Bases indispensables des Mathématiques

194 Pages·2014·1.91 MB·French

Bases indispensables des Mathématiques
Julian Tugaut1
3 septembre 2014
1. Si vous avez des remarques ou des questions, envoyez-moi un message à tu-
[email protected]
ii
Table des matières
Table des matières iii
Liste des figures xi
Avant-propos 1
Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
À qui s’adresse le polycopié? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ensembles et structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Trigonométrie et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Algèbre générale 7
1 Ensembles, parties d’un ensemble 9
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Vocabulaire, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Complémentaire d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Négation d’une proposition avec quantificateurs . . . . . . 16
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Structures algébriques 19
2.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1.1 Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1.2 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.3 Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
iii
iv TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II Trigonométrie et nombres complexes 31
3 Trigonométrie 33
3.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Droite réelle et cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Valeurs particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Formules essentielles pour l’intégration . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.6 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.7 Transformation de acos(x)+bsin(x) . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Rappel : Étude d’une fonction de la variable réelle . . . . . 41
3.3.2 Études de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.3 Fonctions sinus et arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.5 Fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Nombres complexes 49
4.1 Corps des nombres complexes, (C,+, ) . . . . . . . . . . . . . . 49
×
4.1.1 Écriture algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . 49
4.1.2 Autres constructions de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2.1 C = R2 avec une multiplication adéquate . . . . . 50
4.1.2.2 C est un sous-espace vectoriel de (R) . . . . . 50
2
M
4.1.2.3 Théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
TABLE DES MATIÈRES v
4.2 Calculs de base dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Équations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Résolution de z2 = Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1.1 Si Z R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
+
∈
4.3.1.2 Si Z R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
∗
∈
4.3.1.3 Si Z / R− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
∈
4.3.2 Résolution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 Groupe (U, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
×
4.4.2 Forme trigonométrique d’un complexe non nul . . . . . . . 56
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Algèbre linéaire 59
5 Espaces vectoriels 61
5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Familles libres, génératrices et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Applications linéaires 67
6.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Application linéaire et sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Calcul matriciel 75
7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.2 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.4 Puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.5 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.6 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Pivot de Gauss 83
8.1 Résolution des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . 83
8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1.2 Résolution par la méthode de la substitution . . . . . . . . 84
vi TABLE DES MATIÈRES
8.2 Approche de la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4 Règles de choix des pivots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.5 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9 Déterminant 91
9.1 Les propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Le calcul du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.1 Pour une matrice de taille 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.2.2 Pour une matrice de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.3 Pour une matrice de taille 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.4 Pour une matrice de taille quelconque . . . . . . . . . . . . 93
9.2.4.1 Si la matrice est diagonale . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.4.2 Si la matrice est triangulaire . . . . . . . . . . . . 94
9.2.4.3 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes 94
9.2.4.4 Le développement par rapport à une ligne ou à
une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2.5 Pour une matrice de taille n non définie . . . . . . . . . . 99
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10 Réduction des endomorphismes 101
10.1 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.1.2 Matrices diagonales ou triangulaires par blocs . . . . . . . 101
10.1.3 Puissances d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.1.4 Polynômes d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2.1 Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . 105
10.2.2 Cas de plusieurs valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.2.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.2.4 Éléments propres d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . 106
10.2.5 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3.1 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . 108
10.3.2 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.4 Triangularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.4.2 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.4.3 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.5 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.5.1 Calcul de la puissance énième d’une matrice carrée . . . . 110
10.5.2 Exponentielle d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . 110
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
TABLE DES MATIÈRES vii
IV Analyse 113
11 Nombres entiers naturels et applications 115
11.1 Nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.1.1 Construction de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.2 Différentes formes de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.1 Récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.2 Récurrence à partir d’un certain rang . . . . . . . . . . . . 116
11.2.3 Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.4 Récurrence complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.5 Récurrence finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2.6 Récurrence descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3.2 Suites définies à l’aide d’une relation de récurrence . . . . 117
11.3.3 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3.4 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.3.5 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12 Séries numériques 121
12.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.1.2.1 Correspondance entre suites et séries . . . . . . . 121
12.1.2.2 Changement d’un nombre fini de termes . . . . . 122
12.1.2.3 Convergence vers 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.1.4 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.5 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.5.1 Critère spécial des séries alternées . . . . . . . . . 124
12.2 Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2.1 Théorème général de comparaison . . . . . . . . . . . . . . 125
12.2.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.2.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.2.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.2.3 Comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.3 Séries à termes réels ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.4 Comparaison entre une série et une intégrale . . . . . . . . . . . . 131
12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13 Calcul intégral 135
13.1 Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.1.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . 135
viii TABLE DES MATIÈRES
13.1.2 Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 136
13.1.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . . . . 138
13.1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.2 Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.2.1 Primitive et intégrale d’une fonction continue . . . . . . . 142
13.2.2 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.2.2.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.2.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . 143
13.2.2.3 Règles de Bioche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.2.2.4 Quelques primitives usuelles . . . . . . . . . . . . 144
13.3 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.4 Espaces L1(R) et L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.4.0.5 Fonctions égales presque partout . . . . . . . . . 146
13.4.1 Espace L1(R) des fonctions sommables (intégrables) . . . . 147
13.4.2 Espace L2(R) des fonctions de carré sommable . . . . . . . 147
13.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14 Équations différentielles 151
14.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.3 Équations différentielles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.2 Espace affine - Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.3 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coeffi-
cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.4 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.4.1 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . 153
14.3.4.2 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . 153
14.3.5 Équations différentielles linéaires du premier ordre à coeffi-
cients non constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.3.5.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . 154
14.3.5.3 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . 154
14.4 Non linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4.3 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.4.4 Équations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.5 Linéaires du 2e ordre à coeffs constants . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.5.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . 157
14.5.3 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . 157
14.5.3.1 Méthode de la variation de la constante . . . . . 157
14.5.3.2 Astuce pour trouver la bonne sortie . . . . . . . . 157
TABLE DES MATIÈRES ix
14.6 Linéaires du 2e ordre à coeffs non constants . . . . . . . . . . . . 157
14.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.6.2 Deux exemples très simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6.3 Méthode générale de résolution de ces équations . . . . . . 158
14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15 Suites et séries de fonctions 161
15.1 Convergences simple, uniforme et absolue . . . . . . . . . . . . . . 161
15.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.1.1.1 Pour les suites de fonctions . . . . . . . . . . . . 161
15.1.1.2 Pour les séries de fonctions . . . . . . . . . . . . 162
15.1.2 Stabilité des propriétés des fonctions par passage à la limite 162
15.1.3 Théorèmes d’interversions des limites . . . . . . . . . . . . 163
15.1.4 Continuïté de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.1.5 Convergence absolue d’une série de fonctions . . . . . . . . 164
15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
16 Séries entières 167
16.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
16.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
16.1.2 Calcul pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
16.1.3 Exemples de rayons de convergence . . . . . . . . . . . . . 168
16.1.4 Disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
16.1.5 Opération algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
16.1.5.1 Somme et combinaisons linéaires . . . . . . . . . 169
16.1.5.2 Produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
16.2 Série entière d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
16.2.1 Intervalle de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
16.2.2 Intégration et dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . 171
16.2.3 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . 172
16.2.4 Développements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
16.2.4.1 Développements connus . . . . . . . . . . . . . . 172
16.2.4.2 Intégration d’un développement connu . . . . . . 173
16.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
17 Séries de Fourier 175
17.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
17.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
17.1.2 Coefficients de Fourier sous forme complexe . . . . . . . . 176
17.1.3 Coefficients de Fourier sous forme trigonométrique . . . . . 176
17.1.4 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
17.1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
17.1.4.2 Sommes partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
17.1.5 Étude de la suite des coefficients de Fourier . . . . . . . . 178
x TABLE DES MATIÈRES
17.1.5.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
17.1.5.2 Bornitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
17.1.5.3 Convergence vers 0 en l’infini . . . . . . . . . . . 178
17.1.5.4 Coefficients de Fourier d’une dérivée . . . . . . . 178
17.2 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 179
17.2.1 L’espace préhilbertien C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2π
17.2.2 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . 180
17.3 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
17.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182