Table Of ContentColección Compendios Académicos
Aritmética
Algebra
Yony Ortiz Cotaquispc
Femando inga Mendizabal
César Vetósqocz Michuo
Ptiflucker Coz Flores
lumbreras
Editores
Aritmética
Lumbreras
Editores
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A Mendizabal. Cesar V*quccl.zv Michue . (ct al | - 1 a cd . 4* rcimpr -
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1 J*.,ilote 2016.
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Incluye bibliografi.ts.
DI. 2016-10791
ISRN 97K-612-307- 14MI
I. Aritmética - Problema*, ejercicio*, etc 2. Algebra • Problema.',
ejercicios. ele I Ortiz Cotaqur-pc. Yoni II. Inga Mendizab.il,
Fernando III VelAsqucz Michue. César. 19W<- IV. Asociación rondo de
Investigadores s Editores (Lima) V Sene
BNP: 2016-227
ARITMETICA - ALGEBRA
Autores: Yony Ortiz Cotaquispe. Fernando Inga Mendizabal.
Cesar Veiasquez Mtchue. Phflucker. Humberto Coz Flores
© Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
© Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av. Alfonso ligarle N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elumbreras.com.pe
Primera edición: julio de 2013
Primera reimpresión: marzo de 2014
Tercera reimpresión: julio de 2015
Cuarta reimpresión: septiembre de 2016
Tiraje: 5000 ejemplares
ISBN: 978-612-307-348-0
Registro del proyecto editorial N.° 31501051600874
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú" N.° 2016-10791
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.° 822
Distribución y ventas al por mayor y menor
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713
151 [email protected]
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de septiembre de 2016.
Calle Las Herramientas N.° 1873 / Av. Alfonso Ligarte N.° 1426 - Lima-Perú.
Teléfono: 336-5889
ARITMÉTICA
Pág.
Presentación..................................................................................................................................
11
Capítulo I: Razones y proporciones........................................................................................
21
Capitulo II: Promedios.............................................................................................................
32
Capítulo III: Magnitudes proporcionales ................................................................................
44
Capítulo IV: Regla del tanto por ciento...................................................................................
54
Capítulo V: Regla de mezcla....................................................................................................
65
Capítulo VI: Regla de interés..................................................................................................
Capítulo VII: Teoría de conjuntos...........................................................................................
Capítulo VIII: Teoría de numeración.......................................................................................
100
Capítulo IX: Operaciones fundamentales............................................................... ...............
112
Capítulo X: Teoría de divisibilidad...........................................................................................
122
Capítulo XI: Clasificación de los números enteros positivos (Z+)...............................................
133
Capítulo XII: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Capítulo XIII: Fracciones y números decimales 143
Capítulo XIV: Potenciación y radicación 154
Capítulo XV: Análisis combinatorio........................................................................................ 164
Bibliografía 174
ÁLGEBRA
Capítulo I: Conjuntos numéricos y leyes de exponentes ...........................
Capitulo II: Polinomios .......................................................................................
Capítulo III: Productos notables...............................................................................
Capítulo IV: División de polinomios ...........................................................................
Capítulo V: Factorización de polinomios.......................................................................
Capítulo VI: Números complejos...................................................................................
Capítulo Vil: Teoría de ecuaciones.................................................................................
Capítulo VIII: Sistema de ecuaciones lineales.............................................................
Capítulo IX: Sistema de ecuaciones no lineales.........................................................
Capítulo X: Desigualdades..............................................................................................
Capítulo XI: Inecuaciones ...............................................................................................
Capítulo XII: Expresiones irracionales.........................................................................
Capítulo XIII: Valor absoluto...........................................................................................
Capítulo XIV: Teoría de logaritmos...............................................................................
Capítulo XV: Teoría de funciones ..................................................................................
Capítulo XVI: Programación lineal................................................................................
Bibliografía ...................................................................................................................................
Claves................................................................................................................................................
Presentación
La realidad de la educación en el Perú es hoy algo preocupante. Los distintos
esfuerzos provenientes del Gobierno no se ven reflejados en avances significa
tivos en este aspecto. Las políticas educativas nos muestran resultados negativos
desde hace ya muchos años, y es poco lo que los estudios y las propuestas han
logrado mejorar en las condiciones del sistema educativo: peor aún, permiten las
desigualdades a nivel socioeconómico en las zonas rurales más alejadas del país:
es decir, los estudiantes reciben una educación de baja calidad y en condiciones
precarias.
En este contexto, los esfuerzos por aportar al desarrollo de la cultura y la
educación en el país serán siempre valorados. Es así que, conscientes de esta
realidad, la Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Afined), a través
de su sello Lumbreras Editores, tiene como uno de sus objetivos contribuir al
desarrollo de la educación: ello se cristaliza a través del aporte de los profe
sores del Instituto de Ciencias y Humanidades, quienes han sistematizado los
materiales de manera didáctica gracias a su amplia experiencia docente que
garantizan un contenido de calidad y, sobre todo, siempre accesible a los sectores
populares, sumado a la presencia de nuestro sello editorial en distintos puntos del
territorio nacional.
En esta ocasión presentamos el libro Aritmética -Álgebra, perteneciente a la
Colección Compendios Académicos, publicación dirigida al estudiante preuniversi
tario, que constituye una herramienta útil para reforzar sus conocimientos gracias al
trabajo teórico-práctico así como los problemas resueltos y propuestos mostrados
por niveles, que permiten una mejor comprensión del tema. Este libro se constituye
en material de consulta no solo para alumnos sino también para docentes, tanto de
los últimos años del nivel escolar como preuniversitario.
Finalmente, nuestra institución reafirma su compromiso con la educación y la
cultura del país, contribuyendo en la elaboración de libros de calidad, además de
promover el trabajo de investigación, que nos permite acceder a una educación
científica y humanista; todo ello siempre al servicio de los sectores más amplios de
nuestra sociedad.
ARITMÉTICA
Yony Ortiz Cotaquispe / Fernando Inga Mendizabal
r Razones y proporciones
----------------------------- - ----------------------------------------------------- Capítulo I
Objetivos
• Interpretar los resultados de la comparación de dos cantidades de una característica
o cualidad inherente en los objetos.
• Reconocer las propiedades que se cumplen en las proporciones e igualdad de razones
geométricas para la resolución de problemas de la vida cotidiana y en otras disciplinas.
Uno de los conceptos matemáticos que se utili
* Razón
za en la vida cotidiana es la razón; por ejemplo,
Es la comparación que se establece entre dos
los biólogos lo utilizan para estimar el número
cantidades mediante las operaciones de sus
de peces que hay en un lago; primero capturan
tracción o división.
una muestra de peces y marcan a cada espéci
men con una etiqueta inofensiva; unas semanas
Razón aritmética (R. A.)
después capturan una muestra similar de los
peces de las mismas áreas del lago y determi Es la comparación de dos cantidades mediante
nan la proporción de peces marcados, previa la sustracción. *
mente, que hay en la muestra nueva. Se calcula
Ejemplo
que la población total de peces con base en la
La edad de Ana es 36 años y la edad de Brenda
suposición de la proporción de peces marcados
es 28 años; entonces podemos comparar sus
en la muestra nueva es la misma que la propor
edades.
ción de los peces marcados en el lago entero.
Suponga que el 1 de mayo los biólogos marca razón aritmética
*
ron 300 peces, después regresan el 1 de junio y
36 años-28 años = 8 años
toman una muestra de 400 peces, entre los que
había 5 marcados. Calculemos el número de
antecedente
peces que hay en el lago.
consecuente
Sea x el número de peces en el lago. Se plantea
valor de la R.A.
la proporción
Interpretación
x = 24 000 • La edad de Ana excede a la edad de Brenda
en 8 años.
Se estima que aproximadamente hay 24 000 pe • La edad de Brenda es excedida por la edad
ces en el lago. de Ana en 8 años.
Lumbreras Editores
Razón geométrica (R. G.) • Igualdad de razones geométricas
Es la comparición de dos cantidades mediante
Llamada también serie de razones geométricas
la división.
equivalentes (SRGE).
L'jeniplo
Ejemplo
En un lecipiente se tiene una mezcla de 24 I. de
Tenemos las siguientes razones geométricas
vino y 8 L de agua; entonces podemos compa
cuyos valores son iguales.
rtir los volúmenes de vino y de agua.
40 30 15 __ 10 .
i.i/on jji'onu'irlc.i 8 6 3 2
•inlcccdcnte •--------24 L 3 Igualando tenemos
consecuente --------8 L I
.ínleccdcntcs
v.ilot de la R G 40 = 30 15.10
8 6 3 2
Interpretación
consecuente:»
• La cantidad de vino es el triple de la canti constante de
proporcionalidad
dad de agua.
• Las cantidades de vino y de agua están en , Observación--------------------------------------
la relación de 3 a I. En la Igualdad de 4 razones geométricas se
tienen 8 términos que ocupan un lugar esta
• La cantidad de vino es como 3 y la cantidad
blecido.
de aguaos como 1.
1. *’’ lérm. 3*' . lénn. 5.°térm. 7.°lérm.
• Por cada 3 L de vino hay I L de agua.
<__2. "_té_rm_. _I*lé.'n_n._ _6_.'’té_rm_. _8.°_tér_m._ >
• La cantidad de vino es tres veces a la canti
dad de agua.
Igualdad de razones geométricas
• La cantidad de vino es dos veces más a la
CONTINUAS
cantidad de agua.
Ejemplos
En general
4=8^ = ]6 = 32 = ¿
8 16 ”32 “64 "2
Razón aritmética Razón geométrica
16254186
54 “ 18“ 6 “2
Tiene la forma
donde
a: antecedente
o
b: consecuente b c d e
rv k: valores de las razones
Capitulo I: Razones y proporciones
Propiedades de la igualdad de razones • Proporción
GEOMÉTRICAS
Es la igualdad de dos razones de la misma clase
De la igualdad de razones geométricas de) ejem y tiene el mismo valor.
plo inicial
Proporción aritmética
40_30_15_10
8 = 6 = 3 = 2 =b’ Es la igualdad de dos razones aritméticas.
se cumple que
Ejemplo
Se tienen 4 recipientes de vino cuyos volúmenes
son 36 L; 28 L; 42 L y 34 L.
40=8x5
30=6x5
15=3x5
10=2x5
t Se observa que
(antecedente)=(consecuente)x(cte.)
36-28=42-34
_____________
2. donde
36 y 34: términos extremos
404-30 + 154-10
*— cte.
28 y 42: términos medios
8 + 6 + 3 + 2
Se cumple que 36+24 = 42+28
i
‘ ‘ > y
40 + 30 + 15
*— cte. suma de lérm. suma de
8+6+3 extremos lérm. medios
Tipos
suma de antecedentes = (constante)
a. Discreta
suma de consecuentes
Cuando los términos medios son diferentes.
3. a-b=c-d
40x30x15 _g3 donde
cte.
8x6x3 d: cuarta diferencial de a, b y c
40x30x15x10 b. Continua
cte.
8x6x3x2 Cuando los términos medios son iguales.
■X
a-b=b-c
producto de antecedentes
=(constante)'1
donde
producto de consecuentes
- b: media diferencial de a y c
n: número de razones que se multiplican - c: tercera diferencial de a y b
