Approximation und Nichtlineare Optimierung in Praxisaufgaben: Anwendungen aus dem Finanzbereich und der Standortplanung

241 Pages·2017·3.44 MB·German

by  Alfred Göpfert

Alfred Göpfert
Thomas Riedrich
Christiane Tammer
Approximation und
Nichtlineare Optimierung
in Praxisaufgaben
Anwendungen aus dem Finanzbereich
und der Standortplanung
Studienbücher Wirtschaftsmathematik
Herausgegebenvon
Prof.Dr.BerndLuderer,TechnischeUniversitätChemnitz
DieStudienbücherWirtschaftsmathematikbehandelnanschaulich,systematischund
fachlichfundiertThemenausderWirtschafts-,Finanz-undVersicherungsmathematik
entsprechenddemaktuellenStandderWissenschaft.
Die Bände der Reihe wenden sich sowohl an Studierende der Wirtschaftsmathema-
tik,derWirtschaftswissenschaften,derWirtschaftsinformatikunddesWirtschaftsinge-
nieurwesensanUniversitäten,FachhochschulenundBerufsakademienalsauchanLeh-
rendeundPraktikerindenBereichenWirtschaft,Finanz-undVersicherungswesen.
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(cid:2) (cid:2)
Alfred Göpfert Thomas Riedrich
Christiane Tammer
Approximation und
Nichtlineare Optimierung
in Praxisaufgaben
Anwendungen aus dem Finanzbereich
und der Standortplanung
AlfredGöpfert ChristianeTammer
InstitutfürMathematik InstitutfürMathematik
Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg
Halle,Deutschland Halle,Deutschland
ThomasRiedrich
InstitutfürAnalysis
TechnischeUniversitätDresden
Dresden,Deutschland
StudienbücherWirtschaftsmathematik
ISBN978-3-658-14760-0 ISBN978-3-658-14761-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-14761-7
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Danksagung
BesonderenDankrichtenwiranHerrnBerndLudererundHerrnWolfgangW.Breckner
für dieäußerstgründlicheDurchsichtdes Manuskriptesund sehr konstruktiveAnregun-
gen. Für die Anfertigung mehrerer Abbildungen danken wir Herrn Christian Günther,
weiterhinFrauElisabethKöbisfürvielenützlicheHinweiseundHerrnChristianRothfür
dieBereitstellungvonAufgabenausderVersicherungsmathematik.
BeiderHerstellungdercomputergestütztenAnfertigungdesManuskriptshatunsFrau
Sylke Sauter unterstützt. Wir möchten uns herzlich bedanken, ebenso bei Frau Ulrike
Schmickler-HirzebruchvomSpringerVerlagfürdieguteZusammenarbeit.
Leipzig,Dresden,Halle AlfredGöpfert
September2016 ThomasRiedrich
ChristianeTammer
V
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Approximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 GrundsätzlicheszuApproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 AufgabenzuProjektionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 AufgabenzuProjektionenbeiderBild-undSignalverarbeitung . 14
2.2.3 AufgabenzuverallgemeinertenFourier-Entwicklungen . . . . . . 17
2.2.4 Gram’scheMatrixundApproximationsaufgaben. . . . . . . . . . . 19
2.2.5 AufgabenzurOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 NichtlineareOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 GrundsätzlicheszurNichtlinearenOptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 AbbildungenundFunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 AlgebraischeundtopologischeEigenschaftenvonFunktionalen . 31
3.1.3 SatzvonHahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4 Fenchel-Konjugierte, Subdifferentiale und Lagrange-Technik
derKonvexenAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.5 Limiting,Mordukhovich-Subdifferential. . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.6 UnterhalbstetigkeitundInfimumannahme . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.7 AufgabenzurOptimierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Skalarisierungsfunktionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 NichtlineareSkalarisierungsfunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 AufgabenzuSkalarisierungsfunktionalen . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 CharakterisierungssatzderkonvexenOptimierung . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 DualitätsaussagenundökonomischeInterpretationen . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 AufgabenzurAnwendungderDualitätinderlinearenOptimierung 64
3.5 VariationsprinzipvonEkelandundMaximalpunkttheoreme . . . . . . . . 67
3.5.1 DasVariationsprinzipvonEkeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.2 AufgabenzurAnwendungdesVariationsprinzips . . . . . . . . . . 69
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
3.6 Equilibriumprobleme,VariationsungleichungenundVerallgemeinerungen 78
3.6.1 VomGleichgewichtsproblemzurVariationsungleichung . . . . . . 78
3.6.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.7 DasMaximumprinzipinderOptimalenSteuerung . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.1 EinProblemderOptimalenSteuerungbeimAbbau
nichterneuerbarerRessourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.2 DasMaximumprinzipalsnotwendigeOptimalitätsbedingung. . . 91
3.7.3 AufgabenausderKontrolltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Risiko,Robustheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.1 Akzeptanzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.2 KohärenteRisikomaße. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.3 AufgabenzurRisikotheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Robustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.1 StrikteRobustheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.2 Abweichungs-Robustheit(DeviationRobustness) . . . . . . . . . . 102
4.2.3 VerlässlicheRobustheit(ReliableRobustness) . . . . . . . . . . . . 102
4.2.4 AufgabenzurOptimierungunterUnsicherheiten. . . . . . . . . . . 103
5 Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 GrundsätzlicheszurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 DasMarkowitz-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Private-Equity-Fonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 AufgabenzurPortfolio-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 AufgabenzurEffizienzundVektorminimalität . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 AufgabenzuKegelnundPräferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 AufgabenzurSkalarisierungundLinearisierung
inderVektoroptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Standort-undApproximationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 GrundsätzlicheszurStandortoptimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 PlanareStandortprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1.2 RichtungsminimaleZeitfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 VerallgemeinerungendesFermat-Weber-Problems . . . . . . . . . 127
6.2 AufgabenzuStandortproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 NäherungslösungenvonApproximationsproblemen . . . . . . . . . . . . . 144
6.4 AufgabenzurApproximationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Versicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 GrundsätzlicheszurVersicherungsmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1.1 Marginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inhaltsverzeichnis IX
7.1.2 StochastischeDominanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2 AufgabenzuMarginalsummengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3 AufgabenzurStochastischenDominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4 WeitereAufgabenausderpraktischenVersicherungsmathematik . . . . . 163
8 EinführungindieFourier-Transformation,einBlickaufdieSignaltheorie 167
8.1 ÜberSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.2 DistributionenundFourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.1 S.Rn/;S0.Rn/alstopologischeVektorräume.DerSignalbegriff . 168
8.2.2 DasRechnenmittemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . 170
8.2.3 BeispielefürtemperierteDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.2.4 AufgabenzuS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.2.5 EinImpulskamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.6 DieFourier-TransformationinS.Rn/undS0.Rn/ . . . . . . . . . . 177
8.2.7 AufgabenzurFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.3 DieDistributionenaufdemRaumDderfinitenFunktionen . . . . . . . . 184
8.3.1 DerRaumderfinitenFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.2 AufgabenzuTestfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.3 DistributionenüberD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3.4 AufgabenzuDistributionenüberdenRäumenDundS . . . . . . 186
8.4 UnendlicheReihenvontemperiertenDistributionen . . . . . . . . . . . . . 187
8.4.1 AufgabenzuunendlichenReihenvontemperiertenDistributionen 187
8.4.2 DiePoisson’scheSummenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.3 AufgabenzurPoisson’schenSummenformel . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.4 PeriodischetemperierteDistributionen
undihreFourier-Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.4.5 AufgabenzuperiodischentemperiertenDistributionen . . . . . . . 192
8.4.6 AufgabenzurFourier-TransformationdesImpulskamms. . . . . . 195
8.4.7 Fourier-TransformationundFaltungsoperation . . . . . . . . . . . . 196
8.4.8 AufgabenzurFaltungtemperierterDistributionen . . . . . . . . . . 196
8.4.9 GrundlösungenlinearerpartiellerDifferentialgleichungen . . . . . 197
8.4.10 AufgabenzuGrundlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.4.11 DiskussionzurDigital-Analog-WandlungvonSignalen . . . . . . 200
8.4.12 AbtastungmitrealenImpulsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.13 AufgabezumEffizienzmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9 NormierteRäumeinderOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1 Cauchy-FolgenundVollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1.1 DerVollständigkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1.2 AufgabenzuCauchy-FolgenundNormänderungen . . . . . . . . . 206
9.2 AufgabenzuStützfunktionenundOrbiformen . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.3 MonotoneAbbildungenundMinty-Variationsungleichungen . . . . . . . 213
X Inhaltsverzeichnis
9.3.1 DerMinty-Trick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.3.2 AufgabenzumonotonenAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.4 Generizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.4.1 F -undG -Mengen.Wasistgenerisch? . . . . . . . . . . . . . . . . 217
(cid:2) ı
9.4.2 AufgabeninVerbindungmitgenerischenAussagen . . . . . . . . . 218
9.5 OptimalitätsbedingungenzweiterOrdnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.5.1 KoerzitivitätundHesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.5.2 AufgabezurKoerzitivitätundZwei-Normen-Diskrepanz . . . . . 221
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229