Arcos na Circunferência

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Arcos na Circunferência

1. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um
obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do
prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,IIeIII, nas figuras a seguir.

Admita que:

- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são
respectivamente iguais a 2 3 decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.

Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo
que representa a base do cilindro.

2. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa
descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da
circunferência da praça é
a) 125π
175
b)
π
125
c)
π
250
d)
π
e) 250π

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3. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E,
respectivamente, e BAˆE60.

Se os arcos BPC,CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo BEˆC, indicada na
figura por α, é igual a
a) 20°
b) 40°
c) 45°
d) 60°
e) 80°

4. (Uem 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 u.c. Sejam A, B, C, D e E
pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros.
Assinale o que for correto.
01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos.
02) O quadrilátero ABDE é um retângulo.
04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a.
08) A medida do ângulo AEˆB é a metade da medida do ângulo EOˆD.
3
16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que da área do círculo.
4

5. (G1 - cftmg 2013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C,
conforme a figura.

Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é
π
a) .
3
π
b) .
2
c) π.
d) 2π.

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6. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que
seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam:

“É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de
controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada
movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser
sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo.
Por exemplo, dos pontos P e P a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o
1 2
palco.”

Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é
a) b)

c) d)

e)

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7. (G1 - cftmg 2013) Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro P foi pintado em duas
tonalidades, conforme a figura.

A área pintada na tonalidade mais clara, em cm2, é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.

8. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas
Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para
Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de
Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma
decimal é
a) 124,02°.
b) 124,05°.
c) 124,20°.
d) 124,30°.
e) 124,50°.

9. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular
de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra
L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é
um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.

Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?
a) 15 graus
b) 30 graus
c) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 graus

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10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão
entre as medidas dos ângulos AÔDe CÔB é

5
a)
2
3
b)
2
c) 2
4
d)
3
e) 3

11. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida
do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é

a) 53.
b) 57.
c) 61.
d) 64.
e) 66.

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12. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o
ponto A é exterior a ela. Além disso,

(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.

Nessas condições, a medida de ABˆ O, em radianos, é igual a:
a) π - (α/4)
b) π - (α /2)
c) π - (2α/3)
d) π - (3α/4)
e) π - (3α/2)

13. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos
vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E,
respectivamente.

A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a) 72°.
b) 108°.
c) 120°.
d) 135°.
e) 144°.

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14. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre
essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do
círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais.

O comprimento do segmento AB é
a) 2 m.
b) 3 m.
c) 3 2m.
d) 2 5m.
e) 2 3m.

15. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as
cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é

a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°

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16. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A
soma das medidas m + n, em graus, é

a) 70
b) 90
c) 110
d) 130

17. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro
O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é

a) 5
b) 6
c) 8
d) 9

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18. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o
arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo
APD é

a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35

19. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma
espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem
4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.
Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:
a) 100
b) 110
c) 120
d) 130

20. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador
e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.

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Gabarito:

Resposta da questão 1:

Na figura, temos:
3
tg60 x 1
x
a 3
2 3 a4
2
2π 3120 2π 3
y  
360 3

Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:
 2π 3
daxaxy6 dm
 3 
 

Resposta da questão 2:
[C]

Admitindo R a medida do raio, temos:
4π 100 125
144 rad R .
5 R π

Resposta da questão 3:
[B]

Seja S um ponto do menor arco BE.

Como BPCCQDDRE2α, segue-se que BSE3606α. Portanto, como EAB é
excêntrico exterior, temos

BQEBSE 6α(3606α)
EAB 60
2 2
606α180
α 40.

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