Approximants de Padé

517 Pages·1978·6.16 MB·French

by  Jacek Gilewicz (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna .B Eckmann
667
kecaJ Gilewicz
stnamixorppA de Pade
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 8791
Auteur
kecaJ Gilewicz
etisrevinU de noluoT
tnemetrap6D ed seuqitam6htaM
03138-F aL Garde
Centre de Physique Theorique
.S.R.N.C
Centre de Luminy
90031-F elliesraM
AMS Subject Classifications (1970): 26A48, 30A08, 30A10, 30A22,
30A 28, 30A 78, 30A80, 30 A82, 41A 20, 41A50, 42 A16, 44 A50, 65 B 05,
65 B10, 65 D15, 65E05
ISBN 3-540-08924-1 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-08924-1 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
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Oi
J
- INTRODUCTION
Contexte Scientifique sed Questions ~rait~es
enU fraction rationnelle dont le d~veloppement ne s~rie ua
voisinage ed l'origine es confond jusqu'~ nu certain terme avec enu s~rie
formelle est appel~e approximant ed Pad~ ed cette s~rie.
D~j~ ne 1821, Cauchy, dans nos "Cours d'Analyse" traite ud
probl~me d'interpolation sed fonctions connues ne nu certain nombre de
points par les fractions rationnelles. La notion d'approximant, euq nous
appelons "de Pad6", est eud ~ Jacobi (1846). Frobenius (1881) a ~tudi~
les propri~t~s alg6briques ed sec approximants. Henri Pad~ (1863-1953)
a marqu~ enu grande ~tape dans l'~tude ed sec approximants qui portent
aujourd'hui nos nom, par ses travaux 144 ; 145 ed 1892 et 1899. II a
~tudi~ syst~matiquement la structure d'une table ed sec approximants, il
a abord~ le probl~me ed la convergence ne formulant sa fameuse conjecture
et il a em~m sugg6r~ certaines g~n~ralisations ed sec approximants, emmoc
par exemple les approximants quadratiques auxquels no n'a euq tout r~cem-
ment attach~ de l'importance.
eL livre de Wall 163 ed 1948 a contribu~ ~ la red~couverte
sed approximants de Pad~, mais ec n'est qu'a partir ed 1961 euq ,ecnemmoc
avec les travaux ed Georges Alan Baker Jr., la v~ritable pouss~e sed travaux
sur les approximants de Pad~ motives par les succ~s ed leurs applications
aux probl~mes de la physique.
eD leur c~t~, les math~maticiens s'int~ressent aux probl~mes
d'acc~16ration ed la convergence sed suites. nE 1955, Shanks 15~ propose
enu int~ressante transformation sed suites et ne 1956 Peter nnyW 171
donne nu algorithme pour calculer par r~currence les transform~es ed Shanks.
D~sormais, ec proc~d~ d'acc~l~ration de la convergence s'appellera "£-algo-
rithme" etShmksmontrera euq les nombres calcul~s par l'~-algorithme en
sont autres euq les valeurs sed approximants ed Pad~ ne nu certain point.
Vl
Bien auq cette jonction entre les approximants ed Pad~ et
I' £ -algorithme ait 6t~ faite, les physiciens etles mathematicians
travailleront encore l ongtemps s~par~ment sur l es sem~m types ed probl~mes
et en r~uniront leurs efforts qu'~ partir ed 1972, environ, date sed conf~-
fences ed Boulder 119 et ed Canterbury 115 ; 1i6.
Dans la derni~re d~cennie, le d~veloppement sed travaux
sur les approximants ed Pad# etles probl6mes annexes ~tait tel qu'~
l'heure actuelle, on compte d~j~ plus ed mille r6f~rences 206.
snaD cette situation, il nous a paru n~cessaire ed presenter
enu mise ~ jour sur le sujet ne question destin#e aussi bien aux th6oriciens
qu'aux utilisateurs sed approximants ed Pad~. Pour que ce texte soit auto-
nome, nous l'avons pr~c~d~ ed quatre chapitres traitant les sujets auxquels
on fait fr~quemment r~f~rence dans la th#orie sed approximants ed Pad~.
11 s'agissait aussi ed proc~der ~ enu mise au clair ed cette th~orie dont
plusieurs points importants ~taient encore obscurs. eL livre que nous pr~-
sentons est issu ud premier texte 214 corrig~ et l~g~rement modifi~ ;
dans la litt#rature r~cente il apporte certains compl~ments aux ouvrages
ed Baker 12 et ed Brezinski 52.
Contenu
Nous 6tudions exclusivement les approximants ed Pad~ ordinaires
ne mentionnant seulement ne Annexe III les approximants g~n~ralis~s. Les
probl~mes g~n~raux trait~s sont ceux d'approximation d'une fonction, ed
prolongement analytique d'une fonction donn~e par sa s~rie ed Taylor, d'ex-
trapolation ed la limite d'une suite et d'acc~l~ration ed la convergence.
snaD tous ces probl~mes on essaye ed faire r~f6rence ~ l'information con-
tenue dans un nombre fini ed termes d'une suite, telle qu'elle se pr~sente
dans la pratique courante.
VII
eL chapitre 2 a pour ambition ed remettre ~ jour la th~orie
sed suites et sed fonctions totalement monotones et d~passe le cadre ud
strict n~cessaire a son application a la th~orie des approximants ed Pad~.
Les approximants ed Pad~ en sont introduits qu'au chapitre
5 . Les trois derniers chapitres sont consacr~s ~ des applications num~-
riques ed la m~thode d'approximation ed Pad~, applications ~ propos des-
quelles es pose le probl~me ud choix ud meilleur approximant ed Pad~ dans
un ensemble fini d'approximants. eL lecteur int~ress~ exclusivement par
cette application peut aborder le chapitre 8 directement.
Remerciements
II convient ed dire euq ce travail a ~t~ non seulement
filtr~, mais enrichi ed nombreux r~sultats nouveaux grace a la collabo-
ration ed Marcel Froissart, Professeur ua Coll~ge ed France. Qu'il veuille
bien trouver ne ces mots trop brefs l'expression ed toute am reconnaissance.
Je dois aussi ed tr6s vifs remerciements a Monsieur le
Professeur .M Cadilhac pour m'avoir orient~ vers l'~tude des approximants
ed Pad~ apr~s avoir dirig~ sem travaux exposes ua chapitre 9.
xuerbmoN sont ceux qui m'ont apport~ leur concours :
G.A. Baker Jr., J. Bellissard, .D Bessis, ,C Brezinski, J.S,R. Chisholm,
.N Gastinel, .B Nayroles, .M Pindor, .R Stora, et beaucoup d'autres,
qui j'adresse l'expression ed am profonde gratitude.
Note sur la Presentation et l a Terminolo~ie
Les chapitres, et parfois les paragraphes, sont precedes
d'introductions tr~s d~taill~es 0o nous signalons ne particulier les r6sul-
tats, ~ notre connaissance nouveaux.
Vlll
Toutes les num6rotations sont ind6pendantes d'un chapitre
l'autre. aL r6f6rence aux formules, th6or~mes, etc. est faite ne indiquant
d'abord le num6ro ud chapitre Oo ils figurent, puis, apr~s la s6paration
par nu point, leurs num6ros dans le chapitre ne question. seL formules,
th6or~mes, etc. faisant partie ud chapitre ne cours, font exception
cette r~gle : dans leur cas, le num6ro ud chapitre est omis. Par exemple,
la r6f6rence (5.32) rencontr6e au chapitre 6 renvoit ~ la formule (32)
ud chapitre 5 et la r6f6rence (32) a la formule (32) ud chapitre 6.
seL textes sed th6or~mes, propri6t6s, lemmes et d6finitions es
distinguent ud reste par enu barre lat6rale plac6e ~ gauche, ne marge.
seL fins sed d6monstrations sont signal6es par C.Q.F.D. seL r6sultats
classiques sont donn6s ne g6n6ral sans d6monstrations, mis ~ part les sac
Oo nous avons apport6 quelques am61iorations.
aL liste sed r6f6rences bibliographiques, enummoc 6 tout le
document, n'est certainement sap compl~te, mais situe suffisamment bien
le d6veloppement sed travaux sur les sujets trait6s jusqu'~ la fin ed
l'ann6e 1977. Nous avons pr6f6r6 donner les r6f6rences aux publications
r~centes qui reproduisent les r~sultats classiques ua lieu d'accro~tre
inutilement notre bibliographie par des r6f~rences ~ des travaux difficile-
ment accessibles. aL liste sed r6f6rences a 6t6 compl6t6e deux fois :
r6f. ~9~ a 20~ et r~f. 20~ a 218 I.
nO a respect6, le mieux possible, les notations habituellement
admises ne France. Toutefois nous nous tenons rigoureusement aux notations
et ~ la terminologie introduite ua fur et ~ mesure. seL nouveaux termes sont
soulign6s ~ l'endroit Oo ils apparaissent pour la premiere fois et Oo es
trouve toujours leur d6finition. L'index plac6 ~ la fin et qui comporte
l'index sed symboles et l'index terminologique, renvoit ~ ces endroits.
Certaines d6finitions sont group6es ne pages 2 a 5 et 24 ~ 43.
XI
Pour ~viter d'~ventuels malentendus signalons que :
F" cf
1 ° ) aL notation d'une fonction " ~ I ) ~c):... est parfois e~g~rba
"
ne ',ff : (~) :... " ;
2 ° ) Les crochets "~ ... 1 d~signent nu ensemble, mais nous avons aussi
r~serv~ cette notation pour les suites ;
ll ll
3 ° ) Les changements de variables sont notes ,, ~" ~(w) , mais parfois
W~
il nous arrive de les noter par exemple ~_~ 4 ; l a fl~che est toute-
#I II
fois utilis~e pour dire "tend vers..", ce qui. par exemple dans C~ C
indique la convergence d'une suite ;
4 ° ) Nous avons syst~matiquement 6vit~ d'utiliser le terme "matrice" en
le remplaGant par "table" ; les noms usuels, emmoc par exemple "matrice
de Gram" en font exception ;
5 ° ) Les abr~viations "ord" et "deg" d~signent respectivement "ordre"et"degr~";
6 ° ) La lettre "D" peut d~signer nu disque ou nu domaine, mais pour abr~ger
on parle aussi du "disque ~I <~ " ou du "domaine --l~e~ >0 " ;
7 °) ~ , d~signent respectivement la partie imagi-
, ,
naire ed ~ , la partie r~elle ed ~ , le eludom ed ~ , la valeur
exelpmoc conjugu~e ed ~ ;
8 ° ) f~ d6signe la d~riv~e er~imer~I ed f- , f- la d~riv~e em~i-n sauf
quand il est pr~cis~ qu'il s'agit d'un indice ;
9 °) A\~ d~signe le compl~mentaire dans A de l'intersection A~B ;
i0 °) Les crochets encadrent une table dont le d~terminant est not~
indiff~remment par det ii! ou I"~I ;
11 ° ) La notation "lim..." d~signe la limite dans nu secteur du plan des
complexes, ce secteur ~tant toujours pr~cis~ ;
21 ° ) Dans les tableaux num~riques, on utilise fr~quemment la notation abr~g~e
du mode avec l'exposant d6cimal qui, par exemple pour 0,43 x 01 -4 donne
".43-4".
P/77 319.
TABLE DES MAT I E R E S-
=================================================
I, SLEPPAR RUS SEL SUITES SEUQIREMUN
..................................................................
I.I Notions sur la comparaison des suites et quelques
rappels sur les s~ries formelles ............................. 2
1.1,1 Terminologie et notations .............................. 2
1.1.2 Comparaison des suites ................................ 6
1.1,3 Extrapolation (proc~d# de Richardsofl) ................. 9
1.1.4 Quelques rappels sur les s~ries formelles ............. 31
1,2 Op~rateur de diff#rence appliqu~ ~ une suite ou ~ une
fonction ..................................................... 21
1.3 Suites AK-~quivalentes ..................................... 62
1.4 Table c et d~terminants du type de Toeplitz et du type
de Hankel ................................................... 28
2. SUITES TE SNOITCNOF TNEMELATOT SENOTONOM 33
2.1 Suites totalement monotones .................................. 63
2.2 Fonctions totalement monotones et th~or~me d'interpolation... 42
2.2.1 Rappels ............................................... 42
2.2.2 Fonctions totalement monotones ........................ 94
2.2.3 Th~or~mes ed Bernstein et ed Hausdorff ................ 35
2.2.4 Sur l'intervalle maximal de totale monotonie .......... 17
2.3 Propri~t~s sed fonctions totalement monotones ................ 67
2.4 Th~orie sed suites totalement monotones ne termes de
fonctions totalement monotones ............................... 68
2.5 G~n~ratrices extr~males sed c6nes sed fonctions et
sed suites totalement monotones ............................. 88
Xll
l
3. SNOITCNOF ED SEJTLEITS TE SNOITCNOF ED ESSALC ).% .
SNOITALER CEVA SEL SETIUS 97
3.1 Probl~me des moments et fonctions de Stieltjes ............... 98
3.2 Probl~me des moments et suites ............................... 401
3.3 Singularit~ d'une fonction en z=l et limites
dans un secteur .............................................. 901
3.4 Suites totalement positives et fonctions de classe ~ ....... 411
3.5 Quelques remarques sur les suites qui ne convergent
pas dans IR ...... , ........................................ 118
4. SNOITCARF SEUNITNOC 911
4.1 Fractions continues de Jacobi (fractions J) .................. 121
4.2 Fractions continues de Stieltjes (fractions S) ............... 921
4.3 Fractions J et S , fonctions rationnelles et
s~ries formelles ............................................. 131
4.4 D~veloppements des fonctions de Stieltjes et des
fonctions de classe ~ en fractions continues ............... 341
4.5 Solution du probl~me des moments par l'interm~diaire
des fractions continues ...................................... 641
4.6 Forme g~n~rale d'une fraction continue. Fractions
continues C ............................................... 751
5, STNAMIXORPPA ED EDAP - EIROEHT EUQIRBEGLA 161
=========================================
5.1 Introduction ...... ........................................... 461
5.2 Nouvelle d~finition des approximants de Pad# et
r~vision du th~or~me de Gragg ................................ 961
5,3 Revue des d~finitions des approximants de Pad~,
Meilleure approximation locale ............................... 591
5.4 Relations entre les approximants de Pad~ et les
fractions continues, Normalit~ .............. , ................ 202
5.5 Effets des transformations de fonctions et de variable
sur les approximants de Pad~. D6composition des appro-
ximants de Pad~ .............................................. 208
5.6 Sur certaines s~ries lacunaires .............................. 228