Общее уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу и гиперболические B-потенциалы

189 Pages·2019·3.246 MB·Russian

by  Шишкина Э.Л.

ISSN 2413-3639
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
НАПРАВЛЕНИЯ
Том 65, № 2, 2019
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Том 65, № 2, 2019
Уравнения в частных производных
DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-2
http://journals.rudn.ru/cmfd
Научный журнал
Издается с 2003 г.
Издание зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи,
информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор)
Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-67931 от 13 декабря 2016 г.
Учредитель: Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования «Российский университет дружбы народов»
Главный редактор Зам. главного редактора Ответственный секретарь
Р.В. Гамкрелидзе, А.Л. Скубачевский, Е.М. Варфоломеев,
д.ф.-м.н., профессор, д.ф.-м.н., профессор, к.ф.-м.н., Российский
академик РАН, Математический Российский университет университет дружбы народов
институт им. В.А. Стеклова дружбы народов (Москва, (Москва, Россия)
РАН (Москва, Россия) Россия) E-mail: [email protected]
E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
Члены редакционной коллегии
А.А. Аграчев, д.ф.-м.н., профессор, Международная школа передовых исследований (SISSA) (Триест, Ита-
лия), Математический институт им. В.А. Стеклова РАН (Москва, Россия)
Н.Д. Копачевский, д.ф.-м.н., профессор, Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского
(Симферополь, Россия)
П.С. Красильников, д.ф.-м.н., профессор, Московский авиационный институт (национальный исследова-
тельский университет) (Москва, Россия)
А.В. Овчинников, к.ф.-м.н., доцент, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
(Москва, Россия); Всероссийский институт научной и технической информации РАН (Москва, Россия)
В.Л. Попов, д.ф.-м.н., профессор, член-корр. РАН, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
(Москва, Россия)
А.В. Сарычев, д.ф.-м.н., профессор, Флорентийский университет (Флоренция, Италия)
Современная математика. Фундаментальные направления
ISSN 2413-3639 (print)
4 выпуска в год
http://journals.rudn.ru/cmfd
Входит в перечень рецензируемых научных изданий ВАК РФ.
Включен в каталог подписных изданий агентства «Роспечать», индекс 36832.
Индексируется в международных базах данных научных публикаций MathSciNet и Zentralblatt Math.
Полный текст журнала размещен в базах данных компании EBSCO Publishing на платформе EBSCOhost.
Языки:русский,английский.ВсевыпускижурналапереводятсянаанглийскийязыкиздательствомSpringer
и публикуются в серии Journal of Mathematical Sciences (New York).
Цели и тематика
Журнал Современная математика. Фундаментальные направления—периодическое международное
рецензируемое научное издание в области математики. Журнал посвящен следующим актуальным темам
современной математики:
(cid:129) обыкновенные дифференциальные уравнения,
(cid:129) дифференциальные уравнения в частных производных,
(cid:129) математическая физика,
(cid:129) вещественный и функциональный анализ,
(cid:129) комплексный анализ,
(cid:129) математическая логика и основания математики,
(cid:129) алгебра,
(cid:129) теория чисел,
(cid:129) геометрия,
(cid:129) топология,
(cid:129) алгебраическая геометрия,
(cid:129) группы Ли и теория представлений,
(cid:129) теория вероятностей и математическая статистика,
(cid:129) дискретная математика.
Журнал ориентирован на публикацию обзорных статей и статей, содержащих оригинальные научные
результаты. Объем статьи, занимающий целый том, должен составлять 140–190 страниц в стиле нашего
журнала.
Правила оформления статей, архив публикаций и дополнительную информацию можно найти на сайте
журнала на Общероссийском математическом портале: http://www.mathnet.ru/cmfd.
Редактор:Е.М.Варфоломеев
Компьютернаяверстка:Е.М.Варфоломеев
Адресредакции:
115419,г.Москва,ул.Орджоникидзе,д.3
тел.[phone];e-mail:[email protected]
Подписановпечать23.04.2019.Формат60×84/8.
Бумагаофсетная.Печатьофсетная.ГарнитураQuantAntiqua.
Усл.печ.л.21,86.Тираж150экз.Заказ834.
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательноеучреждениевысшегообразования
«Российскийуниверситетдружбынародов»(РУДН)
117198,Москва,Россия,ул.Миклухо-Маклая,д.6
ОтпечатановтипографииИПКРУДН
115419,Москва,Россия,ул.Орджоникидзе,д.3
тел.[phone];e-mail:[email protected]
(cid:2)c РОССИЙСКИЙУНИВЕРСИТЕТДРУЖБЫНАРОДОВ,2019
Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)
CONTEMPORARY MATHEMATICS. FUNDAMENTAL DIRECTIONS
Volume 65, No. 2, 2019
Partial Differential Equations
DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-2
http://journals.rudn.ru/cmfd
Founded in 2003
Founder: PEOPLES’ FRIENDSHIP UNIVERSITY OF RUSSIA
EDITOR-IN-CHIEF DEPUTY EDITOR EXECUTIVE SECRETARY
Revaz Gamkrelidze, Alexander Skubachevskii, Evgeniy Varfolomeev,
Steklov Mathematical Institute of RUDN University RUDN University
Russian Academy of Sciences (Moscow, Russia) (Moscow, Russia)
(Moscow, Russia) E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
E-mail: [email protected]
EDITORIAL BOARD
Andrei Agrachev, International School for Advanced Studies (SISSA) (Trieste, Italy), Steklov Mathematical
Institute of Russian Academy of Sciences (Moscow, Russia)
Nikolai Kopachevskii, Vernadskiy Tavricheskiy National University (Simferopol’, Russia)
Pavel Krasil’nikov, Moscow Aviation Institute (National Research University) (Moscow, Russia)
Alexey Ovchinnikov, Lomonosov Moscow State University (Moscow, Russia); Russian Institute for Scientific
and Technical Information of Russian Academy of Sciences (Moscow, Russia)
Vladimir Popov, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences (Moscow, Russia)
Andrei Sarychev, University of Florence (Florence, Italy)
CONTEMPORARY MATHEMATICS. FUNDAMENTAL DIRECTIONS
Published by the Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University),
Moscow, Russian Federation
ISSN 2413-3639 (print)
4 issues per year
http://journals.rudn.ru/cmfd
Reviewed in MathSciNet and Zentralblatt Math.
The full texts can be found in the EBSCOhost databases by EBSCO Publishing.
Languages: Russian, English. English translations of all issues are published in Journal of Mathematical
Sciences (New York).
Aims and Scope
Contemporary Mathematics. Fundamental Directions is a peer-reviewed international academic journal
publishing papers in mathematics. The journal is devoted to the following actual topics of contemporary
mathematics:
(cid:129) Ordinary differential equations
(cid:129) Partial differential equations
(cid:129) Mathematical physics
(cid:129) Real analysis and functional analysis
(cid:129) Complex analysis
(cid:129) Mathematical logic and foundations of mathematics
(cid:129) Algebra
(cid:129) Number theory
(cid:129) Geometry
(cid:129) Topology
(cid:129) Algebraic geometry
(cid:129) Lie groups and the theory of representations
(cid:129) Probability theory and mathematical statistics
(cid:129) Discrete mathematics
The journal is focused on publication of surveys as well as articles containing novel results. Occupying the
whole volume, an article should make up 140–190 pages in the format of the journal.
Guidelines for authors, archive of issues, and other information can be found at the journal’s website at
All-Russian Mathematical Portal: http://www.mathnet.ru/eng/cmfd.
Editor:E.M.Varfolomeev
Computerdesign:E.M.Varfolomeev
AddressoftheEditorialOffice:
3Ordzhonikidzestr.,115419Moscow,Russia
Tel.[phone];e-mail:[email protected]
Printingrun150copies.
Peoples’FriendshipUniversityofRussia(RUDNUniversity),Moscow,Russia
6Miklukho-Maklayastr.,117198Moscow,Russia
PrintedatRUDNPublishingHouse:
3Ordzhonikidzestr.,115419Moscow,Russia
Tel.[phone];e-mail:[email protected]
(cid:2)c PEOPLES’FRIENDSHIPUNIVERSITYOFRUSSIA,2019
Современная математика. Фундаментальные направления. Том 65, № 2 (2019)
СОДЕРЖАНИЕ
Общее уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу и гиперболические B-потенциалы (Э.Л. Шиш-
кина) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 2019, Vol. 65, No. 2
CONTENTS
General Euler–Poisson–Darboux Equation and Hyperbolic B-Potentials (E.L. Shishkina) . . . . 157
Современная математика. Фундаментальные направления. Том 65, № 2 (2019). С. 157–338
DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-2-157-338 УДК 517.956.45, 517.968.74
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ B-ПОТЕНЦИАЛЫ
(cid:2)c 2019 г. Э.Л. ШИШКИНА
АННОТАЦИЯ. В работе развивается теория гиперболических уравнений в частных производных с опе-
раторамиБесселя,атакжеконструируютсяиобращаютсягиперболическиепотенциалы,порожденные
многомерным обобщенным сдвигом. В первой главе приведены необходимые обозначения, определе-
ния,вспомогательныефактыиутверждения.Вовторойглавеизученынекоторыевесовыеобобщенные
функции, связанные с квадратичной формой, которые в дальнейшем применяются для построения
дробных степеней гиперболических операторов, а также решений гиперболических уравнений с опе-
раторами Бесселя. Объектом исследования третьей главы являются гиперболические потенциалы,
порожденные многомерным обобщенным сдвигом, реализующие отрицательные вещественные сте-
пени сингулярного волнового оператора, т. е. волнового оператора, где вместо вторых производных
действует оператор Бесселя. Исследуются вопросы ограниченности такого оператора, его свойства,
а также строится обратный к нему оператор. Кроме того, в этой главе изучен гиперболический
B-потенциал Рисса. В четвертой главе рассмотрены различные методы решения общего уравнения
Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получены решения задач Коши для однородного и неоднородного урав-
нений указанного типа. В заключении приведены сведения об общих методах решения задач для
произвольных сингулярных операторов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Глава 1. Классы функций и операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1.1. Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок . . . . . . . 163
1.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1.3. Функции гипергеометрического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2. Классы функций, оператор Пуассона и преобразование Ханкеля . . . . . . . . . . . . . 167
2.1. Пространства Cm, Lγ и S . Весовые обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . 167
ev p ev
2.2. Оператор преобразования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.3. Преобразование Ханкеля и обобщение пространства Лизоркина—Самко . . . . . . 173
2.4. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и Лиувилля . . . . . . . . . 175
3. Обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.1. Обобщенный сдвиг и обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.2. Интегралы по части сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3. Весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Глава 2. Весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами . . . . . . . 193
4. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . . . 193
4.1. B-ультрагиперболический оператор и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 193
4.2. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . 194
4.3. Представления производных весовой обобщенной функции δ (P) . . . . . . . . . . 196
γ
5. Весовые обобщенные функции, реализующие степени квадратичных форм. . . . . . . . 200
5.1. Весовые обобщенные функции Pλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
γ,±
5.2. Весовые обобщенные функции Pλ и (P ±i0)λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
γ γ
6. Другие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой . . . . . . . . 211
6.1. Функции (w2−|x|2)λ и (c2+P ±i0)λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
+,γ γ
6.2. Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичной формой . . . . . 212
(cid:2)cРОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2019
157
158 Э.Л. ШИШКИНА
7. Преобразование Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной
формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1. Преобразование Ханкеля функций Pλ, (P ±i0)λ и Pλ . . . . . . . . . . . . . . . 213
γ γ γ,±
7.2. Преобразование Ханкеля функций (w2−|x|2)λ и (c2+P ±i0)λ . . . . . . . . . . 215
+,γ γ
Глава 3. Гиперболические B-потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8. Ограниченность гиперболического B-потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.1. Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов. . . . . . . 219
8.2. Определения гиперболических B-потенциалов и их абсолютная сходимость . . . . 222
8.3. Ограниченность, полугрупповые свойства гиперболического B-потенциала . . . . . 224
9. Свойства гиперболических B-потенциалов и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.1. Полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2. Примеры гиперболических B-потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10. Обращение гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.1.Метод аппроксимативных обратных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.Общее ядро Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3.Представление ядра ∓gα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
ε,δ
10.4.Теоремы об обращении гиперболического B-потенциала Рисса . . . . . . . . . . . . 250
11. Гиперболический B-потенциал Рисса и его аналитическое продолжение . . . . . . . . . 252
11.1.Замена переменных в пространстве Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.2.Тождественный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.3.Аналитическое продолжение гиперболического B-потенциала Рисса Iα . . . . . . 261
(cid:2)γ
11.4.Примеры гиперболических B-потенциалов Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Глава 4. Методы решения гиперболических уравнений с оператором Бесселя . . . . . . . . 270
12. B-ультрагиперболическое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.1.Фундаментальное решение итерированного B-ультрагиперболического уравнения . 273
12.2.B-ультрагиперболическое уравнение и обобщение теоремы Асгейрссона . . . . . . 274
13. Общее уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13.1.Метод операторов преобразования решения задачи Коши для общего уравнения
Эйлера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.2.Преобразования Ханкеля и задача Коши для общего уравнения Эйлера—
Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13.3.Метод спуска для общего уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . 288
13.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
14. Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром . . . . . . . . . . . . 298
14.1.Решение задачи Коши для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным
параметром применением преобразования Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
14.2.Классическое решение уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным па-
раметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
14.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
15. Метод потенциалов Рисса решения неоднородных уравнений типа Эйлера—Пуассона—
Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15.1.Общее неоднородное уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . 309
15.2.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА—ПУАССОНА—ДАРБУ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ B-ПОТЕНЦИАЛЫ 159
ВВЕДЕНИЕ
Для решения уравнений в частных производных разработано много общих аналитических мето-
дов, например, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, метод разло-
жения по собственным функциям, метод функций Грина и др. Однако далеко не все уравнения в
частных производных могут быть решены аналитически. Наиболее хорошо изучены характерные
задачи для линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами эллиптическо-
го, гиперболического и параболического типов. Аналитические методы построения решений для
линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами существуют и изучены
для сравнительно немногих типов уравнений.
Особый интерес представляет случай, когда дифференциальное уравнение в частных производ-
ных является сингулярным, то есть по крайней мере один из коэффициентов при неизвестной
функции или при какой-либо ее производной стремится к бесконечности на границе или внутри
рассматриваемой области. Ряд физических проблем в таких разнообразных областях, как электро-
статическая теория поля, распространение тепла, гидродинамика, теория упругости, сводятся к
изучению сингулярных дифференциальных уравнений с оператором1 Бесселя, который имеет вид
d2 ν d
(B ) = + . (0.1)
ν t dt2 t dt
Операторы (0.1) появляются, например, в уравнении с оператором Лапласа в предположении осе-
вой симметрии по всем или части переменных, и в этом случае индекс ν будет натуральным
числом. Случай, когда ν—произвольное вещественное число, крайне интересен с теоретической
точки зрения, но также возникает в приложения (например, в задачах о случайном блуждании
частицы, в газовой динамике и механике сплошных сред). В качестве объекта исследования этой
работы выбраны сингулярные уравнения с оператором Бесселя гиперболического и ультрагипер-
болического типов, а также дробные степени гиперболических операторов с операторами Бесселя.
ПроведемкраткийэкскурсвисториюисследованиязадачсоператоромБесселя(0.1),следуя[10,
51,274].
Одной из первых задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с оператором Бессе-
ля, является задача Леонарда Эйлера о колебании упругой мембраны. В 1764 г. (работа [205]
опубликована в 1766 г.) Эйлером было получено и решено уравнение
1 ∂2z ∂2z 1∂2z 1 ∂2z
= + + ,
e2 ∂t2 ∂r2 r∂r2 r2∂ϕ2
где z = z(r,ϕ,t)—поперечное смещение точки с полярными координатами (r,ϕ) к моменту t; e—
постоянная, зависящая от плотности и упругости мембраны. При построении решения методом
разделения переменных Эйлером было получено уравнение
(cid:2) (cid:3)
∂2u 1∂u α2 β2
+ + − u = 0, (0.2)
∂r2 r ∂r e2 r2
где α,β—постоянные, а u—функция от r. Подстановкой u = rβv уравнение (0.2) сводится к
∂2v 2β +1∂v
+ = −λ2v или B v = −λ2v. (0.3)
∂r2 r ∂r 2β+1
Решение уравнения (0.2), а следовательно и (0.3), ограниченное в начале координат, дано в мему-
арах Эйлера [205, с. 256], где он полагал, что 2β+1—целое число. В современных обозначениях
решение (0.3), равное 1 в нуле, есть нормированная функция Бесселя вида
2βΓ(β +1)
j (r) = J (r), (0.4)
β rβ β
где J —функция Бесселя первого рода, которая определяется в виде следующего ряда:
β
(cid:4)∞ (−1)m (cid:5)x(cid:6)2m+β
J (x) = .
β
m!Γ(m+β +1) 2
m=0
1Здесь и далее операторами, следуя традиции, называется то, что, возможно, более точно следует называть диффе-
ренциальными выражениями.