Apuntes de Fundamentos Matemáticos para el Estudio del Medio Ambiente Curso 2006-2007

183 Pages·2007·4.74 MB·Spanish

Apuntes de
Fundamentos Matem´aticos para el
Estudio del Medio Ambiente
1
Curso 2006-2007
Primer cuatrimestre
Vicente Miquel Molina
February 27, 2007
1Versi´on preliminar. Se agradece el env´ıo de correcciones y sugerencias a [email protected]
´
Indice de materias
1 El lenguaje: Conjuntos y aplicaciones 1
1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos. Ejemplos: N, Q, R y C.. . . . . . . . . 1
1.2 Operaciones con conjuntos: uni´on, intersecci´on y complementario. Ejemplos
con intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Producto cartesiano de conjuntos. Ejemplos con conjuntos de nu´meros. In-
troducci´on al espacio n-dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Funciones. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Gr´afica de una
funci´on. Ejemplos de funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Ejemplos cl´asicos: las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Componentes o funciones coordenadas de una funci´on . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Sobre antiim´agenes, ecuaciones y tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Soluci´on gr´afica de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Funciones polin´omicas de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Matrices y aplicaciones lineales 24
2.1 Suma y producto por un escalar en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 La matriz de una aplicaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 k-planos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 M´as propiedades de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 M´as sobre aplicaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Sobre la Geometr´ıa de Rn 42
3.1 Aplicaciones afines y k-planos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Distancia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Bases ortonormales, ortogonalidad y proyecci´on sobre un subespacio. . . . . 45
3.4 Ecuaciones de k-planos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 L´ımites y continuidad 53
4.1 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ii
´INDICE DE MATERIAS iii
5 La derivada 59
5.1 Concepto de derivada de una funci´on de una variable . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Soluci´on aproximada de ecuaciones (m´etodos num´ericos). . . . . . . . . . . . 63
5.3 Derivadas de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Diferencial de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Curvas y superficies de nivel. Funciones definidas en forma impl´ıcita. . . . . 73
5.6 Diferencial de una funci´on definida de modo impl´ıcito . . . . . . . . . . . . . 76
5.7 Normal y tangente a curvas y superficies de nivel y a curvas de R3 definidas
de forma impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 La derivada II: Optimizaci´on 84
6.1 Puntos cr´ıticos para funciones de una variable. M´aximos y m´ınimos absolutos. 84
6.2 M´aximos y m´ınimos relativos. Concavidad y convexidad. Dibujo de gr´aficas. 87
6.3 Teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hˆopital. . . . . . . . . . . . 90
6.4 Desarrollo en serie de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.5 Derivadas sucesivas. M´aximos y m´ınimos relativos para funciones de varias
variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.6 Desarrollo de Taylor de una funci´on de varias variables . . . . . . . . . . . . 101
6.7 M´aximos y m´ınimos absolutos para funciones de varias variables . . . . . . . 102
6.8 M´aximos y m´ınimos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.9 Ap´endice: ajuste por m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 La integral para funciones de una variable 110
7.1 Primitivas o antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Las primitivas como soluciones de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . 111
7.3 Algunos m´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Aplicaciones del c´alculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.6 M´etodos num´ericos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Ecuaciones diferenciales ordinarias 124
8.1 Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a una de primer orden 128
8.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes 129
8.5 Soluciones num´ericas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . 132
9 Integraci´on de funciones de varias variables 141
9.1 Definici´on de integral de una funci´on f : Rn −→ R en un dominio acotado de
Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 C´alculo de integrales dobles y triples, regla de Fubini. . . . . . . . . . . . . 144
9.3 Cambiodecoordenadas. C´alculodeintegralesencoordenadaspolares,esf´ericas
y cil´ındricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4 Aplicaci´on al c´alculo de ´areas y volu´menes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5 Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
iv ´INDICE DE MATERIAS
10 Integrales de l´ınea (o curvil´ıneas) y de superficie 154
10.1 Campos vectoriales gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2 Integraci´on de campos vectoriales a lo largo de una curva. . . . . . . . . . . 158
10.3 Teorema de Green en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.4 Elemento de ´area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.5 Flujo de un campo vectorial a trav´es de una superficie . . . . . . . . . . . . 164
10.6 Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.7 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Ap´endices 172
1 Nu´meros complejos. F´ormula de Euler 171
1.1 Representaci´on gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1.2 Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.3 Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.4 Derivaci´on de funciones f : R −→ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.5 Una “justificaci´on” de la f´ormula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Bibliograf´ıa
[1] I. Anshel, D. Goldfeld: Calculus. A computer algebra approach, International Press
Boston 1996.
[2] T.M. Apostol :, Calculus I y II, Revert´e, Barcelona 1989.
[3] K.BinmoreyJ.Davies, Calculus. Concepts and Methods, CambridgeU.P., Cambridge
2001.
[4] A. Gray, M. Mezzino y M. A. Pinsky Introduction to Ordinary Differential Equations,
Springer Velrag, colecci´on Telos, Santa Clara, California, Nueva York, Londres 1981.
[5] J. H. Hubbard y B. Burke-Hubbard: Vector Calculus, Linear ALgebra and Differential
Forms, Segunda edici´on, Prentice Hall Boca Raton, London 2002
[6] J. Marsden y A. Weinstein Calculus I, II y III Springer Verlag, Nueva York 1985
[7] M. Rosser, Basic Mathematics for Economists, Routledge, Londres 2003.
[8] S.L. Salas y E. Hills, Calculus I y II, Revert´e, Barcelona 1994.
[9] J. Stewart: C´alculo : conceptos y contextos, Tercera Edici´on, International Thomson,
M´ejico, 1983
[10] S. T. Tan: Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences, 5th Edition,
Thomson Learning, Belmont 2002
[11] G. B. Thomas y R.L. Finney, C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica, Addison-Wesley
Iberoamericana, Wilmington, 1987.
Los libros [4] y [5] son de un nivel claramente superior al del curso, pero est´an en la
bibliograf´ıa porque se han usado para algunos detalles de estos apuntes.
v
vi BIBLIOGRAF´IA
Cap´ıtulo 1
El lenguaje: Conjuntos y
aplicaciones
1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos. Ejemplos: N, Q, R
y C.
Un conjunto A es un objeto matem´atico que tiene elementos. Indicamos que un elemento
a es del conjunto A con el s´ımbolo
a ∈ A que se lee: a pertenece a A.
Entre los conjuntos m´as usados en Matem´aticas se encuentran los conjuntos cuyos ele-
mentos son nu´meros. Los nu´meros m´as conocidos son los nu´meros naturales, que se intro-
ducen para contar. El conjunto de los nu´meros naturales lo representamos por N, y el de los
nu´meros naturales excepto el 0 por N∗
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, N∗ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
Lo que acabamos de hacer es un modo est´andar de describir un conjunto: poniendo entre
llaves los elementos que lo contienen. En este caso, como la cantidad de elementos es infinita
y no los podemos describir todos, ponemos los puntos suspensivos que permiten entender
al lector los elementos que estamos considerando. Ordinariamente habr´a que emplear otros
“trucos”quepermitandescribir(conm´asprecisi´onquelospuntossuspensivos)loselementos
del conjunto.
En el conjunto N tenemos bien definidas las operaciones de suma y producto. Si, en ´el,
consideramos la ecuaci´on
x+m = n, con m , n ∈ N y x la inc´ognita,
nos encontramos con que s´olo tiene soluci´on si m ≤ n. Para tener soluciones cuando m > n,
necesitamos ampliar el concepto de nu´mero, introduciendo los enteros negativos, tenemos
as´ı un nuevo conjunto de nu´meros, el de los nu´meros enteros
Z = { ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }.
1
2 Fundamentos Matem´aticos E. M. A. 2003-2004
Denotaremos por Z∗ el conjunto de todos los nu´meros enteros menos el nu´mero 0.
Si ahora consideramos la ecuaci´on
m x = n,
solo tiene soluci´on en Z si n es un mu´ltiplo de m. Para tener soluciones cuando no es as´ı,
necesitamos introducir los nu´meros fraccionarios. Aparece as´ı el conjunto de los nu´meros
racionales
m
Q = { ; m ∈ Z, n ∈ Z∗}.
n
Acabamos de hacer ahora una descripci´on m´as usual de los elementos de un conjunto.
Como hicimos cuando describimos los naturales, hemos colocado los elementos del conjunto
entre llaves, pero ahora hemos descrito con precisi´on sus elementos, hemos dicho que el
conjunto Q est´a formado por todos los elementos de la forma m para cualesquiera nu´meros
n
enteros m y n, con n 6= 0 (lo que hemos descrito por m ∈ Z, n ∈ Z∗).
√
De nuevo aparecen magnitudes (como 2, π, ... ) que no son nu´meros racionales, no
est´an en Q, y es preciso introducir el conjunto R de los nu´meros reales, que contiene, adem´as
√ √
de los nu´meros racionales, nu´meros no racionales como 2, π, 3, e, ... . Se tiene
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
donde el s´ımbolo ⊂ significa (y se lee) “contenido”. En general, dados dos conjuntos A y B,
decimos que A es un subconjunto de B o que A est´a contenido en B si todo elemento de A
es tambi´en un elemento de B, lo que simb´olicamente se escribe as´ı:
A ⊂ B si x ∈ A implica x ∈ B,
o, tambi´en
A ⊂ B si y solo si para todo x ∈ A se tiene que x ∈ B,
o, m´as abreviadamente
A ⊂ B ⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B).
Si consideramos ahora la ecuaci´on
a x2+b x+c = 0, (1.1)
sabemos que sus soluciones en R vienen dadas por
√
−b± b2−4ac
x = ,
2a
de donde se deduce que las soluciones existen si y solo si b2 − 4ac ≥ 0. Por lo tanto, si
queremos que la ecuaci´on (1.1) tenga soluci´on siempre, necesitamos que la ra´ıces de nu´meros
negativos existan. Esto es lo que lleva a la definici´on de los nu´meros complejos.
√
Comenzamos definiendo el nu´mero i. Es un nu´mero (imaginario) que verifica que −1 =
i ´o, equivalentemente, que i2 = −1.
Una vez que tenemos definido el nu´mero i, existir´a la ra´ız de cualquier nu´mero negativo,
ser´a:
√ p √ √ √ √
−a = a (−1) = a −1 = a i = i a, donde a > 0.
C1 Conjuntos y aplicaciones 3
Tenemos as´ı definidos los nu´meros imaginarios, que son los productos por i de los nu´meros
reales.
Queremos que los nuevos nu´meros a introducir, los complejos, contengan estos nu´meros
imaginarios (que son las ra´ıces de nu´meros negativos) y, adem´as, los nu´meros reales, por
lo tanto deber´an contener la suma de un nu´mero real y un nu´mero imaginario. Definimos
entonces el conjunto de los nu´meros complejos por
C = {a+ib; a,b ∈ R}.
Dado un nu´mero complejo z = a + i b, se llama parte real de z a <(z) = a y parte
imaginaria a =(z) = b.
Escribiremos 0+i b = i b, y a+i 0 = a, de este modo se puede considerar que todo
nu´mero real a es complejo identific´andolo con a+i 0. Resulta as´ı R ⊂ C.
Ejercicios
1. Escribe todos los elementos de los siguientes conjuntos:
(a) {n2;n ∈ Z y −2 ≤ n ≤ 3}, (b) {x2;x ∈ R},
(c) {zn;z = 1+i, n ∈ Z, −1 ≤ n ≤ 1}, (d) {x ∈ R; x2+x−1 = 0},
(e) {x ∈ R; x2+x+1 = 0}, (f) {x ∈ C; x2+x+1 = 0}.
2. D´ı si son ciertas o no, y explica por qu´e, las siguientes relaciones:
(a) 8 ∈ {n3; n ∈ N}, (b) (1,2) ∈ {(x,y); x ∈ Q,y ∈ R},
(c) (3,4) ∈ {(x,y); 3 < x < 5, 3 < y < 6},
(d) 3 ∈ {x ∈ R; x3−x2−x−15 = 0}, (e) 1+i ∈ {z ∈ C; z2 = 1},
(f) (3,4) ∈ {(x,y); x,y ∈ R, x+y = 7, x−y = −1},
(g) (3,4) ∈ {(x,y); x,y ∈ R, x+y = 7, x−y = 1}.
3. D´ı cuales de los siguientes nu´meros son naturales, enteros, racionales, irracionales,
reales, complejos, imaginarios puros (si de alguno no sabes exactamente qu´e tipo de
nu´meroes,dialmenosporqu´enolosabesy,ensucaso,loqueteparecem´asprobable):
√ √
3, 3014159, π, 5/8, 3, 2, 104142, e, 2071828, 1073205, 5, 6, 5, 3+ i, 3014159 i, ıπ,
√ √ √ √ √ √ 5 5 6
i−5/8, 3 i+ 3, −2, 104142, −e, ( 2071828)4, ( −1073205)2, i, 6−7 i, (−5 i)2
5 5 6 6
.
1.2 Operaciones con conjuntos: uni´on, intersecci´on y com-
plementario. Ejemplos con intervalos.
Dados dos conjuntos A y B, definimos su uni´on por
A∪B = {x; x ∈ A ´o x ∈ B},
4 Fundamentos Matem´aticos E. M. A. 2003-2004
dicho de otra manera, A∪B es el conjunto formado por todos los elementos que est´an en A
´o B. Intuitivamente, la uni´on de dos conjuntos es el conjunto que resulta de juntar los dos.
Del mismo modo, dados n conjuntos A , ... , A , se define su uni´on por
1 n
A ∪...∪A = {x; x ∈ A para algu´n i ∈ {1,...,n}},
1 n i
o tambi´en,
A ∪...∪A = {x; x ∈ A para algu´n i, 1 ≤ i ≤ n},
1 n i
o tambi´en,
A ∪...∪A = {x; existe un i ∈ {1,...,n} tal que x ∈ A },
1 n i
o tambi´en,
A ∪...∪A = {x; existe un i, 1 ≤ i ≤ n tal que x ∈ A }.
1 n i
La intersecci´on de conjuntos se define as´ı:
A∩B = {x; x ∈ A y x ∈ B},
dicho de otra manera, A∩B es el conjunto formado por todos los elementos que est´an en
A y en B. Es decir, la intersecci´on de dos conjuntos es el conjunto que resulta de tomar los
elementos que est´an a la vez en los dos conjuntos.
Del mismo modo, dados n conjuntos A , ... , A , se define su intersecci´on por
1 n
A ∩...∩A = {x; x ∈ A para todo i ∈ {1,...,n}},
1 n i
o tambi´en,
A ∩...∩A = {x; x ∈ A para todo i, 1 ≤ i ≤ n},
1 n i
o tambi´en,
A ∩...∩A = {x; para todo i ∈ {1,...,n} se verifica que x ∈ A },
1 n i
o tambi´en,
A ∩...∩A = {x; para todo i, 1 ≤ i ≤ n se tiene que x ∈ A }.
1 n i
El conjunto que no tiene ningu´n elemento se llama conjunto vac´ıo, y se escribe ∅.
Dos conjuntos A y B que no tienen ningu´n elemento en comu´n tienen intersecci´on vac´ıa,
A∩B = ∅, y se dice que son disjuntos.
Dado un conjunto X y un subconjunto A ⊂ X, se llama diferencia de X y A, o, tambi´en,
complementario de A (en X), al conjunto
X −A = {x; x ∈ X y x ∈/ A}.
Se deduce de esta definici´on que X −A = ∅ si y solo si X = A, y X −A = X si y solo si
A = ∅.
Tambi´en para el caso A,B ⊂ X se define B−A = {x; x ∈ B y x ∈/ A}. Con esta definici´on se
tiene que B−A=∅ si y solo si B ⊂A, y B−A=B si y solo si B∩A=∅