Table Of ContentKlassische Texte der Wissenschaft
Bernhard Riemann
Über die
Hypothesen, welche
der Geometrie
zu Grunde liegen
historisch und mathematisch kommentiert
von Jürgen Jost
Klassische Texte der Wissenschaft
Herausgeber
Prof.Dr.Dr.Olaf Breidbach
Prof.Dr.Jürgen Jost
Die Reihe bietet zentrale Publikationen der Wissenschaftsentwicklung
der Mathematik und Naturwissenschaften in sorgfältig editierten, de-
tailliert kommentierten und kompetent interpretierten Neuausgaben. In
informativer und leicht lesbarer Form erschließen die von renommier-
ten WissenschaftlerInnenstammendenKommentaredenhistorischenund
wissenschaftlichenHintergrundderWerkeundschaffensoeineverlässliche
Grundlage für Seminare an Universitäten und Schulen wie auch zu einer
erstenOrientierungfüramThemaInteressierte.
Bernhard Riemann
Bernhard Riemann
„Über die Hypothesen,
welche der Geometrie
zu Grunde liegen“
historisch und mathematisch kommentiert
von Jürgen Jost
BernhardRiemann(1826–1866)
ISBN978-3-642-35120-4 ISBN978-3-642-35121-1(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-35121-1
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de-
tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2012):51-03,5303,53B20,53Z05,00A30,01A55,83-03
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2013
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Vorwort
So könnte der Plot eines Romans aussehen:Ein schüchterner, kränklicher, in ärmlichen
Verhältnissen lebender junger Mathematiker, dem es nicht gelingt, in näheren Kontakt
zu der großen mathematischen Koryphäe seiner Zeit zu treten, muss für sein Habili-
tationskolloquium drei Themen zur Auswahl angeben. Die ersten beiden knüpfen an
seinebedeutendenFachbeiträgean,dieerschongeleistethat.AusVerlegenheit,undweil
er davon ausgeht, dass, wie üblich, sowieso das erste Thema gewählt wird, nennt er als
drittes schließlich ein eher vages naturphilosophisches Thema. Zu seiner Überraschung
wird gerade dieses gewählt. Statt sich nun aber mit dem Wissensstand der Fachdiszi-
plin vertraut zu machen und die wirklich bedeutende Vorentdeckung, die das gesamte
Gebiet erschüttert hat, zu rezipieren, vertieft er sich lieber in einen obskuren Philoso-
phen. Sein Vortrag aber dringt dann so tief wie noch niemals zuvor in ein Gebiet ein,
das die größten Denker der Menschheit seit der Antike beschäftigt hat, und ahnt so-
gar noch die größte Entdeckung der Physik des nachfolgenden Jahrhunderts voraus.
SelbstderBeitragdesGroßstarsderdeutschenWissenschaft,dersichvoneinemanderen
Gesichtspunkt und unabhängig dem gleichen Thema genähert hatte, verblasst vor der
TiefederEinsichtunseresjungenMathematikers.Andere,ansonsteninderWissenschaft
bedeutende Männertreten unrühmlich mit grotesken Fehlurteilen überdenangeschnit-
tenen Sachverhalt hervor, nachdem der Vortrag erst posthum nach dem frühen Tode
unseres Protagonisten von einem Freund veröffentlicht worden ist. Generationen nach-
folgender Mathematiker arbeiten die in dem kurzen Vortrag skizzierten Ideen aus und
bestätigen deren vollständige Gültigkeit und Tragfähigkeit und außerordentliche Reich-
weite.
DiesistaberkeinRoman,dennsoähnlichhatessichtatsächlichzugetragen.Geneig-
teLeserinnenundLeserwerdenmirhoffentlichgewisseÜbertreibungennachsehen,und
selbstverständlichwird in den nachfolgendenAusführungenalles richtiggestellt werden.
DerjungeMathematikerwarBernhardRiemann,undderVortraghieß„UeberdieHypo-
thesen,welchederGeometriezuGrundeliegen“.DiemathematischeKoryphäewarCarl
FriedrichGauß,derWissenschaftsstarHermannvonHelmholtz,diemathematischeEnt-
deckung diejenige der nichteuklidischen Geometrie, der Philosophderheute vergessene
JohannFriedrichHerbart,diephysikalischeEntdeckung dieallgemeine Relativitätstheo-
rieAlbertEinsteins.ZudenLeuten,diezuunrühmlichenFehlurteilengelangten,gehörten
V
VI Vorwort
u.a.derPsychologeWilhelmWundtundderPhilosophBertrandRussell.DerFreund,der
sichumdieVeröffentlichungkümmerte,warderMathematikerRichardDedekind.Zuden
GenerationennachfolgenderMathematiker,fürderenForschungdieIdeenRiemannseine
wesentlicheInspirationwaren,gehörtauchderHerausgeber.
WissenschaftlerleseneinenwissenschaftlichenTextüblicherweisevomjetzigenStand
derWissenschafther,interpretierenihnimHinblickaufnachfolgendeEntwicklungen,su-
chenallenfallsnochnachunausgelotetemPotentialfüraktuellewissenschaftlicheProble-
me. Historiker dagegen sindgehalten, die Position eines Textes innerhalbdes Diskurses
seiner Zeit zu bestimmen oder seine Entstehung zu rekonstruieren und seine Rezepti-
onsgeschichtezuanalysieren.AuchwennindergegenwärtigenDiskussionüberdieRolle
derGeisteswissenschaftendieBedeutungdergeschichtlichenWissenschaftenfürdasVer-
ständnisderGegenwartindenVordergrundgestelltwird,suchenMathematikernachdem
zeitlosenGehaltundnichtnachdengeschichtlichenBedingtheitenwissenschaftlicherTex-
te. Für den Wissenschaftler sind Irrwege uninteressant oder ärgerliche Hindernisse auf
einemWege,dergeradlinigerhätteverlaufensollen,fürdenHistorikerkönnensiewichti-
geEinsichteninideengeschichtlicheAbläufeunddieDynamikvonDiskursenliefern.Für
denWissenschaftlersinddaherTexte,derenWirkungverblasstist,ohneInteresse.Fürden
HistorikeristdieserInteresseverlustTeilderRezeptionsgeschichte.
DiesistderSpannungsrahmen,indersichdieseEditionvonRiemanns„ÜberdieHy-
pothesen,welchederGeometriezugrundeliegen“bewegt. DerHerausgeber istFachwis-
senschaftler,keinWissenschaftshistoriker.DaherwirddieGeschichteauchhiermanchmal
rückwärtsgelesen.InsbesonderesindbeidieserEditioneingehenderephilologischeStudi-
enunterblieben.
GemäßdemCharakterderReihekonnteauchkeineeigentlich mathematischeDarle-
gungderwesentlichenSachverhaltevorgenommenwerden,weildieseinenaufwändigeren
Formalismusbenötigt hätte. (Allerdings wirdder mathematischeStellenkommentar von
HermannWeylinderFassungvon1923imAnschlussanRiemannsTextwiedergegeben.)
Ich habestattdessenversucht, diegrundlegenden KonzepteundtragendenGedanken in
Wortenzuerklären,auchwenndadurchdieDarstellungunvermeidlichanPräzisionein-
gebüßthat.
Wieschonerwähnt,binichkeinMathematikhistoriker.Umsomehrbinichdahereini-
genfachkundigenMathematikhistorikern,undzwarErhardScholzundRüdigerThiele,für
ihre sehr hilfreichen Kommentare, Korrekturvorschläge und Literaturhinweise dankbar,
wobei selbstverständlich die Verantwortung für alle Unzulänglichkeiten der nachfolgen-
denAusführungenalleinebeimirliegt.DemHelmholtzexpertenJochenBrüningbinich
ebenfallsfürseineeinsichtsvollen Kommentareverpflichtet. FüreinigeKorrekturenkurz
vorDrucklegungbinichKlausVolkertdankbar.
IchdankeIngoBrüggemann,demBibliothekardesMax-Planck-InstitutesfürMathe-
matikindenNaturwissenschaften,undseinenMitarbeiterinnenfürwertvolleundeffizi-
enteHilfebeiderLiteraturbeschaffung.
Vorwort VII
GanzbesondersdankeichnatürlichmeinemFreundeOlafBreidbachfürseineInitiative
zur Begründung der wissenschaftsgeschichlichen Reihe, in welcher diese kommentierte
AusgabevonRiemannsgrundlegenderSchriftnunerscheinenkann.
Leipzig,imAugust2012
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 HistorischeEinführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 DasRaumprobleminderPhysik,vonAristotelesbisNewton . . . . . . . . 9
2.2 KantsPhilosophiedesRaumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 DereuklidischeRaumalsGrundmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Die Entwicklung der Geometrie: nichteuklidische Geometrie und
Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 DieEntstehungvonRiemannsHabilitationsvortrag . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 RiemannsHabiblitationsvortrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 AbgedrucktnachS.304–319derGesammeltenWerke . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 StellenkommentarvonHermannWeyl(nachS.740–768dergesammelten
WerkevonBernhardRiemann). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 PräsentationdesTextes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 KurzeZusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 DiewesentlichenAussagendesTextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 ErläuterungderArgumentationRiemanns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Rezeptions-undWirkungsgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1 Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 DieWeiterentwicklungderRiemannschenGeometrieunddieEinstein-
scheRelativitätstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 LieunddieTheoriederSymmetriegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4 WeylunddasKonzeptdesZusammenhangseinerMannigfaltigkeit . . . . 112
5.5 RäumealsMöglichkeitendergeometrischenDarstellungvonStrukturen 115
5.6 Riemann,HelmholtzunddieNeukantianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.7 DieaxiomatischeBegründungderGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.8 DerKonventionalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.9 AbstrakteRaumkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
IX
X Inhaltsverzeichnis
6 PositionenderForschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 DieglobaleStrukturvonMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 RiemannscheGeometrieundmodernePhysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7 KommentierteAuswahlbibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.1 VerschiedeneAusgabendesTextes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 Bibliographien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3 Einführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 WichtigeMonographienundArtikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
BiographischerAbrissundZeittafel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
