1)Uk) d1) dx
Ixl~2 0 k=1
n 1
~ IO(-nl L J d1) J IxllX-n-1dx < 00.
k=10 Ixl~l
Mithin ist II muo,1X lit eine endliche Zahl; die Substitution x = Iu Iy liefert den ersten
Teil der Behauptung, und der zweite folgt nach RIESZ [20; p. 17] (vgl. auch [12; p. 157]).
Den Zusammenhang zwischen den Riesz- und den Besselpotentialen gibt ein Lemma
von STEIN [22] (vgl. BUTZER - NESSEL [8; Chap. 6]).
Lemma 2.3. Sei 0( > 0; dann existieren MaJle p,~l EM, i = 1,2,3, so daJl
Ivl" = (1 + IvI2)"/2 [dp,(llf (v)
(1 + Iv 12),,/2 = [dp,~2l] (v) + Iv I" [dp,;;l] (v).
A A
Hiermit konnen wir einfach beweisen (fur andere Beweise vgl. [1], [11])
Lemma 2.4. Fur 0 < 0( < kist GIX E Lip (0(, k; 1); aile partiellen Ableitungen von GIX
bis zur Ordnung < existieren in der Ll-Norm.
0(
Beweis: i) Nach Lemma 2.3 ist
und mithin nach dem Eindeutigkeitssatz und dem Faltungssatz der Fouriertransforma-
tion
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ii) Fur a ~ 1 ist die Behauptung trivial. Sei deshalb a > 1 und m die groBte ganze
Zahl < a. Wegen (2.2) genugt es nachzuweisen, daB Calm erste partielle Ableitungen
in der Ll-Norm besitzt. Hierzu betrachten wir die Folge
wobei C* bestimmt ist durch
C * -- (t. vk )-1 Joo Tj -2( ei Vk7J - e- iVk7J)3 d Tj.
o
+
Da nach Teil i) Calm E Lip (aim, 3; 1) ist, bildet fE,k fUr e -;.. 0 eine Cauchyfolge
in Ll. Auf Grund der Vollstandigkeit des Raumes Ll existieren Funktionen gk E Ll mit
limE--+O + II fe, k - gk III = O. Dann ist aber
I I
(iVk) [Calmf (V) -gk (V)
= lim IC;l J00 Tj-2(eiVk'l1-e-iVk'l1)3[Calmf(v)dTj-gk(v)1
e-+O+
~ lim II fE, k - gk Ii 1 = 0;
e-+O+
hieraus folgt jedoch der Rest der Behauptung (vgl. [13]), da
rI7J + drf
[LI'I1ekCalmf (v) = g(x uk) (v).
o
Bei unseren nachfolgenden Betrachtungen wird die Funktion
2
- L L/2k log I x I fUr n = 2
k ~ 1 e
(2.3)
fur n ~ 3
beweistechnisch wesentlich eingehen. Wir haben
Lemma 2.5. Die durch (2.3) gegebene Funktion g2 ist integrierbar; weiter gilt
n
J g2(X) dx = - (2 n)n/2, g; (v) = IV 1-2 L (eiVk -1)2.
k~l
Beweis: 1st g2 E Ll, so folgt z. B. nach [12; p. 157-158] die Darstellung der Fourier
transformierten und, da g; stetig ist, aus limlvj-+og; (v) = - 1 sofort die Normierung.
Offensichtlich ist g2 lokal integrierbar, so daB nur das Verhalten von g2 im Unendlichen
interessiert. Sei n ~ 3 (der Fall n = 2 wird analog behandelt); wir fiihren als Hilfs
funktion
(2.4)
derart ein, daB g2 (x; 1) = g2 (x) ist. Wir entwickeln g2 (x; Tj) bei festem x an der Stelle
Tj = 0 und errechnen
I ~g2(X;Tj)1 2
g2(X; 1)) 1/~O = dTj 1/~O = ddTj 2 g2(X;Tj)1 1/~O = O.
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Die dritte Differentiation ergibt schlieBlich die gewunschte Ordnung 0 (I x I-n-l) im
Unendlichen, so daB
If I
f f,
Ig2(x) I dx = 1 I 1 (1-.)2 -d33 g2(X;.) d. dx
Ixl;;;4 Ixl;;;4 2. 0 d'Yj
f
=O( Ixl-n-1dx) <=.
Ixl ;;; 1
Damit ist Lemma 2.5 vollstandig bewiesen.
Mit Hilfe der Funktion g2 k6nnen wir die Aquivalenz von Lipschitzraumen, die sich
durch die Summe partieller Differenzen zweiter Ordnung auszeichnen, mit den Raumen
Lim, m = 1,2, ... nachweisen. Hierbei dennieren wir fUr IX> 0
L~={!ELP;f=GIX*{d:}'WOP,EM hELPfur1<p~=}
(2.5) furp=l,
und normieren L~ durch
(2.6) IIfIlt.IX = II dp, lit, p = 1, bzw. 1If1iP.1X = 1ih1iP, 1 <p ~ =.
Dblicherweise hatte man fUr 1 < P ~ = (entsprechend fUr p = 1) als Norm II f II p
+ II h II p gewahlt; jedoch ist wegen II f II p = II G IX * h II p ~ II h II p die einfachere Wahl
(2.6) vorzuziehen.
Da offensichtlich G; E OM ist, ist die Faltung GIX E O~ mit p" hE Sf in Sf sinnvoll,
und wir erhalten eine Charakterisierung von L~ im fouriertransformierten Raum durch
f
3. Lipschitzhedingungen an
Zunachst betrachten wir den Fall IX = 2 und dennieren einen Lipschitzraum durch die
Norm
Satz 3.1. Auf Li, 1 ~p ~ =, sind Ilfllp.2 und 2111flilp aquivalente Normen, i. e. es
txistieren Konstanten C1 und C2 mit
Beweis: Sei zunachst II f II P. 2 < =; dann gilt fur alle ({i E S
n n .
<t 5-2 L Ll~ekf, ({i ~ ) = <t5-2 L (el6Vk _1)2 f~, ({i )
k~l k~l
11
Hierbei sind alle Operationen erlaubt, da (1 + Iv 12)-1, (eit1Vk -1)2 E OM und somit
ebenfalls das Produkt
n
L
2g~(v)-!5-2(1+lvI2)-1 (eit1Vk_1)"
k~l
ZU OM gehort. Mithin haben wir nach dem Faltungssatz
(3.2) (q:> E S).
Dber 2g E O~ hinaus ist 2g sogar eine LLFunktion, denn aus der Darstellung der
Fouriertransformierten 2 g ~ und den Lemmata 2.3 und 2.5 folgt
I! 2g111 ~ II d,u~l) 111 II !5-ng2W1 x) 111 = II d,u~l) lit II g2111 < 00.
Da es sich also auf beiden Seiten von (3.2) urn regulare Distributionen handelt, folgt
insbesondere
(3.3) f. u.
und hieraus mit der ublichen Normabschatzung unter Beachtung von
die gewunschte Relation
1st nun umgekehrt 2111 f Illp < 00, so folgt insbesondere
Dann existiert auf Grund der schwachen* Kompaktheit eine Teilfolge {15m}, wobei wir
15m wieder durch 15 ersetzen, und ein MaB ,u E M im FaIle p = 1, bzw. eine Funktion
g E LP, falls 1 <p ~ 00, so daB
£.
(3.5) lim - f 15-2 !J~ k f (x) hex) dx = J hex) { d,u(x) }
"-+0 k~l e g(x) dx
fUr alle hE Co, falls p = 1, bzw. fUr alle hELP', falls 1 <p ~ 00; und insbesondere
Speziell gilt nun fUr q:> E S
£.
!J~ekJ, q:>~>=<{d,u}, q:>~>=<{[d~r},q:»
lim<-!5-2
"-+0 k~l g g
= lim <_15-2 Ln: (e.' ''Vk_1)2f~,q:» = <lvI2f~,q:».
6-+0 k ~ 1
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