Basic Earth Imaging

230 Pages·2010·7.045 MB·English

by  Jon F. Claerbout

Basic Earth Imaging
Jon F. Claerbout
(cid:13)c November 17, 2010

Contents
1 Field recording geometry 1
1.1 RECORDING GEOMETRY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Fast ship versus slow ship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 TEXTURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Texture of horizontal bedding, marine data . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Texture of land data: near-surface problems . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Adjoint operators 11
2.1 FAMILIAR OPERATORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Adjoint derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Zero padding is the transpose of truncation . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Adjoints of products are reverse-ordered products of adjoints . . . . 16
2.1.4 Nearest-neighbor coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Data-push binning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.6 Linear interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.7 Causal integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 ADJOINTS AND INVERSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Dot product test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Waves in strata 23
3.1 TRAVEL-TIME DEPTH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Vertical exaggeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 HORIZONTALLY MOVING WAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 LMO by nearest-neighbor interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 28
CONTENTS
3.2.3 Muting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 DIPPING WAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Rays and fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Snell waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.3 Evanescent waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.4 Solution to kinematic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 CURVED WAVEFRONTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Root-mean-square velocity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Layered media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3 Nonhyperbolic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Velocity increasing linearly with depth . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.5 Prior RMS velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Moveout, velocity, and stacking 39
4.1 INTERPOLATION AS A MATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Looping over input space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Looping over output space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Formal inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 THE NORMAL MOVEOUT MAPPING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 COMMON-MIDPOINT STACKING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Crossing traveltime curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Ideal weighting functions for stacking . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.3 Gulf of Mexico stack and AGC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 VELOCITY SPECTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 Velocity picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Stabilizing RMS velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Zero-offset migration 57
5.1 MIGRATION DEFINED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 A dipping reflector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Dipping-reflector shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.3 Hand migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.4 A powerful analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
CONTENTS
5.1.5 Limitations of the exploding-reflector concept . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 HYPERBOLA PROGRAMMING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Tutorial Kirchhoff code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Fast Kirchhoff code. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.3 Kirchhoff artifacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.4 Sampling and aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.5 Kirchhoff migration of field data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6 Waves and Fourier sums 73
6.1 FOURIER TRANSFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1.1 FT as an invertible matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2 The Nyquist frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.3 Laying out a mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 INVERTIBLE SLOW FT PROGRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 The simple FT code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 CORRELATION AND SPECTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.1 Spectra in terms of Z-transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.2 Two ways to compute a spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.3 Common signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 SETTING UP THE FAST FOURIER TRANSFORM . . . . . . . . . . . . 82
6.4.1 Shifted spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 SETTING UP 2-D FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5.1 Basics of two-dimensional Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5.2 Guide through the 2-D FT of real data . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5.3 Signs in Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5.4 Simple examples of 2-D FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5.5 Magic with 2-D Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5.6 Passive seismology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5.7 The Stolt method of migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6 THE HALF-ORDER DERIVATIVE WAVEFORM . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6.1 Hankel tail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
CONTENTS
7 Downward continuation 99
7.1 MIGRATION BY DOWNWARD CONTINUATION . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.1 Huygens secondary point source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.2 Migration derived from downward continuation . . . . . . . . . . . . 102
7.2 DOWNWARD CONTINUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Continuation of a dipping plane wave. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.2 Downward continuation with Fourier transform . . . . . . . . . . . . 105
7.2.3 Linking Snell waves to Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 PHASE-SHIFT MIGRATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1 Pseudocode to working code. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3.2 Kirchhoff versus phase-shift migration . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.3 Damped square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3.4 Adjointness and ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . 112
7.3.5 Vertical exaggeration example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.6 Vertical and horizontal resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.7 Field data migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8 Dip and offset together 119
8.1 PRESTACK MIGRATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.1 Cheops’ pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.1.2 Prestack migration ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.3 Constant offset migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2 INTRODUCTION TO DIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.1 The response of two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.2 The dipping bed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3 TROUBLE WITH DIPPING REFLECTORS . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3.1 Gulf of Mexico example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 SHERWOOD’S DEVILISH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5 ROCCA’S SMEAR OPERATOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5.1 Push and pull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5.2 Dip moveout with v(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.5.3 Randomly dipping layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
CONTENTS
8.5.4 Many rocks on a shallow water bottom. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.6 GARDNER’S SMEAR OPERATOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.6.1 Residual NMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.6.2 Results of our DMO program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9 Finite-difference migration 145
9.1 THE PARABOLIC EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 SPLITTING AND SEPARATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1 The heat-flow equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.2 Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.3 Full separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.4 Splitting the parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.5 Validity of the splitting and full-separation concepts . . . . . . . . . 149
9.3 FINITE DIFFERENCING IN (omega,x)-SPACE . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3.1 The lens equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3.2 First derivatives, explicit method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3.3 First derivatives, implicit method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3.4 Explicit heat-flow equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3.5 The leapfrog method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.3.6 The Crank-Nicolson method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.3.7 Solving tridiagonal simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . 156
9.3.8 Finite-differencing in the time domain . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4 WAVEMOVIE PROGRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.1 Earth surface boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.2 Frames changing with time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.4.3 Internals of the film-loop program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.4.4 Side-boundary analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.4.5 Lateral velocity variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.4.6 Migration in (omega,x)-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.5 HIGHER ANGLE ACCURACY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.5.1 Another way to the parabolic wave equation . . . . . . . . . . . . . 166
9.5.2 Muir square-root expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
CONTENTS
9.5.3 Dispersion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.5.4 The xxz derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.5.5 Time-domain parabolic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.5.6 Wavefront healing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10 Imaging in shot-geophone space 173
10.1 TOMOGRAPY OF REFLECTION DATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.1.1 The grand isle gas field: a classic bright spot . . . . . . . . . . . . . 173
10.1.2 Kjartansson’s model for lateral variation in amplitude . . . . . . . . 175
10.1.3 Rotten alligators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.1.4 Focusing or absorption? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2 SEISMIC RECIPROCITY IN PRINCIPLE AND IN PRACTICE . . . . . . 179
10.3 SURVEY SINKING WITH THE DSR EQUATION . . . . . . . . . . . . . 183
10.3.1 The survey-sinking concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3.2 Survey sinking with the double-square-root equation . . . . . . . . . 184
10.3.3 The DSR equation in shot-geophone space . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3.4 The DSR equation in midpoint-offset space . . . . . . . . . . . . . . 186
10.4 THE MEANING OF THE DSR EQUATION . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4.1 Zero-dip stacking (Y = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4.2 Giving up on the DSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11 Antialiased hyperbolas 191
11.0.3 Amplitude pitfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.1 MIMICING FIELD ARRAY ANTIALIASING . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.1.1 Adjoint of data acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.1.2 NMO and stack with a rectangle footprint . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.1.3 Coding a triangle footprint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.2 MIGRATION WITH ANTIALIASING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.2.1 Use of the antialiasing parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.2.2 Orthogonality of crossing plane waves . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.3 ANTIALIASED OPERATIONS ON A CMP GATHER . . . . . . . . . . . 204
11.3.1 Iterative velocity transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
CONTENTS
12 RATional FORtran == Ratfor 209
13 Seplib and SEP software 211
13.1 THE DATA CUBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.2 THE HISTORY FILE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.3 MEMORY ALLOCATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.3.1 Memory allocation in subroutines with sat . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.3.2 The main program environment with saw . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.4 SHARED SUBROUTINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.5 REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
CONTENTS