BASISBOEK WISKUNDE - Universiteit van Amsterdam

93 Pages·2013·0.91 MB·Dutch

BASISBOEK WISKUNDE
Jan van de Craats en Rob Bosch
Tweede editie
ISBN:978-90-430-1673-5
NUR:123
Trefw: wiskunde,wiskundeonderwijs
DitiseenuitgavevanPearsonEducationBeneluxbv,
Postbus75598,1070ANAmsterdam
Website: www.pearsoneducation.nl – e-mail: [email protected]
IllustratiesenLATEX-opmaak: JanvandeCraats
Omslag: Inkahootz,Amsterdam
Prof.dr.J.vandeCraatsishoogleraarindewiskundeaandeUniversiteitvan
AmsterdamendeOpenUniversiteit,dr.R.Boschisuniversitairhoofddocent
wiskundeaandeNederlandseDefensieAcademie.
Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet met chloorhoudende chemicalie¨n is gebleekt.
Hierdoorisdeproductievanditboekminderbelastendvoorhetmilieu.
Copyright(cid:13)c 2009JanvandeCraatsenRobBosch
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any
formorbyanymeans,electronicormechanical,includingphotocopying,recordingor
byanyinformationstorageretrievalsystem,withoutpermissionofthepublisher.
Allerechtenvoorbehouden. Nietsuitdezeuitgavemagwordenverveelvoudigd,op-
geslagenineengeautomatiseerdgegevensbestand,ofopenbaargemaakt,inenigevorm
of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopiee¨n, opnamen, of
enigeanderemanier,zondervoorafgaandetoestemmingvandeuitgever.
Voorzoverhetmakenvankopiee¨nuitdezeuitgavenistoegestaanopgrondvanartikel
16BAuteurswet1912j∗hetBesluitvan20juni1974,St.b.351,zoalsgewijzigdbijBesluit
van23augustus1985,St.b. 471enartikel17Auteurswet1912,dientmendedaarvoor
wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht. Voor
hetovernemenvangedeelte(n)uitdezeuitgaveinbloemlezingen, readersofandere
compilatie- of andere werken (artikel 16 Auteurswet 1912), in welke vorm dan ook,
dientmenzichtotdeuitgevertewenden.
Leeswijzer
Ditiseenoefenboek.Elkhoofdstukbegintopdelinkerbladzijdemetopgaven.
Jekunterdirectmeeaandeslag,wantdeeersteopgavenzijnaltijdgemakke-
lijk. Geleidelijkwordenzemoeilijker. Zodrajeeenopgavegemaakthebt,kun
jejeantwoordachterincontroleren.
Op derechterbladzijden staat, heel beknopt, detheorie die jenodig hebtom
de opgaven links te kunnen maken. Je kunt daar naar behoefte gebruik van
maken. Kom je termen of begrippen tegen die daar niet verklaard worden,
dan kun je via het trefwoordenregister dat achterin het boek staat, de plaats
vindenwaardieuitlegwe´lstaat.
Belangrijke formules, definities en stellingen zijn op de rechterbladzijden in
de kleur blauw gedrukt. De meeste ervan vind je ook weer terug in het for-
muleoverzichtopbladzijde??enverder.
In dit boek werken we met een decimale punt, en niet met een decimale
komma, in overeenstemming met wat thans algemeen gebruikelijk is in de
internationalewetenschappelijkeentechnischeliteratuur.
Het Griekse alfabet
α A alfa ι I jota ρ P rho
β B be`ta κ K kappa σ Σ sigma
γ Γ gamma λ Λ lambda τ T tau
δ ∆ delta µ M mu υ Υ upsilon
(cid:101) E epsilon ν N nu ϕ Φ phi
ζ Z ze`ta ξ Ξ xi χ X chi
η H e`ta o O omicron ψ Ψ psi
ϑ Θ the`ta π Π pi ω Ω omega
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
iii
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.

Inhoudsopgave
Voorwoord 1
I Getallen 5
1 Rekenenmetgehelegetallen 6
Optellen,aftrekkenenvermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . 7
Delenmetrest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Delersenpriemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Deggdenhetkgv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Rekenenmetbreuken 12
Rationalegetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Optellenenaftrekkenvanbreuken . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Vermenigvuldigenendelenvanbreuken . . . . . . . . . . . . . 17
3 Machtenenwortels 18
Gehelemachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Wortelsvangehelegetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Wortelsvanbreukeninstandaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 23
Hogeremachtswortelsinstandaardvorm. . . . . . . . . . . . . . 25
Gebrokenmachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Algebra 29
4 Rekenenmetletters 30
Prioriteitsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Rekenenmetmachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Haakjesuitwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Factorenbuitenhaakjesbrengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Debananenformule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Merkwaardigeproducten 40
Hetkwadraatvaneensomofeenverschil . . . . . . . . . . . . . 41
Hetverschilvantweekwadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
v
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.
6 Breukenmetletters 46
Splitsenenondere´e´nnoemerbrengen . . . . . . . . . . . . . . . 47
Breukenvereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III Getallenrijen 51
7 Faculteitenenbinomiaalcoe¨fficie¨nten 52
Deformulesvoor(a+b)3en(a+b)4 . . . . . . . . . . . . . . . 53
Binomiaalcoe¨fficie¨ntenendedriehoekvanPascal . . . . . . . . 55
Hetberekenenvanbinomiaalcoe¨fficie¨nten . . . . . . . . . . . . . 57
HetbinomiumvanNewtonendesigma-notatie . . . . . . . . . 59
8 Rijenenlimieten 60
Rekenkundigerijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Meetkundigerijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Repeterendedecimalegetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Specialelimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Limietenvanquotie¨nten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Snellestijgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Watispreciesdelimietvaneenrij? . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV Vergelijkingen 71
9 Eerstegraadsvergelijkingen 72
Algemeneoplossingsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Eenvergelijkingreducerentoteeneerstegraadsvergelijking. . . 77
10 Tweedegraadsvergelijkingen 78
Tweedegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kwadraatafsplitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Deabc-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11 Stelselseerstegraadsvergelijkingen 84
Tweevergelijkingenmettweeonbekenden . . . . . . . . . . . . 85
Drievergelijkingenmetdrieonbekenden . . . . . . . . . . . . . 87
V Meetkunde 89
12 Lijneninhetvlak 90
Devergelijkingvaneenlijninhetvlak . . . . . . . . . . . . . . . 91
Devergelijkingvandelijndoortweepunten . . . . . . . . . . . 93
Hetsnijpuntvantweelijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13 Afstandenenhoeken 96
Afstandenmiddelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Denormaalvectorvaneenlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Loodrechtestandvanlijnenenvectoren . . . . . . . . . . . . . . 101
Hetinproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
vi
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.
14 Cirkels 104
Cirkelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Desnijpuntenvaneencirkeleneenlijn . . . . . . . . . . . . . . 107
Desnijpuntenvantweecirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Raaklijnenaaneencirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
15 Meetkundeinderuimte 112
Coo¨rdinateneninproductinderuimte. . . . . . . . . . . . . . . 113
Vlakkenennormaalvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Evenwijdigeenelkaarsnijdendevlakken . . . . . . . . . . . . . 117
Dedrievlakkenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Bollenenraakvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VI Functies 123
16 Functiesengrafieken 124
Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Tweedegraadsfunctiesenparabolen . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Snijpuntenvangrafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Gebrokenlineairefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Machtsfuncties,wortelfunctiesendeabsolute-waardefunctie . . 133
Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Rationalefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
17 Goniometrie 138
Hoekmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Desinus,decosinusendetangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Detangensopderaaklijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Derechthoekigedriehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Optelformulesendubbele-hoekformules . . . . . . . . . . . . . 145
Grafiekenvangoniometrischefuncties . . . . . . . . . . . . . . . 147
Dearcsinus,dearccosinusendearctangens . . . . . . . . . . . . 149
Degrafiekenvandearcsinus,dearccosinusendearctangens. . 151
Eenstandaardlimiet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Driehoeksmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
18 Exponentie¨lefunctiesenlogaritmen 156
Exponentie¨lefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Logaritmischefuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Defunctieex endenatuurlijkelogaritme . . . . . . . . . . . . . 161
Meeroverdenatuurlijkelogaritmefunctie . . . . . . . . . . . . . 163
Standaardlimieten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
vii
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.
19 Geparametriseerdekrommen 166
Krommeninhetvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Poolcoo¨rdinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Krommeninderuimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Rechtelijneninparametervorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
VII Calculus 175
20 Differentie¨ren 176
Raaklijnenafgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Rekenregelsenstandaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Differentieerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Hogereafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Stijgen,dalenenhettekenvandeafgeleide . . . . . . . . . . . . 185
Extremewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Stationairepuntenenbuigpunten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Puzzelenmetfunctiesenhunafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . 191
21 Differentialenenintegralen 192
Differentialen–definitieenrekenregels . . . . . . . . . . . . . . 193
Foutenschattingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Hoegoedisdedifferentiaalalsbenadering?. . . . . . . . . . . . 197
Eenoppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Oppervlakteenprimitievefunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Integralen–algemenedefinitieenrekenregels . . . . . . . . . . 203
Primitievenvanstandaardfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Nogmaalshetverbandtussenoppervlakteenintegraal . . . . . 207
Onbepaaldeintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Deprimitievefunctiesvan f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 211
x
22 Integratietechnieken 212
Desubstitutieregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Explicietesubstituties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Partieelintegreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Gemengdeopgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Voorbeeldenvanpartieelintegreren . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Oneigenlijkeintegralenvantype1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Oneigenlijkeintegralenvantype2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Sommenenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Numeriekeintegratiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Isprimitivereninformulevormaltijdmogelijk? . . . . . . . . . . 229
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
viii
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.
23 Toepassingen 230
Deraakvectoraaneengeparametriseerdekromme . . . . . . . . 231
Delengtevaneenkromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Deinhoudvaneenomwentelingslichaam . . . . . . . . . . . . . 235
Deoppervlaktevaneenomwentelingsoppervlak . . . . . . . . . 237
Exponentie¨legroei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Logistischegroei–hetlijnelementenveld . . . . . . . . . . . . . 241
Logistischegroei–deoplossingsfuncties . . . . . . . . . . . . . 243
VIII Achtergronden 245
24 Ree¨legetallenencoo¨rdinaten 247
Deree¨legetallenrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Deaccolade-notatievoorverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 248
Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Wiskundeenwerkelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Coo¨rdinateninhetvlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
DestellingvanPythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Coo¨rdinateninderuimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
25 Functies,limietenencontinu¨ıteit 253
Functie,domeinenbereik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Inverteerbarefuncties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Periodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Continu¨ıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
26 Aanvullendeafleidingen 261
Inproductencosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Exponentie¨leenlogaritmischefuncties . . . . . . . . . . . . . . . 261
Rekenregelsvoorafgeleidefuncties. . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Differentialenendekettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
ix
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.
Dankbetuiging
Veellezersengebruikershebbenin2005commentaargegevenopvoorlopige
internetversies van dit boek en daarbij onduidelijkheden en fouten gesigna-
leerd.MetnadrukwillenweinditverbandFrankHeiermanbedanken,diede
geheletekstnauwkeurigheeftdoorgelezenentalvannuttigesuggestiesvoor
verbeteringenheeftgedaan.DaarnaastzijnweookHenkPfaltzgraff,HansDe
Prez, Erica Mulder, Rinse Poortinga, Jaap de Jonge, Jantine Bloemhof, Wou-
ter Berkelmans en Pia Pfluger erkentelijk voor hun commentaar. Chris Zaal,
Andre´ HeckenWyboDekkerhebbenonsmetraadendaadbijgestaan. Rosa
GarciaLopezenEvelineKorvingvanPearsonEducationBeneluxdankenwe
voordeplezierigeenstimulerendesamenwerking.
Sinds enige jaren is Marc Appels onze uitgever bij Pearson. Het is een groot
genoegenmethemsamentewerken. Ookdeverderecontactenmetdirectie
enmedewerkersvanPearsonverlopenaltijdbuitengewoonplezierig,efficie¨nt
enprofessioneel. Namennoemenbrengthetrisicometzichmeedatwestille
werkersvergeten. Daarombijdezeeencollectiefdankwoordvoorallemaal!
Deauteurs
DitisdeInternetversievanBasisboekWiskunde,tweedeeditievan
JanvandeCraats&RobBosch.Besteldegedrukte,volledigeversievan
x
ditboek(inclusiefeenformuleoverzicht,deantwoordenvanalleop-
gavenenhettrefwoordenregister)viadeboekhandelofelectronisch
opdesitevandeuitgever: http://www.pearsoneducation.nl. De
internetversiemaguitsluitendvooreigengebruikwordengedown-
load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid worden
onder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,
organisatiesofbedrijven.