Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung: Band II A: Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen Aufgaben und Hinweise

298 Pages·1972·10.362 MB·German

by  A. Ostrowski (auth.)

A. OSTROWSKI
AUFGABEN SAMMLUNG ZUR INFINITESIMALRECHNUNG
BAND II A
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 38
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN
AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
AUFGABENSAMMLUNG
ZUR INFINITESIMALRECHNUNG
von
A. OSTROWSKI
Professor an der Universität Basel
BAND II A
Differentialrechnung auf dem Gebiete
mehrerer Variablen
AUFGABEN UND HINWEISE
SPRINGER BASEL AG 1972
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der
Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1972
Urspriinglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1972
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1972
ISBN 978-3-0348-5528-0 ISBN 978-3-0348-5527-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5527-3
VORWORT
Der vorliegende zweite Band meiner Aufgabensammlung entspricht
in der Auswahl des Stoffes dem Inhalt des zweiten Bandes meiner
"Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung". Er enthält
neben den Ergänzungen zur Infinitesimalrechnung einer Variablen
grundlegenden Stoff aus der Infinitesimalrechnung mit mehreren Vari
ablen nebst Anwendungen auf numerische Rechenmethoden, sowie auf
die Differentialgeometrie. Das Buch kann natürlich auch ohne gleich
zeitige Benutzung meines Lehrbuches verwendet werden, da auch in
diesem Band in jedem Abschnitt der in Frage kommende Hintergrund
an Begriffen, Formeln und Sätzen zusammengestellt ist, von dem aus
die Aufgaben angepackt werden können.
Wie im ersten Band, sind die Lösungen der Aufgaben zumeist in zwei
Schritten angegeben, zuerst in den "Hinweisen" und sodann in den
"Lösungen" .
Aus praktischen Gründen ist dieser Band in zwei getrennte und
einzeln erhältliche Teilbände aufgeteilt worden, von denen der erste
(II A) Aufgaben und Hinweise und der zweite (II B) Lösungen enthält.
Der Verlag hat wie immer den zahlreichen Wünschen des Autors mit
freundlicher Geduld und Ausdauer entsprochen.
A. Ostrowski
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
Vorwort ............................. . 5
Abkürzungen ......................... . 9
Aufgaben Hinweise Lösungen
1. Allgemeine Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 223 301
2. Punktmengen, Konvergenz, Häufungsstel-
len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 223 303
3. Weitere Diskussion der infinitä ren Eigen-
schaften von Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 224 306
4. Konvergenz von Funktionen auf Punkt-
mengen ............................... 22 225 310
5. Stetigkeit von Funktionen aufPunktmengen 27 225 313
6. Unendliche Folgen ..................... 33 227 319
7 . Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 230 329
8. Funktionenfolgen und Funktionenreihen .. 60 237 347
9. Potenzreihen .........................• 68 240 359
10. Anwendungen der Differentialrechnung auf
die Diskussion der Funktionen einer Vari-
ablen ................................. 78 244 373
11. Differentiation bei Funktionen mehrerer Va-
riablen ............................... 93 248 387
12. Partielle Ableitungen höherer Ordnung .... 97 249 390
13. Jakobische Matrizen und Determinanten. .. 102 251 394
14. Das totale Differential .................. 108 252 398
15. Existenzsätze für Gleichungen und Glei
chungssysteme. Implizite Funktionen. . . .. 114 253 403
16. Praktische Auflösbarkeitskriterien. Abhän
gigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen-
systemen ............................. 119 255 407
17. Extrema bei Funktionen mehrerer Variablen 123 255 410
18. Interpolation. Anwendungen der Differen
tialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132 260 421
8 Inhaltsverzeichnis
Seite
Aufgaben Hinweise Lösungen
19. Numerische Differentiation und Integration 142 263 431
20. Angenäherte Auflösung von Gleichungen . . 150 266 442
2l. Bernoullische Zahlen und Polynome ....... 152 267 444
22. Die Euler-Maclaurinsche Formel .......... 157 270 451
23. Grössen erster Ordnung in der Kurventheo-
rie ................................... 165 271 458
24. Grössen zweiter Ordnung in der Kurventheo-
rie ................................... 171 274 465
25. Evolute, Evolvente und Parallelkurven .... 184 282 482
26. Enveloppen von Kurvenscharen .......... 188 283 486
27. Vektoren ............................. 192 287 492
28. Schmiegungsebene einer Raumkurve ...... 199 288 498
29. Krümmung und Torsion ................. 207 292 508
.....
30. Tangentialebene und Flächennormale 213 296 519
31. Enveloppen. Geometrie auf der Fläche ..... 217 297 522
ABKÜRZUNGEN
AbI. Ableitung Fig. Figur OBdA Ohne Beschrän
Beh. Behauptung, Fkt. Funktion kung der Allge
behaupten GI. Gleichung meinheit
Bew. Beweis, Int. Integral, Pkt. Punkt
beweisen integrieren pos. positiv
bzw. beziehungsweise Konv. Konvergenz, Stet. Stetigkeit, stetig
d. der, die, das konvergieren u. und
d. h. das heißt MWS Mittelwertsatz Ungl. Ungleichung
Div. Divergenz, neg. negativ v. von
divergieren NF Nullfolge, v. Ind. vollständige
e. ein, eine, eines Nullfunktion Induktion
f. für m. man vgl. vergleiche
« ist das Symbol für Majorisierung. E av «E bv bedeutet, daß für alle
in Frage kommenden v: I av I ::5 bv gilt. A -< Bbedeutet: A ist in B enthal
ten, A>- B bedeutet: A enthält B.
Im allgemeinen bedeutet n eine beliebige natürliche Zahl, meine
beliebige ganze Zahl.
Verweise auf Aufgaben, Hinweise oder Lösungen aus einem Para
graphen werden wie folgt angegeben: A 5a) § 7, H 5a) § 7, L 5a) § 7.
Die Paragraphenbezeichnung wird weggelassen, wenn es sich um den
Paragraphen handelt, zu dem der Verweis gehört.
§ 1. Allgemeine Mengen
Eine Menge M aus ganz beliebigen Elementen ist definiert, wenn es
von jedem in Frage kommenden Element feststeht, ob es zu M gehört
oder nicht. Sind alle Elemente einer Menge MI in der Menge M ent-
2
halten, so heißt MI eine TeilmengeoderUntermenge von M Dies wird
2•
-< >-
durch MI M 2' M 2 MI zum Ausdruck gebracht. Sind die Mengen
Mv M gegeben, so ist die Menge aller Elemente, die in wenigstens
2
einer dieser Mengen vorkommen, die Summe oder Vereinigungsmenge
von MI und M und wird mit MI +M bezeichnet. In analoger Weise
2 2
wird die Vereinigungs menge von endlich oder unendlich vielen gege-
Ln L
benen Mengen definiert und mit den Symbolen wie M., M. be-
zeichnet. .=1 .=1
Als Produkt oder Durchschnitt aller Mengen eines gewissen Systems
wird die Menge all~r Elemente bezeichnet, die zugleich in jeder Menge
des Systems vorkommen. Der Durchschnitt wird mit gewöhnlichem
Produktzeichen dargestellt oder durch das Nebeneinandersetzen der
Symbole, die die einzelnen Mengen darstellen, z. B. M1 M2 M3•
Als Differenz MI - M 2 der Mengen M 1 und M 2 wird die Menge aller
Elemente von MI bezeichnet, die nicht in M vorkommen. Dabei muß
2
M 2 keineswegs eine Teilmenge von MI sein.
Unter unendlichen Mengen sind besonders einfach die sogenannten
abzählbaren Mengen. Eine Menge M heißt abzählbar, wenn sich ihre
Elemente mit ganzen positiven Nummern so versehen lassen, daß
jeder ganzen positiven Zahl als Nummer höchstens ein Element von
M entspricht. Man beachte, daß eine durchaus abzählbare Menge in
einer Weise dargestellt werden kann, die ihre Abzählbarkeit keines
wegs erkennen läßt. Beispiele von abzählbaren Mengen sind: die Menge
aller ganzen Zahlen, die Menge aller rationalen Zahlen, die Menge
aller Punkte des n-dimensionalen Raumes mit rationalen Koordinaten,
die Menge aller algebraischen Zahlen. Ist eine endliche oder abzählbare
Folge von Mengen A. gegeben, von denen jede endlich oder abzählbar
ist, so ist die Vereinigungsmenge aller dieser Mengen gleichfalls endlich
oder abzählbar. Dagegen ist die Menge aller reellen Zahlen aus einem
festen Intervall überabzählbar.
Können zwei Mengen MI und M" so aufeinander bezogen werden,
dass jedem Element von MI genau ein Element von M" entspricht; und
umgekehrt, so heissen sie äquivalent.