Bases_da_Mecnica_e_da_Termodinmica_dos_Meios_Contnuos

175 Pages·1.301 MB·Portuguese

Adalberto B. M. S. Bassi
______________________________________

Bases da Mecânica e da
Termodinâmica dos Meios Contínuos

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Química
Campinas
2011
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP
Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP /
Diretoria de Tratamento da Informação
Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724

B294b Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi

Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios

contínuos / Adalberto B. M. S. Bassi. -- Campinas, SP:

UNICAMP/Instituto de Química, 2011.

“Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com)
sob licença Creative Commons
(http://www.creativecommons.org.br)”

1. Termodinâmica. 2. Química. 3. Físico-química.
I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química.
II. Título.

CDD – 541.369

– 540

– 541.3

ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel)

ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet)

Palavras Chave:
Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial;
Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química

Keywords:
Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis;
Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry

Equipe:
Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos
Editor: João Carlos de Andrade

Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Química
Caixa Postal 6154
13084-970 Campinas (SP)

2011© Adalberto B. M. S. Bassi
Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons
(http://www.creativecommons.org.br)
Sobre o Autor
Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Niter´oi, RJ e formou-se Qu´ımico Industrial
em 1966, pela antiga Escola Nacional de Qu´ımica da Universidade do Brasil, hoje Es-
cola de Qu´ımica da UFRJ. Fez p´os-gradua¸c˜ao no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas
e ingressou no corpo docente do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1970, onde
permanece at´e o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Qu´ımica da UNI-
CAMP em 1976, com uma tese na ´area de interpreta¸c˜ao, por meios mecˆanico-quˆanticos,
de intensidades roto-vibracionais de mol´eculas em estado gasoso. Em 1977, fez p´os-
doutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente,
nesta mesma ´area foram defendidos, sob sua orienta¸c˜ao, trabalhos de mestrado e douto-
rado. Dedicou-se, ent˜ao, a diversas atividades acadˆemico-administrativas, entre as quais
destacam-se a de Diretor do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP e a de Pr´o-Reitor de
Ensino de Gradua¸c˜ao da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividades
acadˆemico-administrativas apenas a fun¸c˜oes eletivas de representa¸c˜ao, junto aos ´org˜aos
colegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a ori-
enta¸c˜ao e o ensino em Mecˆanica e Termodinˆamica dos Meios Cont´ınuos, bem como em
Termodinˆamica dos Processos Homogˆeneos.
i
Preˆambulo
A mecˆanica dos meios cont´ınuos ´e um desenvolvimento da antiga mecˆanica dos fluidos, a
qual n˜ao considerava a segunda lei da termodinˆamica. Ambas s˜ao ciˆencias para o mundo
macrosc´opico, ouseja, comotamb´emfazqualqueroutraciˆenciacl´assica, porcausadauti-
liza¸c˜ao do c´alculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macrosc´opico
para regi˜oes microsc´opicas, onde na verdade tal comportamento n˜ao ocorre. Ali´as, a con-
firma¸c˜aoexperimentaldacorre¸c˜aodosresultadosobtidosmedianteestaextrapola¸c˜ao, em
todas as ciˆencias cl´assicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas do
passado defenderam ardorosamente a continuidade da mat´eria. Hoje, sabe-se que esta
extrapola¸c˜ao ´e correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultados
no mundo macrosc´opico.
A mecˆanica dos meios cont´ınuos, por´em, n˜ao ´e s´o um aperfei¸coamento da mecˆanica
dos fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequˆencia, propriedades como a ener-
gia de Gibbs, ela mostra suas profundas ra´ızes na termodinˆamica cl´assica. Por´em, ao
contr´ario desta mas como faz a mecˆanica newtoniana, a mecˆanica dos meios cont´ınuos
considera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espa¸co. Por isto,
os seus processos n˜ao s˜ao homogˆeneos e atemporais, como os da termodinˆamica cl´assica.
Tamb´em por isto, ela n˜ao est´a restrita a processos limites, nem a apenas interligar es-
tados de equil´ıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macrosc´opico
real de modo muito mais pr´oximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinˆamica
cl´assica.
Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absor¸c˜ao, por
parte da mecˆanica dos meios cont´ınuios, dos conceitos b´asicos da termodinˆamica dos pro-
cessos irrevers´ıveis. Estas duas ra´ızes s˜ao t˜ao fundamentais quanto aquela na mecˆanica
dos fluidos. A elas ´e adicionado o arsenal matem´atico que a an´alise tensorial dispo-
nibiliza, facilitando um enfoque pragm´atico e computacional extremamente u´til para a
engenharia dos materiais. A uni˜ao de teorias que se sintetizou na mecˆanica dos meios
cont´ınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a an´alise tensorial ´e uma po-
derosa ferramenta matem´atica moderna, absolutamente n˜ao dispon´ıvel na ´epoca em que
a termodinˆamica cl´assica foi desenvolvida.
De acordo com a mecˆanica dos meios cont´ınuos, o que se conserva ´e a energia total,
n˜ao ´e a energia interna. A conserva¸c˜ao da energia ´e colocada como um dos pilares desta
ciˆencia, junto com as conserva¸c˜oes da massa e dos momentos linear e angular. Por outro
lado, frequentemente a segunda lei da termodinˆamica´e tratada como uma mera condi¸c˜ao
limitante, a ser inclu´ıda na constru¸c˜ao dos funcionais constitutivos. Por isto, embora a
existˆencia das mencionadas ra´ızes termodinˆamicas, este nome nem sempre ´e associado
`a mecˆanica dos meios cont´ınuos. Ali´as, os t´ıtulos das sete referˆencias b´asicas listadas
na bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta ciˆencia. Este
autor prefere manter associadas as palavras mecˆanica e termodinˆamica, como fazem os
ii
t´ıtulos da primeira e quarta referˆencias.
Isto parece correto porque come¸ca-se a perceber uma baixa utiliza¸c˜ao do potencial
antes mencionado, n˜ao sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwa-
res”, mas sim sob o aspecto conceitual f´ısico-qu´ımico. De fato, feita exce¸c˜ao a numerosos
trabalhos puramente matem´aticos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o en-
tendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecˆanica dos meios cont´ınuos.
Pelo contr´ario, percebe-se a tendˆencia de apenas aplic´a-los, de modo cada vez mais efici-
ente e produtivo, naquilo que j´a se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos.
Logo, estreitar a associac¸˜ao entre a mecˆanica e a termodinˆamica, a primeira fortemente
matem´atica e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta ciˆencia.
Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresse esteja nos conhecimentos
matem´aticos necess´arios para uma precisa compreens˜ao conceitual do que as equa¸c˜oes
refletem. Defato, trata-sedeumabasematem´aticaincomumentrequ´ımicoseat´emesmo
entref´ısicos, an˜aosernosseusaspectospuramenteoperacionais. Oobjetivodestetexto´e
ajudar na aquisi¸c˜ao desta base matem´atica conceitual, sem a qual´e realmente imposs´ıvel
entender o significado f´ısico das equa¸c˜oes utilizadas pela mecˆanica dos meios cont´ınuos.
Este texto n˜ao se destina a matem´aticos, mas sim a leitores que possuam conhecimentos
apenas operacionais, ou rudimentares, de c´alculo diferencial e integral.
Ele inicia-se com um longo cap´ıtulo de ´algebra e c´alculo tensorial, seguido por um
cap´ıtulo de cinem´atica onde alguns conceitos f´ısicos come¸cam a aparecer. A parte fun-
damental do segundo cap´ıtulo ´e a sua se¸c˜ao sobre movimento, mas a compreens˜ao deste
conceito exige a leitura das se¸c˜oes anteriores, principalmente da primeira. A u´ltima se¸c˜ao
deste cap´ıtulo ´e um pouco mais complexa, mas n˜ao pode deixar de ser entendida, porque
ser´a usada em cap´ıtulos posteriores. O terceiro cap´ıtulo, sobre balanceamento, engloba
a conceitua¸c˜ao f´ısica principal. No u´ltimo cap´ıtulo s˜ao colocadas algumas no¸c˜oes b´asicas
sobre os funcionais constitutivos.
Este texto segue, em suas linhas gerais, o apˆendice e os primeiros trˆes cap´ıtulos
da segunda referˆencia citada procurando, por´em, ser mais acess´ıvel para o leitor n˜ao
matem´atico. Devido `a forte admira¸c˜ao do autor pela penu´ltima referˆencia, este texto
´e inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, tamb´em, as consequˆencias de ser o autor
muitointeressadonatermodinˆamicadosprocessoshomogˆeneos,que´eumavis˜aotemporal
da termodinˆamica cl´assica, muito u´til no estudo de estados da mat´eria homogˆeneos, mas
n˜ao est´aveis, tais como vidros, l´ıquidos superresfriados etc. A primeira referˆencia ´e
extremante atual e abrangente. A u´ltima, por causa da proposi¸c˜ao da desigualdade de
Clausius-Duhem, ´e geralmente considerada o marco inicial da mecˆanica e termodinˆamica
dos meios cont´ınuos. Sem dem´erito para dezenas de outras excelentes referˆencias, o autor
considera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria.
Campinas, janeiro de 2011.
iii
Sum´ario
1 An´alise Tensorial Elementar 1
1.1 S´ımbolos, Fun¸c˜ao e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
´
1.2 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 12
1.2.5 Transposi¸c˜ao de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre
´
Indice e Super´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 Composi¸c˜ao de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 20
1.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8 Regras para Transforma¸c˜ao de Componentes de Vetor e de Tensor
de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.9 Determinante e Tra¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.10 Produto Interno, Invers˜ao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de
Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.13 Teoremas para a Mecˆanica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . . 45
1.2.14 Espa¸co Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3 C´alculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.1 Diferencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.2 Aplica¸c˜oes da Diferencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.5 Operadores para a Mecˆanica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . 75
2 Cinem´atica 82
2.1 Configura¸c˜ao e Deforma¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.1 Gradiente de Deforma¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deforma¸c˜ao . . . . . . . 84
2.1.3 Mudan¸ca de Configura¸c˜ao Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Tra¸c˜ao e Rota¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3 Tra¸c˜ao e Rota¸c˜ao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.1 Conceito B´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.2 Descri¸c˜oes Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 Deforma¸c˜ao Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iv
2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5.2 Velocidade de Altera¸c˜ao da Tendˆencia de Deforma¸c˜ao . . . . . . . 101
2.6 Mudan¸ca de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.1 Transforma¸c˜ao Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.2 Transforma¸c˜oes Galileiana e R´ıgida Independente de t . . . . . . . 107
2.6.3 Aplica¸c˜oes para Grandezas Cinem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Balanceamento 112
3.1 Equa¸c˜oes de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.1 Equa¸c˜oes de Balanceamento na Configurac¸˜ao Corrente . . . . . . 112
3.1.2 Equa¸c˜oes de Balanceamento na Configurac¸˜ao Referencial . . . . . 118
3.1.3 Compatibilidade Cinem´atica da Superf´ıcie Singular . . . . . . . . 122
3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.2 For¸ca e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.3 Tensor de Tra¸c˜ao de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . . . . . . 131
3.3.5 Balanceamento de Energia Cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Equa¸c˜oes Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.1 Equa¸c˜oes de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸c˜ao Material 139
3.4.2 Condi¸c˜oes de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4.3 Equa¸c˜oes de Campo em Estrutura Referencial Arbitr´aria . . . . . 142
4 Princ´ıpios B´asicos das Teorias Constitutivas 145
4.1 Campos B´asicos, Fun¸c˜oes e Funcionais Constitutivos . . . . . . . . . . . 145
4.2 Princ´ıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.2 Aplica¸c˜ao `a Configura¸c˜ao Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.3 Aplica¸c˜ao a Classes Particulares de Materiais . . . . . . . . . . . 150
4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
v
Cap´ıtulo 1
An´alise Tensorial Elementar
1.1 S´ımbolos, Fun¸c˜ao e Funcional, Matriz
Nota¸c˜ao 1.1.1 (S´ımbolos) O campo dos nu´meros reais ´e representado por <. A
n˜ao ser no caso de s´ımbolos convencionais, como por exemplo o tensor elemento de vo-
lume e, de um modo geral escalares (tensores de ordem zero) ser˜ao representados por
letras minu´sculas em it´alico (a, α,...), vetores (tensores de primeira ordem) por letras
minu´sculas romanas em negrito (u, v,...) e tensores (de qualquer ordem salvo nula e
primeira) por letras maiu´sculas it´alicas (T, F,...). O tensor identidade ser´a represen-
tado 1, enquanto que a matriz identidade ser´a representada por [1]. Entretanto, letras
it´alicas minu´sculas e maiu´sculas poder˜ao ter outros significados, desde que estes sejam
explicitamente informados. Trechos em negrito correspondem a chamadas no ´ındice e,
quando deseja-se ressaltar uma palavra, ela ´e sublinhada por tra¸co duplo. S´ımbolos
matem´aticos:
∈ pertence a ou pertencente a;
⊂ subconjunto de;
∀ para todo;
∃ existe;
{·} conjunto constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
(·) conjunto ordenado constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
[·] matriz constitu´ıda pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
·[·]aplica¸c˜aodotensorrepresentadopeloprimeiro·aotensorrepresentadopelosegundo;
| onde;
2 t´ermino de demonstra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.1.1 (Fun¸c˜ao e Funcional) Sejam dois conjuntos, A e B, de escalares,
vetores, tensores, ou de n-uplas (por exemplo, se n = 2 s˜ao duplas, o que significa
o mesmo que pares ordenados) constitu´ıdas por escalares, vetores, ou tensores. Por
1
defini¸c˜ao, uma regra que relaciona cada elemento de A a, no m´aximo, um u´nico elemento
de B, ´e uma fun¸c˜ao g representada por g : A → B. A express˜ao g : a 7→ b|a ∈
A, b ∈ B indica que, quando a fun¸c˜ao for aplicada ao espec´ıfico elemento a, que ser´a
chamado o argumento da fun¸c˜ao, este elemento ser´a relacionado ao espec´ıfico elemento
b, chamado imagem da func¸˜ao, formando o par ordenado (a,b). Por exemplo, cos :
π/3 7→ 0,5|π/3, 0,5 ∈ <, formando o par ordenado (π/3, 0,5). O conjunto de todos os
pares ordenados criados pela fun¸c˜ao g ´e a pr´opria fun¸c˜ao g, porque tal conjunto explicita
a regra que relaciona cada elemento de A a, no m´aximo, um elemento de B.
O par ordenado (a,b), portanto, ´e o elemento da fun¸c˜ao correspondente ao ar-
gumento a (n˜ao `a imagem b, porque v´arios argumentos podem corresponder `a mesma
´
imagem, mas n˜ao o vice-versa). E muito frequente o uso da representa¸c˜ao g(a) para
indicar b, ou seja, define-se b ≡ g(a) e costuma-se afirmar que “b ´e fun¸c˜ao de a” para
indicar que b ´e a imagem correspondente ao argumento a, atrav´es da fun¸c˜ao g. Se o
conjunto B for constitu´ıdo exclusivamente por escalares (ou vetores, ou tensores etc.),
costuma-se afirmar que g ´e uma “fun¸c˜ao escalar” (ou vetorial, ou tensorial etc.), para
indicar que a imagem da fun¸c˜ao g ´e necessariamente escalar (ou vetorial, ou tensorial
etc.). Por outro lado, a representa¸c˜ao g(·) ´e utilizada para indicar a pr´opria fun¸c˜ao g,
portanto g ≡ g(·).
Se, para um espec´ıfico conjunto D de argumentos a da func¸˜ao g : a 7→ b, a toda
imagem b de a ∈ D corresponder um u´nico argumento a, g ser´a dita fun¸c˜ao de um
para um em D e g−1 : b 7→ a|a ∈ D ser´a a inversa em D da fun¸c˜ao g. Neste caso
poder-se-´a, tamb´em, afirmar que a fun¸c˜ao g ´e invert´ıvel em D. Evidentemente, existe
a possibilidade de que D abranja todos os poss´ıveis argumentos da fun¸c˜ao, situa¸c˜ao esta
em que a express˜ao “em D” ´e omitida.
Sejam,agora,doisconjuntos,C eD,deescalares,vetores,tensores,fun¸c˜oesh : A → B
ou de n-uplas constitu´ıdas por escalares, vetores, tensores ou fun¸c˜oes h : A → B. Por
defini¸c˜ao, uma regra que relaciona cada elemento de C a, no m´aximo, um u´nico elemento
de D, ´e um funcional F representado por F : C → D. Um tipo extremamente simples
de funcional´e a fun¸c˜ao, j´a discutida, porque a defini¸c˜ao de funcional´e uma amplia¸c˜ao da
defini¸c˜ao de fun¸c˜ao, logo n˜ao exclui esta u´ltima. Por isto, tudo o que se seguiu `a seten¸ca
de defini¸c˜ao de fun¸c˜ao, at´e ao fim do par´agrafo anterior, pode ser analogamente colocado
para funcional. Por´em, usa-se o nome funcional apenas quando pelo menos um, entre
os argumentos e imagens de F considerados, for uma fun¸c˜ao, ou uma n-upla contendo
pelo menos uma fun¸c˜ao, porque, quando isto n˜ao ocorrer, seria uma inu´til complica¸c˜ao
usar o nome funcional, ao inv´es de fun¸c˜ao, j´a que esta ´e uma denomina¸c˜ao muito mais
conhecida.
Considerando esta restri¸c˜ao, o exemplo mais simples de funcional ´e a composi¸c˜ao
de fun¸c˜oes, que pode ser grafada g = g ◦g , onde g ´e a fun¸c˜ao argumento, F = g ◦
3 2 1 1 2
´e o funcional e g ´e a fun¸c˜ao imagem, logo g = g ◦g ´e um caso espec´ıfico da express˜ao
3 3 2 1
mais geral g = F(g ). Impor F = g ◦ ´e igual a impor que, se g : x 7→ y e g : x 7→ z,
3 1 2 1 3
exista g : y 7→ z. Conforme ser´a exemplificado a seguir, a existˆencia de g : y 7→ z
2 2
corresponde a uma simplifica¸c˜ao t˜ao radical, em rela¸c˜ao `a express˜ao g = F(g ), sendo
3 1
g : x 7→ y e g : x 7→ z, que o pr´oprio conceito de funcional´e desnecess´ario para explicar
1 3
a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, assim como ´e desnecess´ario para explicar a fun¸c˜ao. Por isto,
n˜ao se usa o nome funcional no caso de composi¸c˜ao de fun¸c˜oes, a qual´e tamb´em chamada
fun¸c˜ao de fun¸c˜ao. Como a imagem z ´e a mesma, ´e usual escrever g(x) = g(y), ao inv´es
2