Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II: Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik

514 Pages·2006·3.293 MB·German

by  Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn, Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann (auth.)

Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn,
Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Karl Graf Finck von Finckenstein, Jürgen Lehn,
Helmut Schellhaas, Helmut Wegmann
Arbeitsbuch Mathematik
für Ingenieure
Band II: Differentialgleichungen,
Funktionentheorie,
Numerik und Statistik
3., durchgesehene und erweiterte Auflage
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein
Geboren 1933 in Semlow/Vorpommern. Von 1952 bis 1959 Tätigkeit in der landwirtschaftlichen Praxis. Von 1959 bis 1965 Studium
der Mathematik und Physik an der Universität Göttingen. 1965 Diplom in Mathematik, 1966 Promotion. Von 1967 bis 1974 wiss. Mit-
arbeiter am Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching bei München. Seit 1974 Professor für Mathematik an der Technischen
Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Lehn
Geboren 1941 in Karlsruhe. Studium der Mathematik an den Universitäten Freiburg und Karlsruhe. Wiss. Assistent an den Universitä-
ten Karlsruhe und Regensburg. 1968 Diplom in Karlsruhe, 1972 Promotion in Regensburg, 1978 Habilitation in Karlsruhe. 1978 Pro-
fessor für Mathematik an der Universität Marburg, seit 1979 an der Technischen Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas
Geboren 1936 in Zwingenberg/Bergstraße. Studium der Mathematik und Physik an der Technischen Universität Darmstadt. Wiss. Mit-
arbeiter und wiss. Assistent an der Technischen Universität Darmstadt und der Universität Mainz. 1961 Diplom in Mathematik, 1966
Promotion, 1971 Habilitation in Darmstadt. Von 1972 bis zu seinem Tode im Jahr 2000 Professor für Mathematik an der Technischen
Universität Darmstadt.
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann
Geboren 1938 in Worms. Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Mainz und Tübingen. Wiss. Assistent an den Uni-
versitäten Mainz und Stuttgart. 1962 Staatsexamen in Mainz, 1964 Promotion in Mainz, 1969 Habilitation in Stuttgart. Seit 1970 Pro-
fessor für Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt.
1. Auflage 2002
2. Auflage2004
3., durchgesehene und erweiterte Auflage März 2006
Alle Rechte vorbehalten
© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006
Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann
Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media.
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Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 3-8351-0030-0
Vorwort
Der zweite Band dieses Arbeitsbuches Mathematik fu¨r Ingenieure behandelt
die Stoffgebiete, die in der Regel im dritten und vierten Semester der mathe-
matischen Grundausbildung in den ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen
angeboten werden: Gew¨ohnliche und partielle Differentialgleichungen, Laplace-
Transformationen,Funktionentheorie,numerischeVerfahrenderLinearenAlgebra
und der Analysis sowie Statistik.
Form und Konzept des ersten Bandes sind weitgehend beibehalten worden. Zu je-
dem Gebiet werden zun¨achst Definitionen und S¨atze zusammengestellt und dann
kommentiert und erl¨autert. Es folgen ausfu¨hrlich durchgerechnete Beispiele. In
den Kapiteln u¨ber Numerische Mathematik sind dies oft Probleme, die auch ana-
lytischexaktgel¨ostwerdenk¨onnen.AufdieseWeisekannderLeserdurchVergleich
die Qualit¨at der numerischen N¨aherungsverfahren gut u¨berpru¨fen. Jedes Kapitel
schließt mit U¨bungsaufgaben, deren L¨osungen im Anhang zu finden sind. Viele
Kapitel enthalten auch Multiple-Choice-Aufgaben, um dem Leser die M¨oglichkeit
zugeben,seinVerst¨andnisdeserarbeitetenStoffeszuu¨berpru¨fen. Wieauchimer-
stenBandsindkeinevollst¨andigenBeweiseenthalten.Stattdessenwerdenvielfach
wichtige Beweisideen angedeutet oder im Rahmen der Beispiele sichtbar gemacht.
InderBezeichnungsweisegibteseinigeAbweichungenzumerstenBand.ZumBei-
spiel werden Vektoren und Vektorfunktionen mit kleinen lateinischen Buchstaben
bezeichnet, w¨ahrend die Großbuchstaben zur Bezeichnung von Matrizen verwen-
det werden. Bezu¨ge auf den ersten Band beziehen sich auf die zweite Auflage des
Arbeitsbuches, in der die Lineare Algebra integriert ist.
Der vorliegende Band ist auf der Grundlage von Vorlesungsskripten entstanden.
Die Autoren haben in langj¨ahriger Praxis der Ingenieurausbildung die Stoffaus-
wahl und die Darstellung erprobt. Bei der Abfassung des Textes haben sie auch
Skripten und andere Unterlagen ihres verstorbenen Kollegen Helmut Schellhaas
wesentlichmitverwendet. Obwohlihm eine aktiveMitarbeit an diesemBand nicht
mehr m¨oglich war, ist auf diese Weise sein Beitrag deutlich spu¨rbar.
Wir danken all denen, die uns bei der Fertigstellung dieses zweiten Bandes un-
terstu¨tzt haben. Es sind Studierende, Mitarbeiter und Kollegen. Hervorheben
m¨ochten wir Frau Dipl.-Math. Kerstin Dostal, Herrn Dipl.-Math. Tobias Harth
und Herrn Dr. Thilo Volz, die Teile des Manuskriptes Korrektur gelesen und bei
der Auswahl von Beispielen und Aufgaben mitgewirkt haben. Besonderer Dank
gilt Frau Gudrun Schumm, die ebenso wie beim ersten Band mit großer Sach-
kenntnis die TEX-Version des Manuskriptes erstellt hat. Schließlich danken wir
dem Teubner-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Peter Spuhler, fu¨r die gute Zusam-
menarbeit.
Darmstadt, im Juli 2002
Karl Graf Finck von Finckenstein,
Ju¨rgen Lehn,
Helmut Wegmann
Vorwort zur dritten Auflage
Die dritte Auflage unterscheidet sich von den vorherigen nur dadurch, dass im
Statistik-Teil ein neues Kapitel u¨ber Sch¨atzen und Testen bei der Regression an-
gefu¨gt wurde. Dies geschah auf Wunsch unserer Studierenden, die in ihrem sp¨ate-
ren Studium h¨aufig mit Fragen der Regression konfrontiert werden. Frau Dr. Bri-
gitte Walther danken wir fu¨r ihre Hilfe bei der Vorbereitung der dritten Auflage.
Darmstadt, im Oktober 2005
Karl Graf Finck von Finckenstein,
Ju¨rgen Lehn,
Helmut Wegmann
Inhaltsverzeichnis
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen; Einfu¨hrung und geometrische
Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung. . . . . . . . . . . 12
3 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . 31
5 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n . . . . . . . . . . . 38
6 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . 50
7 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Approximative L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 Rand- und Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10 Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung . . 87
11 L¨osungsmethoden bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung 92
12 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13 Die komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
16 Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
17 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
18 Die Cauchyschen Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
ivviii Inhaltsverzeichnis
19 Potenz- und Laurent-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
20 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Numerische Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
21 Direkte L¨osung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 203
22 Iterative L¨osung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 226
23 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . . . . . . . 240
24 L¨osung nichtlinearer Gleichungen und Systeme . . . . . . . . . . . 251
25 Interpolation und Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
26 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
27 Numerische Behandlung von Anfangswertproblemen gew¨ohnlicher
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
28 Numerische Behandlung von steifen Differentialgleichungen . . . . 300
29 NumerischeBehandlungvonRandwertproblemengew¨ohnlicherDif-
ferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
30 Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Diffe-
rentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
31 Numerische Behandlung von Anfangs-Randwertproblemen partiel-
ler Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
32 Beschreibende Statistik, Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
33 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 352
34 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . 359
35 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . 367
36 Erwartungswertund Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
37 Zentraler Grenzwertsatz und empirische Verteilungsfunktion . . . . 387
38 Testverteilungen und Quantilapproximationen. . . . . . . . . . . . 397
Inhaltsverzeichnis ivx
39 Sch¨atzverfahren und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 403
40 Maximum-Likelihood-Sch¨atzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
41 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
42 Tests bei Normalverteilungsannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . 423
43 χ2 - Anpassungstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
44 Einfache Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
45 Sch¨atzen und Testen bei der Regression . . . . . . . . . . . . . . . 445
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Statistische Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
Differentialgleichungen
Bei der Modellierung technischer und naturwissenschaftlicher Problemstellungen
sind Differentialgleichungen unverzichtbare Hilfsmittel. In der Physik und Me-
chanik lassen sich einfache Bewegungsvorg¨ange mit sogenannten gew¨ohnlichen
Differentialgleichungen, deren L¨osungen reelle Funktionen mit einer reellen
Ver¨anderlichen sind, beschreiben. Kompliziertere physikalische Vorg¨ange wie z.B.
die Str¨omung von Flu¨ssigkeiten oder die W¨armeausbreitung im Raum lassen
sich mit sogenannten partiellen Differentialgleichungenmodellieren. Die L¨osungen
dieser Differentialgleichungen sind reellwertige Funktionen mit mehreren reellen
Ver¨anderlichen. Im Folgenden wird eine ganze Reihe von gew¨ohnlichen und parti-
ellen Differentialgleichungstypen behandelt, die einerseits bei den Modellierungen
in Naturwissenschaftund Technik Verwendung finden, aber andererseitsnoch von
soeinfacherStruktursind,daßanalytischeL¨osungsverfahrenexistieren.Obwohlin
derheutigenwissenschaftlichenArbeitbeiderL¨osungvongew¨ohnlichenundparti-
ellen Differentialgleichungen Computer zum Einsatz kommen und dazu Software-
systeme mit schnellen Algorithmen zur Verfu¨gung stehen, sind die analytischen
L¨osungsmethoden fu¨r Differentialgleichungen grundlegend fu¨r das Verst¨andnis.
Numerische L¨osungsalgorithmen werden in den Kapiteln u¨ber Numerische Ma-
thematik behandelt.