Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: Distributionen - lokalkonvexe Methoden - Spektraltheorie

501 Pages·2014·4.98 MB·German

by  Winfried Kaballo (auth.)

Aufbaukurs Funktionalanalysis
und Operatortheorie
Winfried Kaballo
Aufbaukurs
Funktionalanalysis
und Operatortheorie
Distributionen – lokalkonvexe Methoden –
Spektraltheorie
Prof. Dr. Winfried Kaballo
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Dortmund, Deutschland
ISBN 978-3-642-37793-8 ISBN 978-3-642-37794-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-37794-5
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Redaktion: Annette Heß, Lobbach
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Herrn
Professor Dr. Bernhard Gramsch
zum 75. Geburtstag gewidmet
Vorwort
Das vorliegende Buch gibt eine Einfu¨hrung in die Funktionalanalysis und Operator-
theorieaufdemNiveaueinesMaster-Studiengangs.EsistausVorlesungenentstanden,
die der Autor mehrmals an der TU Dortmund gehalten hat. Das Buch richtet sich
an Studierende der Fachrichtungen Mathematik und Physik kurz vor oder nach dem
Bachelor-Examen, die bereits u¨ber Grundkenntnisse der Funktionalanalysis etwa im
Umfang des Buches
[GK] Winfried Kaballo: Grundkurs Funktionalanalysis, Spektrum Verlag 2011
verfu¨gen,undkannalsFortsetzungdiesesGrundkursesangesehenwerden.Anweiteren
Vorkenntnissen werden neben dem Stoff der Anf¨angervorlesungen einige Grundlagen
der Funktionentheorie, Topologie und Maßtheorie ben¨otigt.
Ein zentrales Thema des Buches ist die Untersuchung linearer Gleichungen und
die Analyse der diese Gleichungen beschreibenden linearen Operatoren. Insbesonde-
re fragen wir nach Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen, deren Abh¨angigkeit von
Parametern sowie nach der Existenz von stetigen oder sogar stetigen und linearen
L¨osungsoperatoren. Wir studieren partielle Differentialoperatoren zwischen lokalkon-
vexen R¨aumen von Funktionen oder Distributionen und als selbstadjungierte Opera-
toren in Hilbertr¨aumen, z.B. Hamilton-Operatoren der Quantenmechanik. Auf Ba-
nachr¨aumen untersuchen wir Fredholmoperatoren, z.B. singul¨are Integraloperatoren,
sowie verschiedene Klassen kompakter Operatoren, z.B. Integraloperatoren mit Ker-
nenvorgegebenerGlattheit.WichtigeMethodenzurUntersuchunglinearerOperatoren
sinddiePrinzipienderFunktionalanalysis,dieFourier-Transformation,Absch¨atzungen
von Sobolev-Normen, Dualit¨ats-Argumente, Strukturaussagen u¨ber Banachr¨aume und
lokalkonvexe R¨aume, die Mittag-Leffler-Methode, Banachalgebra-Techniken, insbeson-
dere die Gelfand-Transformation, Funktionalkalku¨le und Spektralzerlegungen. Eine ge-
nauere U¨bersicht u¨ber die in diesem Buch behandelten Themen geben das detaillierte
Inhaltsverzeichnis sowie die Einleitungen zu den drei Teilen und zu den Kapiteln des
Buches.
Kapitel1u¨berFr´echetr¨aumeistdieGrundlagefu¨ralleweiterenKapitel,ansonstensind
diedreiTeiledesBuchesweitgehendunabh¨angigvoneinanderlesbar.DieAuswahlder
Themenistnatu¨rlichstarkvondenpers¨onlichenInteressendesAutorsbeeinflusst.Auf
andere wichtige Themen der Funktionalanalysis und Operatortheorie gehen wir gar
nicht oder viel zu knapp ein, geben aber einige Hinweise auf weiterfu¨hrende Literatur.
Andererseits sind Teile des vorliegenden Buches in der bisherigen Lehrbuch-Literatur
gar nicht, nur sehr selten oder in wesentlich anderer Form behandelt; dies trifft insbe-
sondere auf die Abschnitte 5.3, 9.2–9.5, 12.1–12.6, 13.5, 14.3–14.4 und 16.7 zu.
Das Buch sollte als Begleittext zu Vorlesungen u¨ber die skizzierten Themen wie
auch zum Selbststudium gut geeignet sein. Der Autor hat sich wieder sehr um eine
VIII Vorwort
ausfu¨hrliche und m¨oglichst gut verst¨andliche Darstellung bemu¨ht. Abstrakte Theori-
en werden durch viele Beispiele motiviert und auf konkrete Probleme der Analysis
angewendet. Zur Veranschaulichung des Stoffes dienen Abbildungen, die mit Hilfe des
ProgrammsTeXCad32angefertigtwurden.AnhandvielerU¨bungsaufgabenk¨onnenSie
Ihr Verst¨andnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstst¨andig weiterentwi-
ckeln. L¨osungen finden Sie auf der Webseite zum Buch unter www.springer.de.
HerrnProf.Dr.B.Gramschdankeichfu¨rdieAnregung,diesesBuchzuschreiben.Fu¨r
diekritischeDurchsichtvonTeilenfru¨hererVersionendesTextesdankeichmeinerFrau
M. Sc. Paz Kaballo sowie den Herren Dr. P. Furlan, Dipl.-Math. M. Jaraczewski und
Dr.J.Sawollek,HerrnDr.P.Furlaninsbesondereauchfu¨rseinProgrammTeXCad32.
Nicht zuletzt gilt mein Dank Herrn Dr. A. Ru¨dinger vom Spektrum-Verlag fu¨r die
vertrauensvolle Zusammenarbeit.
Dortmund, im Juli 2013 Winfried Kaballo
Inhaltsverzeichnis
I Distributionen und Differentialoperatoren ...................... 1
1 Fr´echetr¨aume..................................................... 2
1.1 Konvergenzbegriffe und Funktionenr¨aume ...................... 3
1.2 Halbnormen und lokalkonvexe Topologien ...................... 7
1.3 Stetige lineare Abbildungen und Isomorphien ................... 13
1.4 Prinzipien der Funktionalanalysis.............................. 19
1.5 Aufgaben................................................... 24
2 Distributionen .................................................... 27
2.1 Testfunktionen .............................................. 27
2.2 Schwache Ableitungen und Distributionen ...................... 35
2.3 Tr¨ager von Distributionen .................................... 41
2.4 Tensorprodukte von Distributionen ............................ 45
2.5 Faltung von Distributionen ................................... 48
2.6 Aufgaben................................................... 52
3 Fourier-Transformation ............................................ 56
3.1 Schnell fallende Funktionen ................................... 58
3.2 Hermite-Funktionen ......................................... 62
3.3 Temperierte Distributionen ................................... 66
3.4 Holomorphe Fourier-Transformierte............................ 68
3.5 Aufgaben................................................... 73
4 Sobolev-R¨aume ................................................... 77
4.1 Approximationss¨atze......................................... 77
4.2 Sobolev-Hilbertr¨aume........................................ 82
4.3 Einbettungss¨atze ............................................ 86
4.4 Fortsetzungsoperatoren....................................... 91
4.5 Spuroperatoren ............................................. 96
4.6 Aufgaben................................................... 99
5 Lineare Differentialoperatoren ...................................... 102
5.1 Die W¨armeleitungsgleichung auf Rn ........................... 102
5.2 Beispiele von Fundamentall¨osungen ............................ 107
5.3 Konstruktion von Fundamentall¨osungen ........................ 111
5.4 Regularit¨at von L¨osungen .................................... 116
5.5 Elliptische Differentialoperatoren .............................. 120
5.6 Randwertprobleme .......................................... 125
5.7 Aufgaben................................................... 129
II Lokalkonvexe Methoden der Analysis ........................... 133
6 Topologische Vektorr¨aume.......................................... 135
6.1 Lineare Topologien .......................................... 136
X Inhaltsverzeichnis
6.2 Lokalbeschr¨ankte R¨aume und Quasi-Normen.................... 141
6.3 Aufgaben................................................... 144
7 Lokalkonvexe R¨aume .............................................. 146
7.1 Das Prinzip der gleichm¨aßigen Beschr¨anktheit................... 147
7.2 Projektive Topologien........................................ 149
7.3 Induktive lokalkonvexe Topologien............................. 153
7.4 (LF)-R¨aume ............................................... 158
7.5 Gewebe und der Satz vom abgeschlossenen Graphen ............. 162
7.6 Aufgaben................................................... 167
8 Dualit¨at ......................................................... 170
8.1 Polare lokalkonvexe Topologien................................ 170
8.2 Reflexive R¨aume ............................................ 175
8.3 (DF)-R¨aume ............................................... 180
8.4 Exakte Sequenzen ........................................... 183
8.5 Kompakte konvexe Mengen ................................... 187
8.6 Aufgaben................................................... 193
9 L¨osung linearer Gleichungen ........................................ 197
9.1 Abgeschlossene Operatoren und duale Operatoren ............... 198
9.2 Normal au߬osbare und surjektive Operatoren ................... 202
9.3 Die Mittag-Leffler-Methode ................................... 206
9.4 Globale L¨osbarkeit linearer Differentialgleichungen............... 209
9.5 Stetige L¨osungsoperatoren .................................... 215
9.6 Stetige lineare L¨osungsoperatoren und Projektionen.............. 218
9.7 Fortsetzung und Lifting linearer Operatoren .................... 223
9.8 Aufgaben................................................... 227
10 Vektorfunktionen und Tensorprodukte ............................... 231
10.1 Funktionenr¨aume und ε -Produkte ............................ 232
10.2 ε-Produkte linearer Operatoren ............................... 238
10.3 Holomorphe Funktionen und Cousin-Probleme .................. 241
10.4 ε-Tensorprodukte und Approximationseigenschaft ............... 246
10.5 π-Tensorprodukte und Bochner-Integrale....................... 252
10.6 Aufgaben................................................... 258
11 Operatorideale und nukleare R¨aume ................................. 263
11.1 Approximationszahlen und Integraloperatoren................... 264
11.2 Nukleare Operatoren......................................... 269
11.3 Spuren ..................................................... 273
11.4 Nukleare R¨aume ............................................ 277
11.5 Schnell fallende Folgen ....................................... 283
11.6 Aufgaben................................................... 286
12 Exakte Sequenzen und Tensorprodukte .............................. 290
12.1 L∞-R¨aume und Lifting-S¨atze ................................ 291
Inhaltsverzeichnis XI
12.2 ⊗-Sequenzen ............................................... 296
12.3 Holomorphe Funktionen mit Randbedingungen.................. 301
12.4 Die Eigenschaften (DN) und (Ω) ............................. 304
12.5 Ein Splitting-Satz ........................................... 309
12.6 Unterr¨aume und Quotientenr¨aume von s ....................... 315
12.7 Aufgaben................................................... 317
III Lineare Operatoren und Spektraltheorie ........................ 321
13 Banachalgebren ................................................... 322
13.1 Grundlagen................................................. 324
13.2 Der analytische Funktionalkalku¨l .............................. 328
13.3 Gelfand-Theorie............................................. 334
13.4 Uniforme Algebren und gemeinsame Spektren................... 342
13.5 Einseitige Ideale und holomorphe Operatorfunktionen............ 346
13.6 Aufgaben................................................... 351
14 Fredholmoperatoren und kompakte Operatoren ....................... 354
14.1 Semi-Fredholmoperatoren und St¨orungss¨atze.................... 355
14.2 Singul¨are Integraloperatoren .................................. 362
14.3 Inversion holomorpher Fredholm-Funktionen .................... 367
14.4 Spektralprojektionen......................................... 375
14.5 Die Weylsche Ungleichung .................................... 378
14.6 Invariante Unterr¨aume ....................................... 383
14.7 Aufgaben................................................... 388
15 C∗-Algebren und normale Operatoren ............................... 393
15.1 C∗-Algebren................................................ 394
15.2 Der stetige Funktionalkalku¨l .................................. 399
15.3 ∗-Darstellungen und beschr¨ankter Borel-Funktionalkalku¨l ........ 403
15.4 Spektralmaße und -integrale .................................. 408
15.5 Spektraltheorie normaler Operatoren........................... 412
15.6 Aufgaben................................................... 418
16 Selbstadjungierte Operatoren ....................................... 421
16.1 Spektralsatz und unbeschr¨ankter Borel-Funktionalkalku¨l.......... 422
16.2 Spektren selbstadjungierter Operatoren ........................ 428
16.3 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik ............. 434
16.4 Erweiterung symmetrischer Operatoren ........................ 440
16.5 Halbbeschr¨ankte Operatoren.................................. 444
16.6 St¨orungen selbstadjungierter Operatoren ....................... 449
16.7 Gelfand-Tripel und verallgemeinerte Eigenvektoren .............. 457
16.8 Aufgaben................................................... 460
Literaturverzeichnis .................................................. 465
Index................................................................. 473